2023北京石景山初二（上）期末数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 5的算术平
方根是（ ）A B. 25C. D. 2. 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有400种证明方法．下面四个图形是证明勾
股定理的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 使得分式值为零的值是（ ）A. B. C.
D. 4. 利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 在等腰中，，，则底边上的高为（ ）A.
12B. C. D. 186. 如图，数轴上，，，四点中，与对应的点距离最近的是（ ）A. 点B. 点C. 点D. 点7. 下列各
式中，运算正确的是（ ）A. B. C. D. 8. 如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，
组成，两根棒在点相连并可绕点转动．点固定，，点，可在槽中滑动．如图2，若，则的度数是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本题
共16分，每小题2分）9. 要使式子有意义，则可取的一个数是 __．10. 下面是大山同学计算的过程：（1）运算步骤为通分，其依据
是 __；（2）运算结果的分子应是代数式 __．11. 如果等腰三角形的一个角的度数为 ，那么其余的两个角的度数是______．1
2 若，则___．13. 依据下列给出的事件，请将其对应的序号填写在横线上．①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一
件是合格品；②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻；③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等；④小明打开电视，正在播放广告；必然
事件 __；不可能事件 __；随机事件 __．14. 下面是代号分别为，，，的转盘，它们分别被分成2个、4个、6个、8个面积相等的
扇形．（1）用力转动转盘 __（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等；（2）用力转动转
盘 __（填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是．15. 如图，在中，，，点为延长线上一点，点为边上一点，若
，则的度数为 __．16. 如图，中，，平分，交于点，于，若，，则的长为 __．三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，
第22-27题每题6分，第28题7分）17. 计算：．18. 计算：．19. 解方程：．20. 已知，求代数式的值．21 已知：．
求作：点，使得点在上，且．作法：①分别以，为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于，；②作直线，与交于点．点为所求作的点．根据
上述作图过程（1）请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接，，，． ，，，在线段的垂直平分线上．
即是线段的垂直平分线．点在直线上， （填写推理的依据）．22. 已知：如图，点是线段上一点， ，，．求证：．23. 如图，将线段放
在单位长为1的小正方形网格内，点，均落在格点上．（1）按下列要求画图（保留必要的画图痕迹，不必写画法）①请在线段上画出点，使得的和
最小；②请在线段上画出点，使得的和最小；（2）请观察、测量或计算按（1）中要求所画的图形．①的和最小的依据是 ；② （直接写出答
案）．24. 学校为了丰富学生体育活动，计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每个篮球的价格比每个的排球价格多4元，已知学校
用2000元购买篮球的个数与用1800元购买排球的个数相等．求每个篮球、每个排球的价格．25. 若关于的分式方程的解为正数，求正整
数的值．26. 已知：如图，，，三点在同一直线上，和为等腰直角三角形，．（1）求证：，；（2）已知，，求的长．27. 将分式分母因
式分解后，可以把一个分式表示成两个分式的和或差．观察下列各式，解答下面问题：（1）；（2）计算：．28. 如图，在中，，，点关于边
的对称点为，连接，过点作且，连接、（1）依题意补全图形；（2）判断和的数量关系并证明；（3）平面内有一点，使得，，求的度数．参考答
案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 【答案】D【解析】【分析】根据算术平方
根的定义求解即可，如果一个正数x的平方等于a，即，那么x叫做a的算术平方根．【详解】解：数5的算术平方根为．故选：D．【点睛】本题
考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键，正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．2. 【
答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的定义和中心图形的定义进行判断求解即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题
意．故选B．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键在于熟练的掌握相关定义去判断图形．3. 【答案】A【解析】
【分析】根据分式的值为0的条件求出m的值即可．【详解】解：分式值为零，且，．故选：A．【点睛】本题考查分式的值为零的条件，熟知分式
值为零的条件是分子为零而分母不为零是解题的关键．4. 【答案】D【解析】【分析】由题意直接根据高线的定义进行分析判断即可得出结论．
【详解】解：A、B、C均不是高线．故选：D．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟练掌握三角形高线的定义即过一个顶点作垂直于它对边
所在直线的线段,叫三角形的高线是解答此题的关键．5. 【答案】B【解析】【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质求得，再由勾股定理
得．【详解】解：如图，过点A作于点，是等腰三角形，，，在中，由勾股定理得，，即底边上的高为，故选：．【点睛】此题考查了等腰三角形和
勾股定理，解题的关键是熟知等腰三角形的性质和勾股定理．6. 【答案】B【解析】【分析】估算出无理数的大小，进而可以求解．【详解】解
：，，，，点距离此点最近．故选：B．【点睛】此题考查了无理数的估算，解题的关键是正确求得无理数的估值．7. 【答案】C【解析】【分
析】根据分式运算法则逐项计算判断即可．【详解】解：、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故符合题意；、，故不符合题意；故选：．【
点睛】此题考查了分式的运算法则，解题的关键是熟悉分式的加减乘除运算法则．8. 【答案】B【解析】【分析】由等边对等角即可得出．再结
合三角形外角性质即可求出，从而可求出的大小．【详解】解：，，，，，，，，，，故选：．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的
性质．利用数形结合的思想是解题关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次根
式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得：，解得：，∴可取2．故答案为：2（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了二次根式有意
义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．10. 【答案】 ①. 分式的基本性质 ②. 【解析】【分析】根据分式的
基本性质填写和计算．【详解】解：（1）分式的通分是运用分式的基本性质，故答案为：分式的基本性质；（2）通过运算得，故答案为：．【点
睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟悉分式的基本性质．11. 【答案】，或，【解析】【分析】根据等腰三角形性质，分类讨论即
可得到答案．【详解】解：①当时顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：；②当时底角时，则有：顶角；故答案：，或，．【点睛】本题考查等
腰三角形性质：两个底角相等，还考查了分类讨论的思想．12.【答案】2【解析】【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性得到，再
计算代数式即可.【详解】解：，，，解得：，，．故答案为：2．【点睛】此题考查代数式的代入求值，正确掌握绝对值的非负性及算术平方根的
非负性是解题的关键.13. 【答案】 ①. ① ②. ③ ③. ②④##④②【解析】【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行
分析即可．【详解】解：①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品，是必然事件；②五人排成一行照相，甲、乙正好
相邻，是随机事件；③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等，是不可能事件；④小明打开电视，正在播放广告，是随机事件；则必然事
件①；可能是近是③；随机事件是②④，故答案为：①；③；②④．【点睛】本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件
），确定事件又分为必然事件和不可能事件．14. 【答案】 ①. A ②. C【解析】【分析】（1）指针落在阴影区域的可能性与落在白
色区域的可能性相等，可得阴影区域的面积等于白色区域的面积；（2）指针落在阴影区域的可能性转盘的面积，可得阴影区域的面积所占大小．【
详解】解：（1）用力转动转盘，当转盘停止后，指针落在阴影区域可能性与落在白色区域的可能性相等．（2）．故用力转动转盘，当转盘停止后
，指针落在阴影区域的可能性大小是．故答案为：，．【点睛】此题考查了几何概率，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键
是熟练掌握几何概率公式．15. 【答案】##65度【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出。【详解】解
：在中，，，则，是的外角，，故答案为：．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题关
键。16. 【答案】【解析】【分析】先由角平分线的性质得到，再证明，得到长，再根据勾股定理解出，设，则，由勾股定理得求出长．【详解
】解：，，平分，，在与中，，，，，，在中，由勾股定理得，，设，则，在中，由勾股定理得，，即，解得，即的长为，故答案为：．【点睛】本
题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握各种性质定理是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-21题
每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分）17. 【答案】【解析】【分析】先进行二次根式的除法运算，然后化简二次根式后合并即
可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．18
. 【答案】【解析】【分析】先把括号内的式子通分，在运用分式乘除法法则进行解题即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查分式的混合运
算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．19. 【答案】【解析】【分析】两边乘转化为整式方程即可，注意必须检验．【详解】解：去分母
得：，解得：，检验：把代入得：，分式方程的解为．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母
，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验．20. 【答案】【解析】【分析】直接把代入求解即可．【详解】解：∵，∴．【点睛】本题
考查了求代数式的值，准确将代入原式并正确约分计算是解题的关键．21. 【答案】（1）见解析 （2），线段的垂直平分线上的点到线段的
两个端点距离相等．【解析】【分析】（1）根据题意进行作图即可；（2）先根据作图方法可知，，则点在直线上，再根据线段垂直平分线的性质
即可证明结论．【小问1详解】解：如图，点即为所求；【小问2详解】证明：连接，，，．，，，在线段的垂直平分线上．即是线段的垂直平分线
．点在直线上，（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）．故答案为：，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．【点
睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解题的关键．
22. 【答案】见解析【解析】【分析】由平行线的性质可得，由“”可证，可得．【详解】证明：∵，∴，在和中，，∴，∴．【点睛】本题考
查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是解本题的关键．23. 【答案】（1）见解析 （2）①两点之间，线段最短；②【
解析】【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形；①作点B关于CD对称点B''，连接AB''，交CD于点P，使得的和最小，点P就是所求的点
；②作点A关于CD的对称点A''，连接A''B，交CD于点Q，使得的和最小，点Q就是所求的点；（2）①根据两点之间线段最短解答即可；②
根据勾股定理计算即可．【详解】（1）如图所示：（2）①根据轴对称的性质可知：的和最小的依据是两点之间，线段最短，故答案为：两点之间
，线段最短；②根据轴对称的性质可知：，，故答案为：．【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，轴对称的性质-最短路径问题，掌握轴对称
的性质、勾股定理等知识是解题的关键．24. 【答案】每个篮球的价格为40元，每个排球的价格为36元．【解析】【分析】设每个篮球的价
格为元，则每个排球的价格为元，根据学校用2000元购买篮球的个数与用1800元购买排球的个数相等，解方程即可得到答案．【详解】解：
设每个篮球的价格为元，则每个排球的价格为元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，则，答：每个篮球的价格为40元，
每个排球的价格为36元．【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意建立方程．25. 【答案】1【解析】【分析】把分式方程
化为整式方程，再解出整式方程可得，再由原方程的解为正数，求出的取值范围，即可求解．【详解】解：原方程可化为：，．原方程的解为正数，
，，，，，，∴的取值范围为且，正整数的值为1．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意算出的答案要去除分
母为0的情况．26. 【答案】（1）证明过程见详解 （2）【解析】【分析】（1）和为等腰直角三角形，可证，再证明，即可得，由此即可
求证；（2），可知，设，则，，，在中，由勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：∵和为等腰直角三角形，∴，，∵，∴，即，∴，∴，，如
图所示，设与交于点，∵，且，∴，∴，∴．【小问2详解】解：∵，设，则，，∴，在中，由勾股定理得，，解得，（舍去），∴．【点睛】本题
主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理求直角三角形的边长是解题的关键．27. 【答案】（
1）， （2）【解析】【分析】（1）根据规律可以直接得到答案；（2）先将分母进行因式分解，再将分式表示成两个分式的差，即可得到答案
．【小问1详解】解：，故答案为：，；【小问2详解】解：．【点睛】本题考查因式分解和分式运算，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和分式的运算法则．28. 【答案】（1）见解析 （2）．证明见解析 （3）或【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）结论：，证明四边形是平行四边形，推出，可得结论；（3）分两种情形：如图2中，当是钝角．证明，推出，即可解决问题，如图3中，当是锐角时，同法可得解决问题．【小问1详解】解：图形如图1所示：【小问2详解】解：结论：．理由：，，四边形是平行四边形，，，；【小问3详解】如图2中，当是钝角．，，，，，，，，，，关于对称，，，，，，， ，．如图3中，当是锐角时，同法可得，，综上所述，的值为或．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．第1页/共1页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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