2022北京西城初二（下）期末数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．下列各式中是
最简二次根式的是 A．B．C．D．2．如图，是的对角线，如果，，则等于 A．B．C．D．3．下列计算，正确的是 A．B．C．D．4
．下列命题中，正确的是 A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分
别平行的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形5．为庆祝建党100周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不
相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的 A．平均数B．中
位数C．众数D．方差6．在中，，的对边分别记为，，，下列条件中，能判定是直角三角形的是 A．B．，，C．D．7．如图，直线和直线相
交于点，则关于，的方程组的解为 A．B．C．D．8．点从某四边形的一个顶点出发，沿着该四边形的边逆时针匀速运动一周．设点运动的时间
为，点与该四边形对角线交点的距离为，表示与的函数关系的大致图象如图所示，则该四边形可能是 A．B．C．D．二、填空题（本题共16分
，每小题2分）9．要使二次根式在实数范围内有意义，的取值范围是 ．10．如图，在中，，点是斜边的中点，若，，则的长度是 ．11．
将函数的图象向下平移3个单位，则得到的图象相应的函数表达式为 ．12．如图，在中，，，点，分别为，的中点，连接．若，则的长度是
．13．在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上．若，，则菱形的面积是 ．14．射击运动员小东10次射击的成绩（单位：环）
，8，7.5，8.5，9，7，7，10，8.5，8．这10次成绩的平均数是8.1，方差是0.79，如果小东再射击一次，成绩为10环
，则小东这11次成绩的方差 0.79．（填“大于”、“等于”或“小于” 15．关于函数和函数，有以下结论：①当时，的取值范围是；
②随的增大而增大；③函数的图象与函数的图象的交点一定在第一象限；④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则．其中所有正确结论的序号
是 ．16．小明与小亮两人约定周六去博物馆参观学习，两人同时出发，小明乘车从甲地途径乙地到博物馆，小亮骑自行车从乙地到博物馆．已
知甲地、乙地和博物馆在一条直线上，右图是两人分别与乙地的距离（单位：与时间（单位：的函数图象，在小明到达博物馆前，当两人相距时，的
值是 ．三、解答题（本题共68分）17．（8分）计算：；．18．（6分）已知：如图，在中，．求作：矩形．作法：①作线段的垂直平分
线交于点．②作射线．③以点为圆心，线段长为半径画弧，交射线于点．④连接，，则四边形即为所求作的矩形．（1）使用直尺和圆规，依作法补
全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：， ，四边形是平行四边形． （填推理的依据），四边形是矩形． （填推理的依据）
19．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和．（1）求该一次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出该一次函数图象，并
求它的图象与坐标轴围成的三角形的面积．20．（12分）如图，矩形的对角线交于点，且，．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接．若，，
求的长．21．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴、轴分别相交于点和点．（1）求，两点的坐标；（2）点在轴上，若是以边为腰
的等腰三角形，求点的横坐标．22．（6分）某校为了解该校七年级和八年级学生线上数学学习的情况，从这两个年级的学生中，各随机抽取了2
0名学生进行有关测试，获得了他们的成绩（百分制，且成绩均为整数），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．．该
校抽取的八年级学生测试成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分为4组：，，，；．该校抽取的八年级学生测试成绩在这一组的数据是：70
70 74 74 75 75 75 76 77 78．该校抽取的七、八年级学
生测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数七年级7879.579八年级7975根据以上信息，回答下列问题：（1）
写出表中的值；（2）此次测试成绩80分及80分以上为优秀．①记该校抽取的七年级学生中成绩优秀的人数是，抽取的八年级学生中成绩优秀的
人数为，比较，的大小，并说明理由；②若该校七年级有200名学生，八年级有180名学生，假设该校七、八年级学生全部参加此次测试，估计
该校七年级和八年级学生中成绩优秀的人数共有多少人．23．（10分）对于函数，小明探究了它的图象及部分性质．下面是他的探究过程，请补
充完整：（1）自变量的取值范围是 ；（2）令分别取0，1和，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中的值是 ，的值
是 ；012332101234212341001（3）根据表中数据，补全函数，，的图象；（4）结合函数，，的图象，写出函数的一条
性质： ；（5）点，和点，都在函数的图象上，当时，若总有，结合函数图象，直接写出和的大小关系．24．（10分）如图，在正方形中，为
边上一点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，连接分别交，于点，．过点作于点，连接．（1）依题意补全图形；（2）求证：；
（3）连接，，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．四、选做题（满分10分）25．（4分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，
点和点的坐标分别是和．（1）当时，的面积是 ；（2）若点和点都在直线上，当时，的取值范围是 ．26．（6分）对于定点和图形，给
出如下定义：若图形上存在两个不同的点，，使得四边形是平行四边形，则称点是点关于图形的衍生点．特别地，当平行四边形的面积最大时，称点
是点关于图形的最佳衍生点．在平面直角坐标系中，点，，，，，．（1）点，，中，点关于线段的衍生点是 ；（2）将点关于线段的最佳衍生
点记为，①直接写出点的坐标；②若直线上存在点关于四边形的衍生点，求的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-
8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．【解答】解：、，故不符合题意；、，
故不符合题意；、，故不符合题意；、是最简二次根式，故符合题意；故选：．【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是
解题的关键．2．【分析】由平行四边形的性质得出，则可得出答案．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，故选：．【点评】此题考查了平行
四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．3．【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．【解答】
解：，故选项错误，不符合题意；，故选项错误，不符合题意；，故选项错误，不符合题意；，故选项正确，符合题意；故选：．【点评】本题考查
二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4．【分析】根据平行四边形的判定方法进行判定即可．【解答】解：．一组对边平行
且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；．两组对边分别平行的四
边形是平行四边形，故本选项符合题意；．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查了平行四边形
的判定：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的
四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形．5．【分
析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及
中位数之后的共有6个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选：．【点评】本题考查了中位数意义．解题的关键是正
确的求出这组数据的中位数．6．【分析】求出，根据勾股定理即可判断选项；根据勾股定理的逆定理即可判断选项；根据直角三角形的判定即可判
断选项；求出最大角的度数，即可判断选项．【解答】解：．，，，是直角三角形，故本选项符合题意；．，，，不是直角三角形，故本选项不符合
题意；．，是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；．，，最大角，不是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：．【点评】
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边
的平方，那么这个三角形是直角三角形．7．【分析】根据直线和直线相交于点，即可确定方程组的解．【解答】解：根据题意，可得方程组的解为
，故选：．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．8．【分析】通过点经过四边形各个顶
点，观察图象的对称趋势问题可解．【解答】解：记各个选项中四边形逆时针均记为，选项中，从，，先减小，再增大，不关于转折点对称；从，从
，先减小，再增大；且两部分走势相同，不符合题意；选项中，从，，先减小，再增大，关于转折点对称，且每部分关于最低点对称；从，从，先减
小，再增大；且两部分走势相同，符合题意；选项中，从，，先减小，再增大，关于转折点对称，但每部分不关于最低点对称；从，从，先减小，再
增大；且两部分走势相同，不符合题意；选项中，每个转折点前后图像一致，不符合题意；故选：．【点评】本题动点问题的函数图象，考查学生对
动点运动过程中所产生函数图象的变化趋势判断．解答关键是注意动点到达临界前后的图象变化．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【
分析】根据二次根式的性质可求出的取值范围．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：，解得．故答案为：．【点评】主要考查了二次
根式的意义和性质：概念：式子叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．10．【分析】直接利用勾股定理
得出的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案即可．【解答】解：，，，，点是斜边的中点，．故答案为：5．【点评】此题
主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．11．【分析】直接根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度，相应的函数是；故答案为：．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上
加下减”的法则是解答此题的关键．12．【分析】根据含角的直角三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：在中，，
，，则，点，分别为，的中点，是的中位线，，故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、含角的直角三角形的性质，掌握三角形中
位线等于第三边的一半是解题的关键．13．【分析】根据已知条件与菱形的轴对称性，可得坐标原点就是菱形对角线的交点，再根据菱形的性质可
得菱形对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以．【解答】解：，两点的坐标分别为，．，．．菱形是轴对称图形，且菱形的四个顶点都在坐
标轴上．菱形对角线的交点为坐标原点．．故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质．熟记菱形的对角线互相垂直且平分并把菱形分成四个
全等的直角三角形是解题的关键．14．【分析】计算小东这11次成绩的方差后比较即可．【解答】解：小东这11次成绩的的平均成绩为；小东
这11次成绩的的方差，，小东这11次成绩的方差大于0.79．故答案为：大于．【点评】本题考查方差：一般地设个数据，，，的平均数为，
则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．15．【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的增
减性逐项进行判断即可．【解答】解：①当时，，当时，，而一次函数，随的增大而增大，所以，所以①正确；②一次函数，随的增大而减小，因此
②不正确；③函数的图象与函数的图象的交点为，，当时，，，此时交点在第四象限，所以③不正确；④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，
则，，即，，而，所以，即，因此④正确；综上所述，正确的结论有①④，故答案为：①④．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及一
次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提．16．【分析】由图象可知，甲地距乙地，乙地距博物馆，先求出小明和小亮
的速度，再分两人相遇前和相遇后两种情况按路程之间的关系列方程求值即可．【解答】解：由图象可知，甲地距乙地，乙地距博物馆，小明的速度
为：，小亮的速度为：，①当小明和小亮相遇前两人相距时，由题意得，，解得：；②当小明和小亮相遇后两人相距时，由题意得：，解得：，综上
所述，当两人相距时的值为12或18．故答案为：12或18．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表
示的含义是解题关键．三、解答题（本题共68分）17．【分析】（1）按照从左到右的顺序，进行计算即可解答；（2）先算乘法，后算加减，
即可解答．【解答】解：；．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】（1）根据要求作出图
形即可；（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．【解答】（1）解：如图，矩形即为所求；（2）证明：，，四边形是平行四边
形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），，四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：，对角线互相平分的四边形是
平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点评】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是
熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．19．【分析】（1）根据点、的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式．（2）利用直线解
析式求得直线与轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得即可．【解答】解：（1）一次函数的图象经过点和．，解得：．这个一次函数的
解析式为：．（2）如图，令，则，直线与轴的交点为，图象与坐标轴围成的三角形的面积．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一
次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．20．【分析】（1）先证四边形是
平行四边形，再由矩形的性质得，即可得出结论；（2）过作，交的延长线于，证是等边三角形，得，，再由矩形的性质和勾股定理得，然后由菱形
的性质得，进而求出，即可解决问题．【解答】（1）证明：，，四边形是平行四边形，四边形是矩形，，，，，平行四边形是菱形；（2）解：如
图，过作，交的延长线于，则，由（1）可知，，，是等边三角形，，，，四边形是矩形，，，，由（1）可知，四边形是菱形，，，，，，，在中
，由勾股定理得：．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的平行和性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点
，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．21．【分析】（1）利用坐标轴上点的坐标特征求出点，点坐标即可；（2）由三角形
的面积公式可求解；（3）由勾股定理可求的长，即可求解．【解答】解：（1）一次函数图象与轴、轴分别相交于点和点，令，则，解得，点，令
，则，点．（2），，，是以边为腰的等腰三角形，，点的横坐标为或．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识，解答
此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法．22．【分析】（1）根据八年级抽取了20名学生，从小到大排列第10，11名学生的
成绩为76分，77分，即可求出的值；（2）①分别求出七、八两个年级的优秀学生人数，进而可得结论；②用样本的优秀率估计总体的优秀率，
根据总人数和优秀率求得优秀人数．【解答】解：（1）八年级抽取了20名学生，从小到大排列第10，11名学生的成绩为76分，77分，故
中位数（分，故答案为：76.5；（2）①由七年级成绩的中位数为79.5可得，由题意可得，；②（人，答：估计该校七年级和八年级学生中
成绩优秀的人数共有172人．【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计
量的特点是解决问题的前提和关键．23．【分析】（1）根据解析式即可确定自变量取值范围；（2）把代入，求得，把代入，求得；（3）根据
表格数据补全函数，，的图象即可；（4）观察图象即可求得；（5）根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）函数中，自变量可以是任意实数
，故答案为：任意实数；（2）把代入，得，把代入，得，，，故答案为：3，；（3）补全函数，，的图象如下图所示：（4）由图知，当时，函
数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小；故答案为：当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小；（5）点，和点，都在函数
的图象上，，点，和点，在轴的同一侧，观察图象，当时，若总有，则或．【点评】本题考查了通过列表法和解析式法对函数的性质进行分析，画出
函数图象，并研究和总结函数的性质；数形结合是解题的关键．24．【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）如图2中，连接，．设．利用
等腰三角形的性质，用表示出，，可得结论；（3）结论：．如图3中，过点作交的延长线于点，于点，过点作于点，交的延长线于点．证明，推出
，推出，证明，推出，推出，再证明四边形是正方形，推出，可得结论．【解答】（1）解：图形如图1所示：（2）证明：如图2中，连接，．设
．四边形是正方形，，，，关于对称，，，，，，，，，；（3）结论：．理由：如图3中，过点作交的延长线于点，于点，过点作于点，交的延长
线于点．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，．【点评】本题属于四边形综合题，考查了
正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，
属于中考压轴题．四、选做题（满分10分）25．【分析】（1）求得，，然后利用三角形面积公式求得即可；（2）求得，然后根据，利用勾股
定理得到，即，整理得到，解得或．【解答】解：（1）点和点的坐标分别是和，，、是轴上的两点，则，直线与轴交于点，，，，故答案为：4．（2）点和点都在直线上，，，，，，即，，解得或，故答案为：或．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，勾股定理的应用，能够理解题意，得到关于的不等式是解题的关键．26．【分析】（1）根据衍生点的定义可直接判定；（2）①因为当平行四边形的面积最大时，称点是点关于线段的最佳衍生点，画图可直接写出的坐标；②利用两个边界点确定两个的值：如图3，四边形是平行四边形时，衍生点是，代入直线中可得；当四边形是平行四边形时，衍生点是，同理可得，从而得结论．【解答】解：（1）如图1，点，，中，点关于线段的衍生点是；故答案为：；（2）①如图2，点关于线段的最佳衍生点记为，即的面积最大，；②如图3，当四边形是平行四边形时，，将代入中得：，；当四边形是平行四边形时，，将代入中得：，；的取值范围是．【点评】本题是一次函数的综合题，也是新定义：衍生点和最佳衍生点，考查了平行四边形的判定和面积，新定义等知识，解题的关键是学会利用特殊点，特殊位置解决问题，学会画出图形解决问题，属于中考压轴题． 1 / 1 |
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