2012-2021北京初三（上）期末数学汇编公式法一、单选题1．（2021·北京朝阳·九年级期末）下列方程中，无实数根的方程是（?）A．B．
C．D．2．（2018·北京海淀·九年级期末）方程的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D
．只有一个实数根3．（2015·北京海淀·九年级期末）方程x2-3x-5=0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相
等的实数根C．没有实数根D．无法确定是否有实数根4．（2014·北京海淀·九年级期末）若关于的方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A．k≤1B．k<1C．k≥1D．k>15．（2013·北京东城·九年级期末）下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是A．B．C．
D．6．（2015·北京西城·九年级期末）如果关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题7．
（2014·北京东城·九年级期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是______
____．8．（2021·北京朝阳·九年级期末）一元二次方程的根为________．9．（2016·北京东城·九年级期末）请你写出
一个一元二次方程，满足条件：①二次项系数是 1；②方程有两个相等的实数根，此方程可以是________．10．（2016·北京海淀
·九年级期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．11．（2015·北京昌平·九年级期末）已知关于
x的方程有实数解，那么m的取值范围是________．12．（2013·北京东城·九年级期末）已知x=1是方程x2+bx-2=0的
一个根，则b的值是______；方程的另一个根是___________．三、解答题13．（2021·北京东城·九年级期末）关于的一
元二次方程．（1）若方程有两个相等的实数根用含的代数式表示；（2）若方程有两个不相等的实数根，且．①求的取值范围；②写出一个满足条
件的的值，并求此时方程的根．14．（2020·北京海淀·九年级期末）已知关于的一元二次方程. （1）求证：方程总有两个实数根；（2
）若方程有一个根为负数，求的取值范围.15．（2015·北京朝阳·九年级期末）已知关于x的一元二次方程mx2?(m+1)x+1=0
.(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值. 16．（2018·北京朝阳·九年
级期末）关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）若k为负整数，求此时方
程的根．17．（2015·北京海淀·九年级期末）已知关于x的一元二次方程m－(m+2)x+2=0有两个不相等的实数根，．(1)、求
m的取值范围；(2)、若＜0，且＞－1，求整数m的值．18．（2014·北京海淀·九年级期末）若关于的方程 有实数根． （1）求的
取值范围；（2）当取得最大整数值时,求此时方程的根.参考答案1．D【分析】根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可．【详解】A．，所
以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意．B．，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故B不符合题意．C．，所以该一
元二次方程有一个实数根，故C不符合题意．D．，所以该一元二次方程无实数根，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程根的
情况，熟练运用一元二次方程根的判别式来判断一元二次方程根的情况是解答本题的关键．2．C【分析】把a=1，b=-1，c=3代入△=b
2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】∵a=1，b=-1，c=3，∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×
3=-11＜0，所以方程没有实数根．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判
别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．3．A
【详解】∵方程，∴△==9+20=29＞0，∴方程有两个不相等的实根．故选：A．考点：根的判别式．4．B【详解】试题分析：解：解方
程（x+1）2=k﹣1得到：x+1=±,∵关于x的方程（x+1）2=k﹣1没有实数根,∴k﹣1＜0,解得,k＜1．故选B．考点：直
接开平方法解一元二次方程．5．C【详解】试题分析：分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断. A、，该方程有两个不相等实数根，
故错误；B、，该方程有两个不相等实数根，故错误；C、，该方程有两个相等的实数根，正确；D、，该方程没有实数根，故错误；故选C.点评
：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．6．D【
详解】解：由题意得：，，，∴△===，解得：，故选D．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键．7
．且【分析】根据一元二次方程的定义可知，，再根据一元二次方程的根的判别式大于0，解不等式即可求得实数k的取值范围．【详解】关于x的
一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，，，且解得且故答案为：且【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系:
?当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;?当Δ=0时，方程有两个相等的实数根;当Δ<0时，方程没有实数根．8．【分析】观察方程，用
公式法解方程即可.【详解】a=1，b=?3，c=1，∵△=9?4=5，∴ 故答案为【点睛】考查一元二次方程的解法，掌握公式法的公
式是解题的关键.9．x2+2x+1=0（答案不唯一）．【详解】试题解析：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实
数根，∴b2-4ac=0，符合条件的一元二次方程可以为x2+2x+1=0（答案不唯一）．考点：根的判别式．10．【详解】试题分析：
若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围． ∵关于x
的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＞0， 解得：m＜9．考点：根的判别
式．11．【详解】分析：有实数解，即△≥0，把a、b、c的值代入计算即可．详解：根据题意得△=b2-4ac=4+4m≥0，解得m≥
-1，故答案是m≥-1．点睛：本题考查了根的判别式，解题的关键是注意：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有
两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．12． 1???? -2【分析】由题意把代入方程，即可求得b的值，再解方程即可求得
另一个根．【详解】解：由题意得，解得则原方程可化为解得，则方程的另一个根是【点睛】本题考查方程的根的定义，解一元二次方程．解答本题
的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值.13．（1）（2）①；② ，．【分析】（1）根据方程得
出，变形即可；（2）①根据方程得到，解得即可；②在的取值范围内取，然后解方程即可．【详解】（1）∵关于的一元二次方程有两个相等的实
数根，∴，∴．（2）①∵方程有两个不相等的实数根，且，∴，解得；②∵，∴可以是3此时方程为，，解得，．【点睛】此题主要考查了根的判
别式以及解一元二次方程，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实
数根．14．（1）见解析；（2）【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【详解】（1），∵，∴方程总有实数根；（2）∵，∴，，∵方程有一个根为负数，∴，∴．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二
次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．15．(1)见解析；（2）m的值为1或?1.【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别
式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结论；（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m的值．【
详解】(1)证明：△=[?(m+1)]2?4m=(m?1)2.∵(m?1)2?0，∴△?0.∴该方程总有两个实数根；(2)x=.∴
x1=1,x2=.当m为整数1或?1时,x2为整数，即该方程的两个实数根都是整数，∴m的值为1或?1.【点睛】本题考查根的判别式和
解一元二次方程-公式法，解题的关键是掌握根的判别式和解一元二次方程-公式法.16．（1） ；（2）x1=0，x2=1.【分析】（1
）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于k的不等式，解之可得；（2）由所得k的范围，结合k为负整数得出k的值，代入方程，
再利用因式分解法求解可得．【详解】（1）由题意，得△．解得．?（2）∵k为负整数，∴． 则方程为．解得，．【点睛】本题考查了根的判
别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=4k+5＞0；（2）将k=-1代入原方
程，利用因式分解法解方程．17．(1)、m≠0且m≠2；(2)、m=－1.【详解】试题分析：(1)、根据一元二次方程的定义首先得出
m≠0，根据根的判别式得出m≠2，最后综合得出m的取值；(2)、首先根据求根公式求出方程的解，然后根据题意进行计算.试题解析：（1
）由已知，得m≠0且△=－4×2m=－4m+4=＞0∴m≠0,且m≠2.(2)、原方程的解为x=． ∴x=1或x=∵＜0，∴=1，
=．∴m＜0． ∵＞－1，∴＞－1．∴m＞－2．又∵m≠0,且m≠2，∴－2＜m＜0????????∵m是整数，?∴m=－1．考点：(1)、一元二次方程根的判别式；(2)、不等式的应用.18．（1）.（2）.【详解】试题分析：（1）由于方程 有实数根,,求出.（2）当取得最大整数值时,即,代入原方程求出.解：（1）∵关于的方程 有实数根, ∴.解不等式得, ．（2）由（1）可知,,∴的最大整数值为2.此时原方程为． 解得, ．考点：一元二次方程的根. 1 / 1 |
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