2023北京景山远洋分校初二（上）期末数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 已知
，则下列各式正确的是（?）A B. C. D. 2. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）A. B. C. D. 3. 在中
，，，则的值是（ ）A. B. C. D. 4. 在下列关于变量，的关系式中，能够表示是的函数关系的是（ ）A. B. C.
D. 5. 如图，是的中位线，若的面积为1，则四边形的面积为（ ）A 4B. 3C. 2D. 16. 把直线向上平移1个单位长
度后，其直线的表达式为（ ）A. B. C. D. 7. A，B，C三种上宽带网方式的月收费金额（元），（元），（元）与月上网时
间x（小时）的对应关系如下图所示．以下有四个推断：①月上网时间不足35小时，选择方式A最省钱；②月上网时间超过55小时且不足80小
时，选择方式C最省钱；③对于上网方式B，若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元；④对于上网方式C，无论月上网时间是多久，
月收费都是120元．所有合理推断序号是（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④8. 已知某函数的图象过，两点，下面
有四个推断：①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线平行②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限③若此函数的
图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与轴的负半轴相交④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧所有合
理推断的序号是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 请写出一个过点的函数表
达式：___．10. 求值：________．11. 在平面直角坐标系中，若点，是一次函数的图象上的两个点，则与的大小关系为：__
____（填“>”，“=”或“<”）．12. 如图，点，分别在△的，边上．只需添加一个条件即可证明△∽△，这个条件可以是_____
．(写出一个即可)13. 如图，若点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点M，轴于点N，则矩形的面积为________．14. 如
图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时
，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是________m．15. 已知二次函数的图象经
过点和点，则该二次函数的对称轴是________．16. 将二次函数的图象向右平移3个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量x
的取值范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降，写出的x的
取值范围是__________．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，
每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：．18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象过和两点．（1）求该
一次函数表达式：（2）若该一次函数的图象过点，则m的值为_____________．19. 如图，与交于点，，，，，求的长．20.
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的部分图象与x轴，y轴的交点分别为和．（1）求此二次函数的表达式；（2）结合函数图象，当
时，直接写出y的取值范围．21. 如图，在Rt△ABC中，，，，过点作∥，且，连接，求的长．22. 近视镜镜片的焦距y（单位：米）
是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据：x（单位：度）…100250400500…y（单位：米）…1.000.400
.250.20…（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据是________；A． B．C． D．（2）利用（1）中的结论计算：当
镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为多少米．23. 某种摩托车的油箱加满油之后，油箱中剩余的油量y（单位：L）与摩托车行驶路程x
（单位：km）之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；（2）该摩托车油箱最多可储油____
_________L；摩托车每行驶消耗_____________L汽油；（3）当油箱中剩余油量小于时，该摩托车将自动报警，摩托车行
驶多少千米后，摩托车将自动报警？24. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点，与反比例函数图象的一个交点为．（1）求一次
函数与反比例函数的表达式；（2）若点P在轴上，且，则点P的坐标是 ．25. 小明用篱笆围出一块周长为12m的矩形空地做生物试验，已
知矩形的一边长为（单位：m），面积为（单位：m2）． （1）求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（2）当为何值时，矩形的面积
最大？并求出此最大面积．26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点（-3，-3）．（1）求这个一次函
数的表达式：（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围．27. 在正方形ABCD中，P是射线CB上的
一个动点，过点C作于点E，射线CE交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，当点P在线段CB上时（不与端点B，C重合），①求证：；
②求证：；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时（），依题意补全图2并用等式表示线段EA，EC，EB之间的数量关系．28. 在
平面直角坐标系中，已知矩形OABC，其中点，给出如下定义：若点P关于直线的对称点在矩形OABC的内部或边上，则称点P为矩形OABC
关于直线l的“关联点”．例如，图1中的点D，点E都是矩形OABC关于直线的“关联点”．（1）如图2，在点中，是矩形OABC关于直线
的“关联点”的为_____________；（2）如图3，点是矩形OABC关于直线的“关联点”，且是等腰三角形，求t的值；（3）若
在直线上存在点Q，使得点Q是矩形OABC关于直线的“关联点”，请直接写出b的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分
）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】A【解析】【分析】根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断．【详解】
解：，，，所以A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项
之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．2. 【答案】D【解析】【分析】将（2，3）代入解析式中即可.【详
解】解：将点（2，3）代入解析式得， ，k＝6．故选:D【点睛】此题考查的是求反比例系数解析式,掌握用待定系数法求反比例函数解析式
是解决此题的关键.3. 【答案】C【解析】【分析】由解直角三角形和勾股定理，设，则，然后求出，即可求出答案．【详解】解：∵在中，，
，设，则，∴，∴；故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，解题的关键是掌握解直角三角形，正确的求出的长度．4. 【答案
】C【解析】【分析】根据函数的定义，一般地，如果变量随着变量而变化，并且对于取的每一个值，都有唯一的一个值与它对应，那么称是的函数
，对每个选项逐一判断即可．【详解】A. ，若，则，不满足函数的定义，不符合题意；B. ，若，则，不满足函数的定义，不符合题意；C.
，不论取何值，，有唯一的一个值与之对应，满足函数定义，符合题意；D. ，若,则，不满足函数的定义，不符合题意．故选C．【点睛】本
题考查了函数的定义，求一个数的平方根，绝对值概念，理解概念是解题的关键．判断是否为的函数，只要看取值确定的时候，是否有唯一确定的值
与之对应．5. 【答案】B【解析】【分析】先证明，然后根据相似三角形的性质求出，即可求出四边形的面积．【详解】解∶∵是的中位线，∴
，，∴，∴，又的面积为1，∴，∴．故选∶B．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性
质是解题的关键．6. 【答案】A【解析】【分析】根据函数图象平移规律中的“上加下减”，即可得到答案．【详解】直线向上平移1个单位长
度后，其直线的表达式为，故选：A．【点睛】本题考查函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左减右加”进行平移即可，注意加减的位置．
7.【答案】B【解析】【分析】根据A，B，C三种上宽带网方式的月收费金额（元），（元），（元）与月上网时间x（小时）的图象逐一判断
即可．【详解】解：由图象可知：①月上网时间不足35小时，选择方式A最省钱，说法正确；②月上网时间超过55小时且不足80小时，选择方
式B最省钱，故原说法错误；③对于上网方式B，若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元，说法正确；④对于上网方式A，若月上网
时间超出25小时，则超出的时间每分钟收费为：（元），原说法正确；所以所有合理推断的序号是①③④．故选：B【点睛】本题考查了函数的图
象，掌握数形结合的方法是解答本题的关键．8. 【答案】D【解析】【分析】①利用待定系数法求出一次函数解析式，根据一次函数平移的性质
解答；②待定系数法求出函数解析式，根据设反比例函数的图象性质解答；③根据题意画出图象，由此得到结论；④根据二次函数的对称性解答．【
详解】①设一次函数解析式为：y=kx+b∵一次函数的图像过点A（2,1）,B（-1,-2），将两点坐标代入解析式，得：，解得，所以
该一次函数的解析式为：y=x-1，∴此函数的图象和直线不平行，故①错误；②设反比例函数解析式为，将点A坐标代入，得，∴反比例函数解
析式为，∵k=2>0，∴函数的图象的两个分子分布在第一、三象限，故②正确；③∵函数的图象为抛物线，且开口向下，过，，当对称轴在直线
左侧时，抛物线不与y轴的负半轴相交，如图1，故③错误；④函数的图象为抛物线，且开口向上，过，，∵点A在第一象限，点B在第三象限，∴
点A与点B不是抛物线上关于对称轴对称的两个点，∴此函数图象对称轴在直线左侧，故④正确；故选：D．．【点睛】此题考查待定系数法求函数
解析式，一次函数图象平移的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，熟记性质是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.
【答案】y=x 或y= 或 y=x2（答案不唯一）．【解析】【分析】由函数图象过点（1，1），设该函数的表达式为y＝kx或y=或
y=ax2，将点的坐标代入求函数的表达式．【详解】解：设该函数的表达式为y＝kx或y=或y=ax2，把点（1，1）代入，可分别求出
表达式为：y=x 或y= 或 y=x2，故答案为：y=x 或y= 或 y=x2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了反比例（一次、正比
例或二次）函数的性质，根据点的坐标利用待定系数法求出函数表达式是解题的关键．10. 【答案】【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值
直接得出答案即可．【详解】tan60°的值为．故答案为．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题
的关键．11. 【答案】>【解析】【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征求出、 的值，比较后即可得出结论．【详解】解：∵点，是一次
函数的图象上的两个点，∴，．∵，∴．故答案为：>．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数
关系式是解题的关键．12. 【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或【解析】【分析】由已知得到∠A是公共角，只需添加另一组角相等过
夹角A的两条边成比例即可．【详解】∵∠A=∠A，∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，∽△；当时，∽△；故答案为：∠ADE=∠C或
∠AED=∠B或．【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理是解题的关键．13. 【答案】4【解析】【分析】根据反比例函数系数
k的几何意义解答即可．【详解】解：设， ，∵P点在第二象限，∴，代入中，得，∴矩形的面积，故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函
数系数k的几何意义，熟练掌握“在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．”是解
题的关键．14. 【答案】8【解析】【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
【详解】如图：∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC∽△DBE，∴BC：BE=AC：DE，即1：5=1.6：
DE，∴DE=8m，故答案为：8．【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方
程，建立适当的数学模型来解决问题．15. 【答案】直线【解析】【分析】根据A，B两点的纵坐相同，可知A、B关于次函数的对称轴对称，
即可求解．【详解】解：∵二次函数的图象经过点和点，∴该二次函数的对称轴直线，故答案为：直线．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握
二次函数的性质是解题的关键．16.【答案】【解析】【分析】根据“左+右-”法则得到新函数的解析式为，根据图象解题即可．【详解】解：
将二次函数的图象向右平移3个单位得到一个新函数：画图如下，由图象可知，当时，恰好的图象从左往右上升，而另一个函数从左往右下降，故答
案为：．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题（本题共68分，第17-22题
，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】1【
解析】【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．【详解】解：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关
键．18. 【答案】（1） （2）2【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，进行计算即可解答；（2）把点C（m，11
）代入y=3x+5中，进行计算即可解答．【小问1详解】解：把点和代入，得：，解得：，∴该一次函数的表达式为；【小问2详解】把点C（
m，11）代入y=3x+5得：，解得：．故答案为：2【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，准确
熟练地进行计算是解题的关键．19. 【答案】6【解析】【分析】由∠A=∠C，∠AOB=∠COD可得出△AOB∽△COD，利用相似三
角形的性质可得出，代入AO=4，CO=2，CD=3即可求出AB的长．【详解】∵，，∴． ∴．∵，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的
判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．20. 【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）把和代入得到关于b、c的
方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；（2）先求出抛物线的对称轴，然后分别求出、、时对应的函数值，最后数形结合解答即可．【小问
1详解】解：∵抛物线与x轴、y轴的交点分别为和，∴，解得：，∴抛物线表达式为：；【小问2详解】解∶ ，∴抛物线对称轴为，开口向上，
当时，随增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值，为，当时，，当是，，当时，．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析
式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．21. 【答案】 【解析】【分析】先利用，求出AC，再用勾股
定理先后求出BC、BD即可.【详解】解：在Rt△中，，∴． ∵，∴． ∴．∵∥，∴．∵，∴．【点睛】此题主要考察三角函数和勾股定理
的应用.22. 【答案】（1）B （2）【解析】【分析】（1）根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成
反比例，依此即可求解；（2）将代入（1）中的解析式，求出y即可．【小问1详解】解：根据表格数据可得，，所以近视镜镜片的焦距y（单位
：米）与度数x（单位：度）成反比例，所以y关于x的函数关系式是．故答案为：B．【小问2详解】解：将代入，得．∴镜片的焦距约为米．【
点睛】本题考查了反比例函数的应用，求函数值，正确求出函数的解析式是解题的关键．23. 【答案】（1） （2）12，2 （3）摩托车
行驶了550千米后将自动报警【解析】【分析】（1）利建立函数关系式用待定系数法求解；（2）根据摩托车油箱最多可储油12升，可以行驶
km即可得出每行驶100千米消耗汽油升数；（3）令，解得的值即为摩托车自动报警油量值．【小问1详解】解：设，代入，得：，解得：，则
，小问2详解】解：根据函数图像可知，摩托车油箱最多可储油12升；（升，答：摩托车每行驶100千米消耗2升汽油；故答案为：12，2【
小问3详解】解：当时，，解得，答：当摩托车行驶了550千米后将自动报警．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函
数解析式，从一次函数的图像上获取正确的信息是解题关键．24. 【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）把A（4,3）代入一
次函数，求出一次函数解析式，再求出B点坐标，再把B点坐标代入反比例函数即可解出解析式；（2）先求出AB的距离，再设P（a,0），由
PA=AB来确定P点坐标.【详解】解：（1）∵直线过点，∴． 将代入直线得．∵反比例函数的图象过点，∴反比例函数的表达式为． （2
）AB的距离为=，设P（a,0），∵PA=AB，∴，求得a=1或3,∴点P的坐标是．【点睛】此题主要考察反比例函数的应用.25.
【答案】（1），；（2）当为3m时，矩形的面积最大，最大面积为9m2.【解析】【分析】（1）求出另一边为，则可求出面积的表达式为，
由边长为正求出自变量的取值；（2）把函数变形为，则可求出顶点坐标，即为所求.【详解】解：（1）由题意得：． ∵，∴自变量的取值范围
为. （2）变形得：. ∴当时，函数有最大值.又∵，∴当时，函数的最大值为9.答：当为3m时，矩形的面积最大，最大面积为9m2
.【点睛】此题主要考察二次函数实际应用.26. 【答案】（1）; （2）【解析】【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出，再将
点（-3，-3）代入y＝kx+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）将点（﹣3，﹣3）代入y＝mx，求出m的值，根据一次
函数的性质即可求出m的取值范围．【小问1详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数的图象平移得到，∴，又∵一次函
数的图象经过点（-3，-3），∴．∴b＝-2，∴这个一次函数的表达式为；【小问2详解】将点（﹣3，﹣3）代入y＝mx，得﹣3m＝﹣
3，解得m＝1，∵当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于函数y＝kx+b的值，∴m的取值范围是：．【点睛】
本题考查了一次函数的解析式，平移的性质，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．27. 【答案】（1）①见解析；②见解
析； （2）图形见解析，【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质可得∠F+∠BCF=90°，再由，可得∠F+∠BAP=90°，即可
求证；②在AP上取点Q，使AQ=CE，可证得△ABQ≌CBE，从而得到BQ=BE，∠ABQ=∠CBE，进而得到△EBQ为等腰直角三
角形，可得到，即可求证；（2）先依题意补全图形，先证明∠BAP=∠BCF，然后在CE上截取CG=AE，可证得△ABE≌△CBG，从
而得到∠ABE=∠CBG，BE=BG，进而得到△EBG为等腰直角三角形，可得到，即可求解．【小问1详解】证明∶ ①在正方形ABCD
中，AB=CB，∠ABC=∠CBF=90°，∴∠F+∠BCF=90°，∵，∴∠AEF=90°，∴∠F+∠BAP=90°，∴∠BCF
=∠BAP；②如图，在AP上取点Q，使AQ=CE，在正方形ABCD中，AB=CB，∠ABC=∠CBF=90°，∵∠BCF=∠BAP
， ∴△ABQ≌CBE，∴BQ=BE，∠ABQ=∠CBE，∵∠ABQ+∠CBQ=∠ABC=90°，∴∠CBE+∠CBQ=∠EBQ=
90°，∴△EBQ为等腰直角三角形，∴，∴；【小问2详解】解： 依题意补全图形，如下：在正方形ABCD中，AB=CB，∠ABC=∠
ABP=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，∵CE⊥AP，∴∠CEP=90°，∴∠BCF+∠APB=90°，∴∠BAP=∠BCF
，在CE上截取CG=AE，∵∠BAP=∠BCF，AB=CB，∴△ABE≌△CBG，∴∠ABE=∠CBG，BE=BG，∴∠EBG=∠
ABE+∠FBG=∠CBG+∠FBG=∠ABC=90°，∴△EBG为等腰直角三角形，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定
和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，作适当
辅助线构造全等三角形是解题的关键．28. 【答案】（1）； （2）t=，，； （3）．【解析】【分析】⑴理解“关联点”的定义，分别求出关于直线的“关联点”，并找出在OABC内部或边上的点，即为答案；⑵当△是等腰三角时的三种情况，并根据“关联点”的定义求出t的值；⑶明确b为当x=0时的y轴的坐标，先求出满足题意时b的最小值，此时在原点，得出b的值；再找b的最大值，此时在B点，求出b的值，此时即求出b的取值范围．【小问1详解】当时，根据对称可得，的关联点为，因为在OABC外，所以不符合；的关联点为，在OABC内，所以符合；的关联点为，在OABC边上，所以符合；的关联点为，在OABC外，所以不符合．故答案为：．【小问2详解】当等腰三角形时，有以下三种情况满足题意：①如下图，以OA为底时，因为△为等腰三角形，可得的横坐标为，， 根据中点坐标公式得．②如下图，以为底时，作，，根据勾股定理，的横坐标为OA-AD=5-4=1，根据中点坐标公式得．③如下图，以为底时，作，，根据勾股定理，的横坐标为4，根据中点坐标公式得．【小问3详解】当在原点时，b取最小值，直线如下图所示，，，的坐标为，代入中，得最小值b=1；当在B点时，b取最大值，直线如下图所示，，，的坐标为，代入中，得最大值b= ．由题意可得，b存在最大值和最小值，综上．【点睛】本题考查了对新定义的理解，中点坐标公式，函数图像在坐标中的综合应用，理解题意是解答本题的关键．第1页/共1页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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