2023北京东城初二（上）期末数 学一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 如图，两
个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列运算式中，正确是（ ）
A. B. C. D. 3. 已知．下面是“作一个角等于已知角，即作”尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（ ）A. B. C.
D. 4. 计算，结果正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 正六边形的外角和为（ ）A. 180°B. 360°C.
720°D. 1080°6. 长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是（ ）A B. C. D. 7. 如图，将一张四边形纸片沿对
角线翻折，点恰好落在边的中点处．设，分别为和的面积，和数量关系是（ ）A. B. C. D. 8. 若一个多边形的内角和等于，这个
多边形的边数是（ ）A. B. C. D. 9. 生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边
长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是（ ）A. 4米，4米B. 4米，10米C. 7米，7米D. 7米，7米，或4米，10米10.
在平面直角坐标系中，长方形的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6．若点A在第一象限，则点C的坐标是（ ）A. B. C. D.
二、填空题（本题共12分，每小题2分）11. 若分式的值为0，则的值为__________．12. 分解因式：2x2﹣8=___
____13. 如图，点在同一条直线上，．添加一个条件，使得．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是______________．
14. 如图，在中，，，平分交于点D，点E为的中点，连接．则的度数是______．15. 如图，在是的平分线，于点E，．则的面积大
小为___________．16. 在平面直角坐标系中，已知点，，，，连接，在线段，上作点M，使得最小，并求点M的坐标．在探索过程
中，同学们提出了三种不同的方法，作法与图示如下表：方法①方法②方法③过点P作于点M，则点M为所求．作点P关于直线的对称点，连接交于
点M，则点M为所求．过点P作于点C，过点Q作于点D，取中点M，则点M为所求．其中正确的方法是______（填写序号），点M的坐标是
______．三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18题9分，第19－25题，每小题4分，第26题6分，第27－28题，每小
题4分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：18. 化简：（1）；（2）．19. 如图，已知，，．求证：．20.
在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．解：原式……①，?……②，……③，……④……⑤（1）甲同学从第
步开始出错（填序号）；（2）请你写出正确的解法．21. 先化简，再求值：，其中从，，三个数中任取一个合适的值．22. 如图，在．（
1）求证：；（2）分别以点A，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接．求的面积．23. 解分式方程：．24.
课堂上，老师提出问题：如图1，，是两条马路，点A，B处是两个居民小区．现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活空场动中心P到
两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何确定活动中心P的位置？小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小
明的证明过程补充完整．步骤1 分析：若要使得点P到点A，B的距离相等，则只需点P在线段的垂直平分线上；若要使得点P到，的距离相等，
则只需点P在的平分线上．步骤2 作图：如图2，作的平分线，线段的垂直平分线，交于点P，则点P为所求．步骤3 证明：如图2，连接，，
过点P作于点F，于点G．∵，，且 （填写条件），∴（ ）（填写理由）．∵点P在线段垂直平分线上，∴（ ）（填写理
由）．∴点P为所求作的点．25. 在中，．点在的延长线上，的平分线交于点．的平分线与射线交于点．（1）依题意补全图形；用尺规作图法
作的平分线；（2）求的度数．26. 列分式方程解应用题．当矩形（即长方形）的短边为长边的倍时，称这个矩形为黄金矩形．黄金矩形更具美
感．下图是某位同学的书画作品，装裱前是一个长为厘米，宽为厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄
金矩形，要求装裱后的矩形宽与长之比等于．边衬的宽度应设置为多少厘米？（注：）27. 已知：在中，．点与点关于直线对称，连接交直线于
点．（1）当时，如图1．用等式表示，与的数量关系是： ，与的数量关系是： ；（2）当是锐角()时，如图2；当是钝角时，如图3．在图
2，图3中任选一种情况，①依题意补全图形；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给
出如下定义：若点P关于y轴的对称点到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形的“k倍距离点”．已知：点A（a
，0），B（a，a）．（1）当时，①点C的坐标是 ；②在三个点中， 是正方形的“3倍距离点”；（2）当时，点（其中）是正方形的“2
倍距离点”，求n的取值范围；（3）点．当时，线段上存在正方形“2倍距离点”，直接写出a的取值范围． 参考答案一、选择题（本题共20
分，每小题2分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，在平面内，
一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，即可求解．【详解】A选项是轴对称图形，所以A选项不符合题意；B选项是轴对
称图形，所以B选项不符合题意；C选项是轴对称图形，所以C选项不符合题意；D选项不是轴对称图形，所以D选项符合题意．故选D．【点睛】
本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是能够根据轴对称图形的定义判断轴对称图形．2. 【答案】B【解析】【分析】根据整式的运算法则即
可判断．【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；B．，故选项正确，符合题意；C．，故选项错误，不符合题意；D．，故选项错误，不符
合题意．故选：B．【点睛】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．3. 【
答案】B【解析】【分析】根据“作一个角等于已知角，即作”尺规作图痕迹，结合两个三角形全等的判定定理即可确定答案．【详解】解：由题意
可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是，故选：B．【点睛】本题考查尺规作图“作两角相等”以及两个三角形全等的判定定理
，掌握尺规作图及两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．4. 【答案】A【解析】【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得
到结果．【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5. 【答案】B【解析】【分析
】根据凸多边形的外角和定理求解即可．【详解】任意凸多边形的外角和为360°，∴正六边形的外角和为360°，故选：B．【点睛】本题考
查多边形的外角和定理，解题的关键是熟记基本结论．6. 【答案】B【解析】【分析】根据长方形的面积公式：面积长宽，根据题意列式求解即
可得到答案．【详解】解：长方形的面积是，一边长是，另一边长是，故选：B．【点睛】本题考查多项式除以单项式，读懂题意，根据长方形面积
公式列式求解是解决问题的关键．7. 【答案】B【解析】【分析】由折叠可知，根据中点的性质可知的面积和的面积相等，进而求出与数量关系
．【详解】解：∵由折叠可知∴∵点恰好是的中点∴∵的面积为，的面积是∴【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形中线的性质等相关知识点，找
出各个三角形的面积关系是解题的关键．8. 【答案】D【解析】【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）?180°，设这个正多边形的
边数是n，就得到方程，从而求出边数．【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：（n-2）×180=1800，解得：n=12．∴
这个多边形是12边形．故选：D．【点睛】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n-2）×180°．9. 【答案】C
【解析】【分析】根据米分别为底和腰进行分类讨论，综合利用三角形的三边关系分析求解即可．【详解】解：当米为底时，腰长为米，另两边为7
米、7米，，符合三角形三边关系，能组成三角形；当米为腰时，底边为，另两边为4米、10米，，不符合三角形三边关系，故不能组成三角形．
∴另两边为7米、7米．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．1
0. 【答案】C【解析】【分析】由题意判断点在第三象限，由邻边长分别为4，6，可求解．【详解】解：长方形的两条对称轴是坐标轴，点在
第一象限，点在第三象限，长方形的领边分别为点的坐标为或故选C．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，灵活运用这些性质解决问
题是解题关键．二、填空题（本题共12分，每小题2分）11. 【答案】0【解析】【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【详解
】∵分式的值为0，∴x=0，x-1≠0，故答案为：0．【点睛】此题考查分式值为零的条件，解题关键在于掌握若分式的值为零，需同时具备
两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．12. 【答案】2（x+2）（x﹣2）【解析】【分析】先提公因式，
再运用平方差公式．【详解】2x2﹣8，=2（x2﹣4），=2（x+2）（x﹣2）．【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键
．13. 【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由得到，由得到，根据两个三角形全等的判定定理可知，要么找到另一组对应角，利用判定；
要么选择，利用判定，从而得到答案．【详解】解：，，，，根据两个三角形全等的判定定理，分三种情况：①：取，在和中，，；②：取，在和中
，，；③：取，在和中，，；故答案为：或或．【点睛】本题考查两个三角形全等的判定定理，读懂题意，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解
决问题的关键．14. 【答案】【解析】【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到，然后利用平分交于点D求得的度数，利用三角
形的内角和求得的度数即可．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定
理，角平分线的定义，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性质，难度不大．15. 【答案】13.5【解析】【分析】根据角平分线的
性质可得D到的距离为3即可求得的面积．【详解】∵是的平分线，∴D到的距离等于的长，∴，故答案：13.5．【点睛】本题考查的是角平分
线的性质，解题的关键是会把已知转化到所求问题上．16. 【答案】 ①. ② ②. 【解析】【分析】作点P关于直线的对称点，连接交于
点M，点M即为所求．【详解】解：作点P关于直线的对称点，连接交于点M，点M即为所求．观察图形可知，方法②正确；延长交y轴于点C，过
点P作轴于点D，设与交于点E，设直线的解析式为：，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，∵，，∴，∵，∴，∵P关于直线的对称点
，∴，∴，∴，∵轴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，设直线的解析式为：，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，联立，解得：，∴
点E的坐标为：，∵点E为的中点，∴，∵，∴轴，把代入得：，∴．故答案为：②；．【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知
识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18题9分，第19－25题，每小题4
分，第26题6分，第27－28题，每小题4分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】【解析】【分析】根据绝对值运
算、负整数指数幂运算及零指数幂分别计算，再利用有理数加减运算即可得到答案．【详解】解：．【点睛】本题考查有理数混合运算，涉及绝对值
运算、负整数指数幂、零指数幂等知识，熟练掌握相关计算法则是解决问题的关键．18. 【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先利
用积的乘方运算计算，再根据乘除互化，将除法转化为乘法，约分即可得到答案；（2）根据平方差公式以及完全平方差公式展开后，利用去括号法
则及合并同类项运算即可得到答案．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．【点睛】本题考查分式化简以及整数混合运算，涉及积的乘方运算
、约分、平方差公式、完全平方差公式、去括号法则及合并同类项运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．19. 【答案】见解析【解析
】【分析】先求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【详解】证明：∵，∴，即，在和中，，∴，∴．【点睛
】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．20. 【答案】（1）② （2）【解析】【分析】（1
）根据分式的加减计算得出结论即可；（2）根据分式加减计算的运算法则得出结论即可．【小问1详解】解：由题意知，甲同学从第②步开始出错
，故答案为：②；【小问2详解】解：原式．【点睛】本题主要考查分式的加减计算，熟练掌握分式的加减运算法则，是解题的关键．21. 【答
案】，【解析】【分析】根据分式的减法计算括号内的，然后根据分式的乘法进行计算化简，最后根据分式有意义的条件，将代入求值即可求解．【
详解】解：原式 ．由分式有意义，得因此，． 所以，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的计算是解题的关键．22. 【
答案】（1）见解析 （2）16【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答；（2）过点D
作，交延长线于点E，根据题意可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，最后在中，利用含30度
角的直角三角形的性质可得，从而利用三角形的面积进行计算即可解答.【小问1详解】在中，∵,∴.∵,∴.∴；【小问2详解】过点D作的延
长线于点E，由作图得，，∴为等边三角形，∴，∴，∴， 在中，∵,,∴，∴的面积．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判
定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23. 【答案】【解析】【分析】根据分式方程解法：去分母、解整
式方程、验根、下结论等步骤求解即可得到答案．【详解】解：，两边同时乘得：，解得，检验：当时，，原分式方程的解为．【点睛】本题考查解
分式方程，熟练掌握分式方程的解题步骤是解决问题的关键．24. 【答案】点P在的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直
平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等【解析】【分析】利用角平分线的性质，可得出，利用线段垂直平分线的性质，可得出，进而可得出点
P为所求作的点．【详解】证明：如图2，连接，，过点P作于点F，于点G．∵，，且点P在的平分线上，∴（ 角的平分线上的点到角的两边的
距离相等）．∵点P在线段的垂直平分线上，∴（ 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），∴点P为所求作的点．故答案为：点P在
的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【点睛】本题考查了角平分线的性质以
及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键．25. 【答案】（1）作图见解析 （
2）【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法即可作的平分线；（2）根据角平分线的定义可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问
题．【小问1详解】解：如图所示：即为所求；【小问2详解】解：∵，∴，∵是的平分线，∴，∵是的平分线，∴，∴．【点睛】本题考查基本尺
规作图-角平分线，在熟练掌握五种基本作图的基础上按照题意进行作图，一般是结合几何图形的性质和基本作图方法灵活求解，在第一问基础上由
等腰三角形性质、角平分线定义、邻补角定义及外角性质求解是解决问题的关键．26. 【答案】厘米【解析】【分析】根据装裱后的矩形宽与长
之比等于列出方程，解方程得到答案．【详解】解：设边衬宽度为厘米，则装裱后作品的长为厘米，宽为厘米根据题意列方程，得解得： 经检验，
是原分式方程的解,且符合实际意义．答：边衬宽度应设置为厘米．【点睛】本题考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，解
题关键是找相等关系，学会分析题意，提高理解能力．27. 【答案】（1） （2）①；见解析；②，证明见解析【解析】【分析】（1）根据
轴对称的性质，得出，，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，，进而得出；（2）在图2，图3中任选一种情况，补全图形，根据等腰三角
形的性质，分类讨论即可求解．【小问1详解】解：，点与点关于直线对称，，，，则，，，，∴． 故答案为：；．【小问2详解】选择图2时．
①补全图形如图2， 图2 ②数量关系：． 证明：在上取点，使，连接．点与点关于直线对称，，．，．．， ． ，．，．．． ，．
选择图3时． ①补全图形如图3， 图3- ②数量关系：． 证明：在的延长线上取点，使，连接．点与点关于直线对称，，．，．， ． ，
．， ．，．．．，．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．28. 【
答案】（1）①（0，4）；②， （2）或 （3）或【解析】【分析】（1）①当时，可得点A（4，0），B（4，4）．根据四边形是正方
形，可得，所以点C的坐标是（0，4）；②根据点关于y轴的对称点坐标为（1，1），而点（1，1）到正方形的边所在直线的最大距离是，到
的最小距离为1，可得点是正方形的“3倍距离点”，同理即可解决问题；（2）当时，点A（6，0），B（6，6），C（0，6），结合（1
）即可解决问题；（3）根据点关于y轴的对称点坐标为，得直线的解析式为，设线段上一点P（m，m），则，分两种情况讨论：当P在正方形内
时，当P在正方形外时，进而可以解决问题．【小问1详解】解：①当时，如图1，点A（4，0），B（4，4）．∵四边形是正方形，∴，点C
的坐标是（0，4），故答案为：（0，4）；②∵点关于y轴的对称点坐标为（1，1），而点（1，1）到正方形的边所在直线的最大距离是，到的最小距离为1，∴点是正方形的“3倍距离点”；同理可得点是正方形的“1倍距离点”；同理可得点是正方形OABC的“3倍距离点”；∴是正方形的“3倍距离点”，故答案为：；【小问2详解】当时，如图2，点A（6，0），B（6，6），C（0，6），∵点关于y轴的对称点坐标为（2，n），，当时，到的距离倍的到的距离，当时，到的距离倍的到的距离，当时，到的距离倍的到的距离，当时，到的距离倍的到的距离，∴，∴，综上所述：点（其中）是正方形的“2倍距离点”时，n的取值范围是或；【小问3详解】解：∵点关于y轴的对称点坐标为，设直线的解析式为，代入得，，解得：，∴直线的解析式为，设线段上一点P（m，m），则，当P在正方形内时，①，∴，∴（舍去）；②，∴， ∴； 当P在正方形外时，， ∴， ∴；此时不存在的情况， ∴线段上存在正方形的“2倍距离点”，a的取值范围是或．【点睛】本题属于一次函数的综合题，考查了正方形的性质，平面直角坐标系，“k倍距离点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置．第1页/共1页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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