2023北京清华附中初二（上）期末数 学（清华附中初21级）一、选择题（本大题共24分，每小题3分）1. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗
芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中
国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数
法表示为（ ）A. B. C. D. 2. 下列式子中，是分式是（ ）A. B. C. D. 3. 下列等式中，从左到右的变
形是因式分解的是（ ）A. B. C. D. 4. 下列式子是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 5. 以下列长度的三
条线段为边能组成直角三角形的是（ ）A 3，4，5B. 2，3，4C. 3，4，6D. 2，4，56. 实数a，b在数轴上的位置
如图所示，则化简的结果是（ ）A. a+bB. ﹣a+bC. a﹣bD. ﹣a﹣b7. 分式与的最简公分母是（ ）A B. C.
D. 8. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A. 25B. 7C. 5或D. 7或25二、填空题（
本大题共16分，每小题2分）9. 分式约分的结果是______．10. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
11. 若分式的值为零，则x的值为______．12. 如图，在，，，则______．13. 当______时，二次三项式分解因式
的结果是．14. 若，则的算术平方根为______．15. 在多项式中，各项的公因式是______．16. 若关于分式方程有正整数
解，则整数______．三、解答题（本题共60分，第17题5分，第18～19题每题6分，第20题8分，第21题4分，第22～23题
每题5分，第24题6分，第25题7分，第26题8分）17. 计算：．18. 因式分解．（1）；（2）．19. 计算：（1）；（2）
．20. 解下列方程：（1）；（2）．21. 已知，，求的值．22. 先化简，再求值：，其中．23. 如图，在中，，于D，，，求长
．24. 列分式方程解决下列实际问题：某社区组织甲、乙两支医疗队开展疫苗接种工作，甲队比乙队每小时多接种20人，甲队接种2400人
与乙队接种2000人所用时间相同，问：甲队每小时接种多少人？25. 已知三条边的长度分别是，，，记的周长为，的面积为．（1）当时，
的最长边的长度是______（请直接写出答案）；（2）请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）；（3）若x为整数，则的最大值为_
_____，并求出当取得最大值时______（请直接写出答案）．26. 在中，，，点D为射线上一动点，连接，在右侧作线段，使，且满
足，连接，，（1）如图1，若点D在线段的延长线上，求证：；（2）如图2，若点D在线段上，取的中点F，连接，①依题意补全图2，②用等
式表示线段与的数量关系，并证明．四、附加题（本题共20分，第27、28题每题3分，第29、30题每题4分，第31题6分）27. 已
知，，则______．28. 如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面
积为20，则的值为______．29. 若，则______．30. 关于的方程无解，则m的值是______．31. 阅读下面材料：
李明这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，李明发现像，，等代数式，如果任
意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式．他还发现像，等交换对称式都可以用，表示．例如：，．于是李
明把和称为基本交换对称式．请根据以上材料解决下列问题：（1）代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是______（填序号）；（2
）已知．①______（用含a，b的代数式表示）；②若，，则交换对称式______；③若，则交换对称式的最小值为______． 参
考答案一、选择题（本大题共24分，每小题3分）1. 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a
|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：0.000
000022=2.2×10-8．故选：C．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤
|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．2. 【答案】A【解析】【分析】根据分式的定义判断即可．【详解】A、的分
母含字母，故其是分式，故A符合题意；B、是单项式，故B不符合题意；C、是单项式，故C不符合题意；D、是多项式，故D不符合题意．故选
：A．【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，
如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．3. 【答案】D【解析】【分析】根据因式
分解的定义逐项判断即可．【详解】A．右边为不是整式的积的形式，不是因式分解；B、C选项是展开，与因式分解相反；D选项是因式分解．故
选：D．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是关键．因式分解：将一个多项式转化成整式的积的形式．4. 【答案】B【
解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A．，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符
合题意；B．是最简二次根式，故此选项符合题意；C．，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D．，被
开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定
义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的
因数和因式．5. 【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可．【详解】A．，能构成直
角三角形，故本选项正确．B．，不能构成直角三角形，故本选项错误；C．，不能构成直角三角形，故本选项错误；D．，不能构成直角三角形，
故本选项错误；故选A．【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的
关键．6. 【答案】D【解析】【分析】从数轴可知-3＜b＜-2，1＜a＜2，根据二次根式的性质把＝|a+b|，再根据绝对值的性质，
去掉绝对值符号即可．【详解】解：∵从数轴可知：﹣3＜b＜﹣2，1＜a＜2，∴＝﹣（a+b）＝﹣a﹣b．故选：D．【点睛】本题考查了
二次根式的性质，绝对值的应用，主要考查学生的化简能力．7. 【答案】C【解析】【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂
的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字
母都写在积里．【详解】解：在分式与中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分母为：，故选：C．【点睛】本题考查
最简公分母，解题的关键是：需要掌握最简公分母的定义．8. 【答案】D【解析】【分析】已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角
边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【详解】解：①若4是直角边，则第三边
x是斜边，由勾股定理，得42+32=，所以=25；②若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得=42-32，所以=7；故=25
或7故选：D．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，解题的关键是是利用分类讨论的思想求解．二、填空题（本大题共16分，
每小题2分）9. 【答案】b【解析】【分析】按照分式的基本性质约分即可．【详解】解：．故答案为：b．【点睛】本题主要考查了约分，解
题的关键是熟练掌握分式的基本性质，分子分母同乘以或除以同一个不为0的数分式的值不变．10. 【答案】【解析】【分析】根据二次根式有
意义的条件以及分式有意义的条件，可求解x的取值范围，进而可求解．【详解】根据二次根式的意义，被开方数2x﹣6≥0，解得x≥3；根据
分式有意义的条件，2x﹣6≠0，解得x≠3．∴x＞3．故答案为：x＞3．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意
义的条件是解题的关键．11. 【答案】5【解析】【分析】分式的分子为零且分母不为零时分式的值为零，据此解答．【详解】解：由意义得，
且，解得，故答案为：5．【点睛】此题考查了分式值为零的情况：分子为零，且分母不为零，熟记值为零的特点是解题的关键．12. 【答案】
6【解析】【分析】根据勾股定理得出，即可求出答案．【详解】解：∵，，，∴，∴．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了勾股定理，二次根
式的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，得出．13. 【答案】1【解析】【分析】根据因式分解与多项式乘法是互逆运算，把多项式相乘展
开，在利用对应项系数相同来求解．【详解】解：，又∵二次三项式分解因式的结果是，．故答案为：1．【点睛】本题主要考查因式分解与多项式
乘法，解题的关键是正确计算多项式的乘法运算，得出．14. 【答案】2【解析】【分析】根据得出，求出，得出，代入求出其值，再求其算术
平方根即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴的算术平方根为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，算术平方根的定义，
解题的关键是根据二次根式的性质，求出，．15. 【答案】【解析】【分析】各项都含有的因式称为公因式，根据定义解答．【详解】解：多项
式中，各项的公因式是，故答案为：．【点睛】此题考查了公因式的定义，正确掌握确定公因式的方法：取相同数字的最大公约数，取相同字母的最
小指数，是解题的关键．16. 【答案】2或##或2【解析】【分析】先去分母解整式方程得，根据分式方程有正整数解，得到的值为1或2或
4，且，由此求出答案．【详解】解：去分母得，，整理得，，解得，∵分式方程有正整数解，∴的值为1或2或4，且，解得或，故答案为：2或
．【点睛】此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键．三、解答题（本题共60分，第17题5
分，第18～19题每题6分，第20题8分，第21题4分，第22～23题每题5分，第24题6分，第25题7分，第26题8分）17.
【答案】8【解析】【分析】先化简算术平方根，零指数幂，负整数指数计算，绝对值，再计算加减法．详解】解：．【点睛】此题考查了实数的混
合运算，正确掌握算术平方根，零指数幂，负整数指数计算，绝对值的化简是解题的关键．18. 【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1
）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式，然后再用完全平方公式分解因式即可．【小问1详解】解：；【小问2详解
】解：．【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，准确进行计算．19. 【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）先将分式约分变为，然后按照同分母分式加减运算法则进行计算即可；（2）按照分式混合运算法则进行计算即可．【小问
1详解】解：；小问2详解】解：．【点睛】本题主要考查了分式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确进行计算．20. 【
答案】（1） （2）无解【解析】【分析】（1）先去分母化整式方程求出解，再检验即可；（2）先去分母化为整式方程求出解，再检验即可．
【小问1详解】解：去分母得，，去括号得，，移项，合并同类项得，，检验：当时，，∴是原分式方程的解；【小问2详解】去分母得，，移项得
，，合并同类项得，，系数化为1得，检验：当时，，即增根，∴原分式方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的步骤和
解法是解题的关键．21. 【答案】13【解析】【分析】根据完全平方公式变形计算即可．【详解】解：∵，，∴，∴．【点睛】此题考查了完
全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式的计算法则是解题的关键．22. 【答案】，【解析】【分析】先计算异分母分式加减法，再化简
，最后代入字母的值计算．【详解】解：原式，当时，原式．【点睛】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，正确掌握异分母分式的加减法计算
法则是解题的关键．23. 【答案】【解析】【分析】根据勾股定理求出，利用三角形面积求出．【详解】解：在中，，，∴，∵，∴．【点睛】
此题考查了勾股定理，三角形面积公式，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．24. 【答案】120人【解析】【分析】设甲队每小时接
种x人，根据甲队接种2400人与乙队接种2000人所用时间相同列方程解答．【详解】解：设甲队每小时接种x人，则由题意得，解得，经检
验，是原分式方程的解，答：甲队每小时接种120人．【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找准等量关系列方程是解题的关键
．25. 【答案】（1）5 （2） （3）11；【解析】【分析】（1）把代入三角形的三边中，化简后计算出三角形的周长；（2）把三角
形的三边求和，利用二次根式的性质化简并确定x的取值范围；（2）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，代入公式
求出三角形的周长和面积．【小问1详解】解：把分别代入，，得：，，，∵，∴的最长边的长度是5．故答案为：5．【小问2详解】解：根据题
意可知，，，∴，∴．【小问3详解】解：∵，且x为正整数，∴x越大，越大，∴当时，，，，∵，∴这样的三边不能组成三角形，当时，，，，
∵，∴此时这样的三边能够组成三角形，的最大值为，设中，，，∴，过点A作于点，如图所示：∵，，∴，∵，∴，∴．故答案为：11；．【点
睛】本题主要考查了二次根式的性质，三角形面积的计算，三角形三边关系的应用，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式
的性质．26. 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②；证明见解析【解析】【分析】（1）根据“”证明，得出，，证明为直角三角形，
根据勾股定理得出，即可得出答案；（2）①根据题意补全图形即可；②延长，截取，连接，证明，得出，，证明即可得出结论．【小问1详解】证
明：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴为直角三角形，∴，∴．【小问2详解】解：①依题意补全图2如图所示：②；理由
如下：如图，延长，截取，连接，∵为的中点，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角
形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．四、附加题（
本题共20分，第27、28题每题3分，第29、30题每题4分，第31题6分）27. 【答案】8【解析】【分析】直接将已知提取公因式
，进而分解因式得出答案．【详解】解：，，，．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将已知变形是解题关键．2
8. 【答案】100【解析】【分析】根据图形表示出小正方形的边长为，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积
求出，然后利用完全平方公式整理即可得解．【详解】解：由图可知，，，∴，∴．故答案为：100．【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，
完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键．29. 【答案】【解析】【分析】利用
和的完全平方公式求出，再利用差的完全平方公式变形求出答案即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了完全平
方公式的变形计算，二次根式的化简，正确掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键．30. 【答案】或1##1或【解析】【分析】由分式方
程无解可知，分式分式方程去分母后把x的值代入即可求出m的值．【详解】解：∵分式方程无解，∴，∴，∵，∴，把代入得，，∴；另外当，即
时，此方程也无解；综上分析可知，m的值是或1．故答案为：或1．【点睛】本题主要考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容
．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．31. 【答案】 ①. ①④##④① ②. ## ③. ④. 【解析】【分析】（1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可；（2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，最后根据完全平方公式的变形计算即可．【详解】（1）①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式；②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式；③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式；④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式；故答案：①④；（2）①∵，，∴，∴，，故答案为；②，∵是交换对称式，∴，∵，，∴原式，故答案为；③，∵，∴原式，故答案为．【点睛】本题考查了整式的混合运算和代入求值，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”．第1页/共1页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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