2022北京一六一中学初二（下）期中数 学班级_________ 姓名_________ 学号_________考生须知1．本习题共7页
，练习时间100分钟．习题由主卷和附加卷组成，主卷部分满分100分，附加卷部分满分10分．2．练习题答案一律填写在答题卡上，在习题
卷上作答无效．3．答题卡上一律用黑色字迹钢笔或签字笔作答．4．练习结束后，将答题卡拍照上传至小管家．第Ⅰ卷（主卷部分，共100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）．A. 4，5，6B. 1，1，
C. 6，8，11D. 5，12，232. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 3. 下列条件中，不能
判定一个四边形是平行四边形的是( )A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等C. 两组对角分别相等D. 一组对边平行且另
一组对边相等4. 如图，在平行四边形中，已知平分交边于点E，则等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 一次函数y＝（k+3
）x+1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）A. k＞0B. k＜0C. k＜﹣3D. k＞﹣36. 实数a，b在数轴
上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．A. B. C. D. 7. 如图，的对角线与相交于点O，，若，则的长为（ ）A. 5B.
8C. 10D. 118. 如图，直线l1：y＝ax+b和l2：y＝bx﹣a在同一坐标系中的图象大致是（ ）A. B. C. D
. 9. 如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（ ）.A. B. C. 3D. 10.
如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，所有正确结论的个数是（ ）①；②；③当时，；④；⑤．A. 1个B. 2个C. 3个D.
4个二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11. 函数的自变量的取值范围是_________．12. 如图，，则在数
轴上点A表示的实数是___________．13. （1）比较大小：______4；（2）在两个相邻整数______和______
_之间．14. 《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，
折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC＝9尺，BC＝3尺，则AC=_____尺．15. 在直角三角
形中，两边长分别为6、8，则第三条边长________．16. 若一次函数的图象向下平移3个单位后经过点，则b的值为_______
____．17. 已知y与x之间满足的函数关系如图所示，其中，当时，；当时，，则当函数值时，x的取值范围为____________
．18. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图
2是y与x的函数关系的大致图象，则的面积为_____________．三、解答题（本大题共8小题，第19题每小题6分，第20-23
每题7分，第24-26每题8分，共64分）19. 计算：（1）；（2）．20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线BD
上的两点，且，求证：四边形AECF是平行四边形．21. 已如：如图，四边形中，，求四边形的面积．22. 如图，一次函数为与的图象相
交于点A．（1）求点A的坐标；（2）若一次函数与的图象与x轴分别交于B，C两点，求的面积；（3）结合图象，直接写出当时，x的取值范
围．23. 已知：如图，在中，，D是延长线上一点且，求线段和的长．24. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1
，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图．（1）图①中，画一个格点三角形，使得，，；（2）在（1）的条件下，直接写
出边上的高；（3）在图②中，画一个直角三角形，使它三边长都是无理数．25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A．直线与直
线平行，且与直线交于点，与y轴交于点C．（1）求m的值，以及直线的表达式；（2）点P在直线上，且，求点P坐标；（3）点D在直线上，
且点D的横坐标为a．点E在直线上，且轴．若，求a的值．26. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，在
射线CB上取一点E，使得BE＝2BC＝20，当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E． 在线段QC上取点F，使得
QF＝2，连结PF，记AP＝（）．（1）①CF＝ （用含式子表示）②若PF⊥BC，求BQ的长．（2）若以A，B，F，P为顶点的四边
形是平行四边形，请求出的值．（3）当点P关于直线AF对称点恰好落在直线AB上，请直接写出的值．第Ⅱ卷（附加卷部分，每小题5分，共1
0分）27. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补
充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：_______________（填写运算结果）．
（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________．（3）应用运算规
律．①化简___________；②若（a，b均为正整数），则的值为_____________．28. 在平面直角坐标系中，对于点
与，给出如下的定义：将过点的直线记为，若直线与有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线与的“穿越距离”，记作．例如，已
知过点的直线与，其中，，，，如图所示，则．请解决下面的问题：已知，其中，，，．（1）当时，已知，为过点的直线． ①当时，_____
___________；当时，________________；②若，结合图象，求的值；（2）已知，为过点的直线，若有最大值，且最
大值为，直接写出的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（
）．A. 4，5，6B. 1，1，C. 6，8，11D. 5，12，23【答案】B【解析】【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给
出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、因为42＋52≠62，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
B、因为12＋12=（）2，所以能构成直角三角形，符合题意；C、因为62＋82≠112，所以不能构成直角三角形，不符合题意；D、因
为52＋122≠232，所以不能构成直角三角形，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握在应用勾
股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2.
下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【
详解】解：A. =3，不是最简二次根式， B. =2，不是最简二次根式，C. =，不是最简二次根式， D. 是最简二次根式，故选D
．【点睛】本题考查了最简二次根式．解题的关键是掌握最简二次根式的概念．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是
整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式，不能含有分母．3. 下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是(
)A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等C. 两组对角分别相等D. 一组对边平行且另一组对边相等【答案】D【解析】【
分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可【详解】解：A、两组对边分别平行，可判定该四边形是平行四边形，故A不符合题意；B、两组对
角分别相等，可判定该四边形是平行四边形，故B不符合题意；C、对角线互相平分，可判定该四边形是平行四边形，故C不符合题意；B、一组对
边平行另一组对边相等，不能判定该四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故D符合题意.故选D.【点睛】此题主要考查学生对平行四边形的
判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边
相等”的四边形不一定是平行四边形．4. 如图，在平行四边形中，已知平分交边于点E，则等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答
案】D【解析】【分析】因为是在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于点E，能知道AB=BE，又因为AD=BC=7cm，A
B=BE=3cm，所以EC可求．【详解】解：∵AD∥BC，AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE=∠DAE，∠BEA=∠DAE
，∴∠BAE=∠BEA，∴BE=AB=3cm．∵BC=AD=7cm，∴EC=7-3=4cm，故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的
性质及角平分线的计算、等角对等边，关键知道平行四边形中对边平行、对边相等从而可求出结果．5. 一次函数y＝（k+3）x+1中，y随
x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）A. k＞0B. k＜0C. k＜﹣3D. k＞﹣3【答案】C【解析】【分析】根据一次函数
y＝（k+3）x+1中，y随x增大而减小，推出k+3＜0即可找到k的取值范围．【详解】解：∵一次函数y=（k+3）x+1中，y随x
的增大而减小，∴k+3＜0，解得：k＜-3．故A、B、D错误，故选：C．【点睛】本题考查一次函数的性质以及不等式的解法，熟练掌握一
次函数的性质特点，准确计算是解决本题的关键．6. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．A. B. C. D. 【
答案】D【解析】【分析】根据题意得出b＜0＜1＜a，进而化简求出即可．【详解】解：由数轴可得：b＜0＜1＜a，则原式=a-b．故选
：D．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的符号是解题关键．7. 如图，的对角线与相交于点O，，若，则的长为
（ ）A. 5B. 8C. 10D. 11【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质求解 再利用勾股定理求解 从而可得答案．【
详解】解： ，， ， 故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，熟练的运用平行四边形的对角线互相平分是解本题
的关键．8. 如图，直线l1：y＝ax+b和l2：y＝bx﹣a在同一坐标系中的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C
【解析】【分析】根据各选项中函数图象可知直线l1：y＝ax+b经过第一、二、三象限，从而判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号确
定出l2：y＝bx﹣a的图象经过的象限，选出正确答案即可．【详解】解：∵直线l1：经过第一、三象限，∴a＞0，∴﹣a＜0．又∵该直
线与y轴交于正半轴，∴b＞0．∴直线l2经过第一、三、四象限．在四个选项中只有选项C中直线l2符合，故选C．【点睛】本题考查了一次
函数的图象，一次函数y＝kx+b（k≠0），k＞0时，一次函数图象经过第一三象限，k＜0时，一次函数图象经过第二四象限，b＞0时与
y轴正半轴相交，b＜0时与y轴负半轴相交．9. 如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（
）.A. B. C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】由折叠的性质可得DN=CN，根据勾股定理可求DN的长，即可得出结果．【详解
】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC-CN=6
-DN，在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，∴DN2=（6-DN）2+4，∴DN=，∴CN=DN=，故选：D．【点睛】本题考
查了翻折变换、折叠的性质、勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．10. 如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，所有正确结
论的个数是（ ）①；②；③当时，；④；⑤．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】仔细观察图象：①根据一
次函数y＝ax＋b图象从左向右变化趋势及与y轴交点即可判断a、b的正负；②根据一次函数y＝cx＋d图象从左向右变化趋势及与y轴交点
可判断c、d的正负，即可得出结论；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④由两个一次函数图象的交点坐标的横
坐标为1可得出结论；⑤由一次函数y＝cx＋d图象与x轴的交点坐标为（，0），可得＞-1，解此不等式即可作出判断．【详解】解：①由图
象可得：一次函数y＝ax＋b图象经过一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，故①错误；②由图象可得：一次函数y＝cx＋d图象经过一、二、
三象限，∴c＞0，d＞0，∴ac＜0，故②正确；③由图象可得：当x＞1时，一次函数y＝ax＋b图象在y＝cx＋d的图象下方，∴ax
＋b＜cx＋d，故③错误；④∵一次函数y＝ax＋b与y＝cx＋d的图象的交点P的横坐标为1，∴a＋b＝c＋d，故④正确；⑤∵一次函
数y＝cx＋d图象与x轴的交点坐标为（，0），且＞-1，∵c＞0，∴-d>-c，∴c＞d．故⑤正确．正确的有②④⑤，故选：C．【点
睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的图象与性质并利用数形结合的思想是解题的关键．二、填空题
（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11. 函数的自变量的取值范围是_________．【答案】x≥1##1≤x【解析】【分析
】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．详解】解：根据题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【点睛】本题考查函数自变
量的取值范围，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12. 如图，，则在数轴上点A表示的实数是___________．【答案】【解
析】【分析】先利用勾股定理求解 再结合点A的位置可得答案．【详解】解：由勾股定理可得： 所以A点表示的数为： 故答案为：【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用、实数与数轴，利用勾股定理求解是解本题的关键．13. （1）比较大小：______4；（2）在两个相邻整
数______和_______之间．【答案】 ①. < ②. 4③. 5【解析】【分析】（1）先将两数变换成统一的形式，进而即可比
较大小；（2）先对无理数进行估算，进而即可确定在哪两个相邻整数之间．【详解】（1）∵，，又，∴，故答案为：<；（2）∵，∴，∴在两
个相邻整数4和5之间，故答案为：4，5．【点睛】本题考查无理数的估算及实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握无理数估算的方法和实数比
较大小的方法．14. 《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高
9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC＝9尺，BC＝3尺，则AC=_____尺．【答案】4【
解析】【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，利用勾股定理构造方程解方程即可．【详解
】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，根据勾股定理得：x2＋32＝（9﹣x）2解得：x＝4，答：折断处离地面的高度为
4尺．故答案为：4.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，依据勾股定理构造方程是解题关键．15. 在直角三角
形中，两边长分别为6、8，则第三条边长________．【答案】或【解析】【分析】应分两种情况：①两直角边长分别为6、8时，利用勾
股定理求解；②当斜边的长是时，利用勾股定理求第三边的长．【详解】解：应分两种情况：两直角边长分别为6、8时，则第三边的长；斜边的长
是时，第三边的长综上第三边的长为或，故答案为：或【点睛】本题考查了勾股定理的应用，分类讨论的思想是解题的关键．16. 若一次函数的
图象向下平移3个单位后经过点，则b的值为___________．【答案】5【解析】【分析】设一次函数的图象向下平移3个单位后的解析
式为，然后把点代入求解即可．【详解】解：设一次函数的图象向下平移3个单位后的解析式为，把点代入得：，解得：；故答案为：5．【点睛】
本题主要考查一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移是解题的关键．17. 已知y与x之间满足的函数关系如图所示，其中，当时，
；当时，，则当函数值时，x的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】把y=3分别代入y=x和y=－2x+1中，
求得对应的x的值，结合图象即可求得．【详解】解：把y=3代入y=x，则x=3，把y=3代入y=－2x+1得，3=－2x+1，解得x
=－1，∴直线y=3与函数的图象的交点为（3，3），（－1，3），观察图象，当函数值y＞3时，x的取值范围为x＜－1或x＞3，故答
案：x＜－1或x＞3．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，数形结合是解题的关键．18. 如图1，四边形是
平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致
图象，则的面积为_____________．【答案】【解析】【分析】作BE⊥AD，垂足为E，在下图中标注点M、N，且M（6,6），
N（12,10），结合运动轨迹及运动图象得出AB=6，BD=6，AD=AP=10，然后利用等腰三角的性质得出AE=DE=5，结合勾
股定理求出平行四边形的高，即可求解面积．【详解】解：如图所示，作BE⊥AD，垂足为E，在下图中标注点M、N，且M（6,6），N（1
2,10），当点P从点A运动到点B时，对应于OM线段，∴AB=x=6，当点P从点B运动到点D时，对应于曲线MN，∴AB+BD=x=
12，∴BD=6，当点P到点D时，对应于图中的点N，∴AD=AP=y=10，在?ABD中，AB=BD=6，AD=10，BE⊥AD，
∴AE=DE=5，在Rt?ABE中，，∴平行四边形的面积为：，故答案为：．【点睛】题目主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题
意，确定关键点的对应关系是解题关键．三、解答题（本大题共8小题，第19题每小题6分，第20-23每题7分，第24-26每题8分，共
64分）19. 计算：（1）；（2）．【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）先将各二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可
；（2）先进行二次根式的乘法运算，再进行除法运算即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】===．【点睛】此题考查了二次根式的混合运
算，熟练掌握运算法则是解题的关键．20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且，求证：四边形AECF是平
行四边形．【答案】证明见解析．【解析】【分析】利用平行四边形的性质得到，，，，证明，得到，再证明，得到，即可证明四边形AECF是平
行四边形．【详解】证明：∵ABCD为平行四边形，∴，，，，∴，在和中，∴，∴，同理：∵，∴，在和中，∴，∴，∴四边形AECF是平行
四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质.解题的关键是证明，．21. 已如：如图，四边形中，，求四边
形的面积．【答案】【解析】【分析】利用勾股定理先求解 再利用勾股定理的逆定理证明 从而可得答案．【详解】解：如图，连接AC， ，
所以四边形ABCD的面积为：【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握“勾股定理与勾股定理的逆定理”是解本题的关
键．22. 如图，一次函数为与的图象相交于点A．（1）求点A的坐标；（2）若一次函数与的图象与x轴分别交于B，C两点，求的面积；（
3）结合图象，直接写出当时，x的取值范围．【答案】（1）(2，-1)； （2）1.5； （3）.【解析】【分析】（1）解两函数的解
析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出答案；（2）求出B、C的坐标，再根据三角形的面积公式求出即可；（3）根据两函数图象的交点
A的坐标得出即可．【小问1详解】由题意联立方程组得，，解得：，所以A点的坐标是（2，-1）；【小问2详解】解：函数y=-x+1中，
当y=0时，x=1，函数y=x-2中，当y=0时，x=4，即OB=1，OC=4，所以BC=4-1=3，∵A（2，-1），∴△ABC
的面积是×3×1=1.5；【小问3详解】解：根据图象可得，当y1=y2时，x=2，当y1≤y2时，x≥2．【点睛】本题考查了一次函
数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质等知识点，能求出A、B、C的坐标是解此题的关键．23. 已知：如图，在中，，D是延长线上
一点且，求线段和的长．【答案】【解析】【分析】如图，过作于先求解 再证明 再利用勾股定理求解 利用线段的和差求解 从而可得答案．【
详解】解：如图，过作于 ∵，∴ 而 【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是
解本题的关键．24. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求
作图．（1）在图①中，画一个格点三角形，使得，，；（2）在（1）的条件下，直接写出边上的高；（3）在图②中，画一个直角三角形，使它
的三边长都是无理数．【答案】（1）见解析；（2）2；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；（2）利用面
积法求解即可；（3）根据要求作出图形．【详解】（1）如图，即为所求；；（2）AC边上的高：；（3）如图，即为所求,【点睛】本题考查
作图?应用与设计，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25. 如图，在平面直角坐标系中，
直线与y轴交于点A．直线与直线平行，且与直线交于点，与y轴交于点C．（1）求m的值，以及直线的表达式；（2）点P在直线上，且，求点
P的坐标；（3）点D在直线上，且点D的横坐标为a．点E在直线上，且轴．若，求a的值．【答案】（1） （2） （3）或．【解析】【分
析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）首先推出点P的纵坐标为3，再根据待定系数法即可解决问题； （3）由题意D（a，3a+
1），E（a，-a+5），由题意可得|3a+1-（-a+5）|=6，解方程即可；【小问1详解】解：把B（1，m）代入y=3x+1中
，得到m=3+1=4， ∴B（1，4），∵y=kx+b与直线y=-x平行， ∴k=-1， 把B（1，4），代入直线y=-x+b中，
得到4=-1+b，b=5， ∴直线的解析式为y=-x+5；【小问2详解】∵与y轴交于点A， 与y轴交于点C， C（0，5）， PA
=PC， ∴点P的纵坐标为， ∴3=-x+5， 则x=2， ∴P（2，3）．【小问3详解】设D（a，3a+1），而轴，则E（a，-
a+5）， ∵DE=6， ∴|3a+1-（-a+5）|=6， 解得或．【点睛】本题考查一次函数的应用、两条直线平行或相交等知识，解
题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．26. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，在射线C
B上取一点E，使得BE＝2BC＝20，当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E． 在线段QC上取点F，使得QF＝
2，连结PF，记AP＝（）．（1）①CF＝ （用含的式子表示）②若PF⊥BC，求BQ的长．（2）若以A，B，F，P为顶点的四边形是
平行四边形，请求出的值．（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出的值．【答案】（1）；（2）；（3）3或6；
（4）【解析】【分析】（1）①由已知可得点P与点Q的速度比为1：3，则得CQ=3AP，由于CF=CQ-QF，结论可得；②过点A作A
M⊥BC于点M，由已知可得△APG和△FCG和△ABM为等腰直角三角形，则AP=PG=x，FC=FG=3x-2，AM=BM=BC=
5；由四边形AMFP为矩形得到AM=PF，列出方程求出x，则CQ可求；（2）分两种情形解答：①当点Q，F在线段BC上时；②当点Q，
F在线段CB的延长线上时，利用AP=BF，列出方程即可求解；（3）分两种情形解答：点P的对称点在线段AB上或在线段BA的延长线上，
利用AB=BF，列出方程即可求解．【详解】解：（1）①∵BE=2BC=20，∴BC=10，EC=30．∵四边形ABCD为平行四边形
，∴AD=BC=10．∵当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E，∴点P与点Q的速度比为1：3，∵AP=x，∴C
Q=3x，∴CF=CQ-QF=3x-2．故答案为：3x-2；②过点A作AM⊥BC于点M，设PF交AC于点G，如下图，∵∠ABC=4
5°，∠BAC=90°，AM⊥BC，∴△ABC，△AMB，△AMC为等腰直角三角形，∴AM=BC=5，∠ACB=45°．∵四边形A
BCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=45°．∵PF⊥BC，∴FP⊥AD．∴△APG和△FGC为等腰直角三角形．
∴PG=AP=x，FG=FC=3x-2．∴PF=PG+GF=4x-2．∵AD∥BC，AM⊥BC，PF⊥BC，∴AM=PF，∴4x-
2=5．解得：x=．∴BQ=BC-CQ=10-3x=10-×3=；（2）①当点Q，F在线段BC上时，如下图，若四边形ABFP为平行
四边形，则AP=BF，∵BF=BC-CF，∴x=10-（3x-2），解得：x=3；②当点Q，F在线段CB的延长线上时，如下图，若四
边形AFBP为平行四边形，则AP=BF，∵BF=CF-BC，∴x=3x-2-10，解得：x=6；综上，当x=3或6时，以A，B，F
，P为顶点的四边形是平行四边形；（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，①点P关于AF的对称点Q在线段AB上，如下图，
∵点P与点Q关于AF对称，∴∠BAF=∠DAF．∵AD∥BC，∴∠DAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，在Rt△A
BC中，,∴AB=5，∴5=10-(3x-2)．解得：；②点P关于AF的对称点Q在线段BA的延长线上时，如下图，∵点P与点Q关于A
F对称，∴∠QAH=∠DAH=．∵∠ABC=45°，∠ABC=∠AFB+∠FAB，∠FAB=∠QAH=，∴∠AFB==∠FAB，∴
AB=BF．∵BF=CF-BC，∴5=3x-2-10．解得：．综上，当或时，当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上．【点睛】
本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，一元一次方程的解法．充分利用等腰直
角三角形的性质是解答本题的关键．第Ⅱ卷（附加卷部分，每小题5分，共10分）27. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊
到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：
，特例4：，特例5：_______________（填写运算结果）．（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上
述的运算规律为：_________________．（3）应用运算规律．①化简___________；②若（a，b均为正整数），则
的值为_____________．【答案】（1）； （2）； （3）①20；②57.【解析】【分析】（1）根据题目中的例子可以写出
例5；（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；（3）①②根据（2）中的规律即可求解．【小问1详解】解：，故答案为：；【小问2详
解】，证明：左边，又右边，左边右边，成立,故答案为：；【小问3详解】①，故答案是：；②，根据，得，解得：，（舍去），，故答案为：．
【点睛】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．28. 在平面直角坐标系中，对于点与，给出如下定义：将过点的直线记为，若直线与有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线与的“穿越距离”，记作．例如，已知过点的直线与，其中，，，，如图所示，则．请解决下面的问题：已知，其中，，，．（1）当时，已知，为过点的直线． ①当时，________________；当时，________________；②若，结合图象，求的值；（2）已知，为过点的直线，若有最大值，且最大值为，直接写出的取值范围．【答案】（1）①2；；②，；（2）【解析】【分析】（1）①由题意和图像即可得出；②根据题意表示出一次函数的表达式，根据“穿越距离”，的长度列方程求解即可；（2）由一次函数的图像和的最大值求解即可．【详解】（1）当时，，．由图可知,四边形ABCD为正方形，又∵点在直线上． 所以将代入得：，即．∴．①当时，∴：．∴．当时，将代入，得出∴：．直线经过和，∴由题意可知：．②如图，．过作于，则．∵，∴．∴．∴．结合图象，由正方形的轴对称性可知，均符合题意．（2）设直线的表达式为，将代入得：，，∴．如图所示，设直线与线段AB交于点，与线段CD交于点．∴将代入得：，解得：，将代入得：，解得：．∵的最大值为，又因为平行线段和之间的距离为2，∴由勾股定理可得PQ之间的水平距离，代入得：，解得：．∴，，此时Q点与B点重合．∴由“穿越距离”得定义和图像可得，若有最大值，且最大值为，C点需在P点的右边，即C点的横坐标需大于P点的横坐标，∴；D点需在P点的左边或和P点重合，即D点的横坐标需小于等于P点的横坐标，∴，解得：；综上所述，的取值范围是.【点睛】此题考查了一次函数图像和平行四边形结合动点问题，解题的关键是根据题意找到题目中的等量关系列出方程． 1 / 1 |
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