2012-2021北京初三（上）期末数学汇编图形的旋转一、单选题1．（2019·北京昌平·九年级期末）如图所示的网格是正方形网格，图中△AB
C绕着一个点旋转，得到△A''B''C''，点C的对应点C'' 所在的区域在1区～4区中，则点C'' 所在单位正方形的区域是（ ）A．1区B
．2区C．3区D．4区2．（2018·北京海淀·九年级期末）如图，一块含角的直角三角板绕点顺时针旋转到的位置，当点、、在同一条直线
上时，三角板的旋转角度是（?）．A．B．C．D．3．（2020·北京西城·九年级期末）如图，在中，以C为中心，将顺时针旋转35°得
到，边，相交于点F，若，则的度数为（?）A．60°B．65°C．72.5°D．115°4．（2018·北京海淀·九年级期末）如图，
在平面直角坐标系xOy中，点A从出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（?）A．点MB．点NC．点PD．点Q5．（2018·北京
昌平·九年级期末）如图，点，的坐标分别为、，将绕点按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标为（?）A．（-2,4）B．（2，-1）C．（
-2,2）D．（-1,3）6．（2018·北京昌平·九年级期末）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AO
B绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）A．30°B．45°C．90°D．135°7．（2013·北京西城·九年级期末
）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，△绕点顺时针旋转90°后得到△，则点的对应点坐标为（?）A．（3，4）B．（7，4）C．（7，
3）D．（3，7）二、填空题8．（2021·北京海淀·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在
AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为________，CE的长为
_______．9．（2021·北京东城·九年级期末）如图，是等边三角形．若将绕点逆时针旋转角后得到，连接和，则的度数为_____
___．10．（2018·北京东城·九年级期末）如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且，则的度数是_______
． 11．（2020·北京西城·九年级期末）如图，A，B两点的坐标分别为，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段．若点C恰好落在x轴的负
半轴上，则旋转角为______°．12．（2018·北京昌平·九年级期末）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD
是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为_______．13．（2018·北京西城·九年级期末）如图,正△的边长为，
点、在半径为的圆上,点在圆内,将正绕点逆时针针旋转，当点第一次落在圆上时，旋转角的正切值为_______________14．（2
018·北京昌平·九年级期末）如图，将边长为1的正三角形，沿轴正方向连续翻转若干次，点依次落在点，，，，…，的位置上，则点的横坐标
_________.15．（2018·北京昌平·九年级期末）如图，点是等边三角形内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，若，下列
结论：①≌；②；③，其中一定成立的是_________（填序号）.16．（2014·北京东城·九年级期末）如图，在直角△OAB中，
∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．17．（2018·北京门头沟·九年级期末
）已知线段AB=5cm，将线段AB以点A为旋转中心，逆时针旋转90°得到线段AB′，则点B、点B′的距离为_____．18．（20
18·北京石景山·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出
一种由△ABC得到△DEF的过程：_____．19．（2015·北京西城·九年级期末）如图，将绕点按顺时针方向旋转某个角度得到，使
，，的线相交于点，如果，那么__________．20．（2018·北京门头沟·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，图形L
2可以看作是由图形L1经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由图形L1得到图形L2的过程_____．三、解答题
21．（2020·北京东城·九年级期末）如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转α（0＜α＜180°）得到格点△A1B
1C1，点A与A1，点B与B1，点C与C1是对应点．（1）请通过画图找出旋转中心M．（2）直接写出旋转角α的度数为____．22．
（2021·北京朝阳·九年级期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC和点D （A，B，C，D是网格线
交点）．（1）画出一个△DEF，使它与△ABC全等，且点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，点F与点C是对应点（要求：△DEF是
由△ABC经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．（2）在（1）的条件下，网格中建立平面直角坐标系，写出点C和点F的坐标．
23．（2021·北京顺义·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为线段BC上一动点（不与点B，
C重合），作射线AD、AB，将射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线，，过点B作BC的垂线，分别交射线，于点E，F．
（1）依题意补全图形；（2）求证：AB＝AF；（3）用等式表示线段AC，BD与BE之间的数量关系，并证明．24．（2021·北京通
州·九年级期末）如图，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形．连接，与正方形交于点，，连接，．（1）求的值（用表示）；（2）求证：；（
3）写出线段，，之间的数量关系，并证明．25．（2021·北京密云·九年级期末）如图，矩形ABCD中，AD>AB，DE平分∠ADC
交BC于点E，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接EF，AD与FE交于点O．（1）①补全图形；②设∠EAB的度数为，
直接写出∠AOE的度数（用含的代数式表示）．（2）连接DF，用等式表示线段DF，DE，AE之间的数量关系，并证明．26．（2020
·北京密云·九年级期末）已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点（不与点
C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．?（1）如图1，若点M在线段BD上．① 依据题
意补全图1；② 求∠MCE的度数． （2）如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量
关系 ．27．（2020·北京西城·九年级期末）是等边三角形，点P在的延长线上，以P为中心，将线段逆时针旋转n°（）得线段，连接
，．?（1）如图，若，画出当时的图形，并写出此时n的值；（2）M为线段的中点，连接．写出一个n的值，使得对于延长线上任意一点P，总
有，并说明理由．28．（2020·北京通州·九年级期末）如图，在钝角中，点为上的一个动点，连接，将射线绕点逆时针旋转，交线段于点.
已知∠C=30°，CA=2 cm,BC=7cm,设B，P两点间的距离为xcm,A,D两点间的距离ycm. 小牧根据学习函数的经验
，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.下面是小牧探究的过程，请补充完整:(1)根据图形.可以判断此函数自变量X的取值范围是
；(2)通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表:0.511.021.913.4734.164.473.973.222.4
21.66a2.022.50通过测量。可以得到a的值为 ；(3)在平而直角坐标系xOy中.描出上表中以各对对应值为坐标的点，画出该
函数的图象;(4)结合画出的函数图象，解决问题:当AD=3.5cm时，BP的长度约为 cm.29．（2018·北京西城·九年级期末
）在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点
分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝ （用α的代数式表示），∠BFC的度数
为 °；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．30．（2017·北京房山·九年级期末）如图1
，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG
．（1）求证：AE=BG（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°）如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成
立？如果仍成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（3）若BC=DE=4，当旋转角α为多少度时，AE取得最大值？直接写出AE取得
最大值时α的度数，并利用备用图画出这时的正方形DEFG，最后求出这时AF的值．?图1图2备用图参考答案1．D【分析】如图，连接A
A''，B B''，分别作A A''，B B''的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，从而便可判断出点C'' 位置.【详解】如图，连接A A''
，B B''，分别作A A''，B B''的中垂线，两直线的交点O即为旋转中心，连接OC，易得旋转角为90°，从而进一步即可判断出点C''
位置.在4区.故选：D.【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握相关方法是解题关键.2．A【分析】根据对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角可得答案．【详解】∵△ABC中∠ACB＝30°，∴∠ACA1＝150°，∴三角板ABC旋转的角度是150°，故选：
A．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，关键是掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．3．B【分析】由图形旋转变换的性质，可得
∠A=∠D=30°，再根据三角形的外角的性质，即可求解.【详解】∵以C为中心，将顺时针旋转35°得到，∴∠ACD=35°，∠A=∠
D=30°，∴=∠ACD+∠D=35°+30°=65°，故选B.【点睛】本题主要考查图形的旋转的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握
三角形外角的性质，是解题的关键.4．C【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，逐一判断即可.【详解】解：连接OA、OM
、ON、OP，根据旋转的性质，点A的对应点到旋转中心的距离与OA的长度应相等根据网格线和勾股定理可得：OA=，OM=，ON=，OP
=，OQ=5∵OA=OM=ON=OQ≠OP∴则点A不经过点P故选C.【点睛】此题考查的是旋转的性质和勾股定理，掌握旋转的性质：对应
点到旋转中心的距离相等和用勾股定理求线段的长是解决此题的关键.5．B【分析】根据题意画出图形，然后结合直角坐标系即可得出B''的坐标
．【详解】解：如图， 点B′坐标为（2，?1），故选B．【点睛】本题考查了旋转作图的知识及旋转后坐标的变化，难度一般，解答本题的关
键是根据题意所述的旋转三要素画出图形，然后结合直角坐标系解答．6．C【分析】根据勾股定理的逆定理求解．【详解】解：设小方格的边长为
1，得，OC=，AO=，AC=4，∵OC2+AO2==16，AC2=42=16，∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC=90°．故选：
C．【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，正确掌握勾股定理逆定理的计算方法是解题的关键．7．C【详解】当x=0时，y=?x+4
=4，则B点坐标为(0，4)；当y=0时，?x+4=0，解得x=3，则A点坐标为(3，0)，则OA=3，OB=4，∵△AOB绕点A
顺时针旋转90°后得到△AO′B′，∴∠OAO′=90°，∠AO′B′=∠AOB=90°，AO′=AO=3，O′B′=OB=4，即
AO′⊥x轴，O′B′∥x轴，∴点B′坐标为(7，3).故选C.8． 【分析】由题意可知为等腰直角三角形，，旋转的性质可得，，根
据勾股定理即可求解．【详解】解：由题意可知为等腰直角三角形，由旋转的性质可得，为旋转角，，旋转角的度数为连接，如下图：则，由勾股定
理可得：故答案为，【点睛】此题考查了旋转的性质，涉及了勾股定理，掌握旋转的有关性质以及勾股定理是解题的关键．9．30°．【分析】由
旋转的性质得出AC=AC''，∠CAC''=α，由三角形的内角和定理求出∠AC''C的度数，由等边三角形的性质得出AB=AC''，由等腰三
角形的性质求出∠AC''B的度数，则可得出答案．【详解】解：∵将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC''，∴AC=AC''，∠CAC''=α
，∴∠ACC''=∠AC''C=，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴AB=AC''，∴∠AC''B=，∴∠BC''C
=∠AC''C-∠AC''B=(90°?)?(60°?)=30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等
腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．10．45°【分析】根据旋转的性质可得∠AOD=∠BOC=40°
，AO=DO，再求出∠BOD，∠ADO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算解，即可求解．【详解】解：∵是
绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，∴∠AOD=∠BOC=40°，AO=DO，∵∠AOC=105°，∴∠BOD=105°-40°×
2=25°，∠ADO=∠A=（180°-∠AOD）=（180°-40°）=70°，由三角形的外角性质得，∠B=∠ADO-∠BOD=
70°-25°=45°∴∠C=45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不
相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．11．120【分析】根据图形旋转的性质，可得：BA=BC，由等腰三角形
的性质，可知：∠OBC=∠OBA，由，，可知：∠OBA=60°，从而可得旋转的角度.【详解】∵A，B两点的坐标分别为，，∴OA=3
，OB=，∴在Rt?AOB中，，∴∠OAB=30°，∴∠OBA=90°-30°=60°，∵线段绕点B顺时针旋转得到线段，∴BA=B
C，∵BO⊥AC，∴∠OBC=∠OBA=60°，∴∠ABC=∠OBC+∠OBA=60°+60°=120°，故答案是：120.【点睛
】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握“当腰三角形三线合一”是解题的关键.12．90°．【分析】由△COD是由△AOB绕点O按逆
时针方向旋转而得，可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案．【详解】如图：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋
转而得，∴OB=OD，∴旋转的角度是∠BOD的大小，∵∠BOD=90°，∴旋转的角度为90°．故答案为90°．【点睛】此题考查旋转
的性质．解题关键是理解△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．13．【分析】作辅助线，首先求出∠DAC的
大小，进而求出旋转的角度，即可得出答案．【详解】如图，分别连接OA、OB、OD；∵OA=OB= ，AB=2，∴△OAB是等腰直角三
角形，∴∠OAB=45°；同理可证：∠OAD=45°，∴∠DAB=90°；∵∠CAB=60°，∴∠DAC=90°?60°=30°，
∴旋转角的正切值是，故答案为.【点睛】此题考查等边三角形的性质，旋转的性质，点与圆的位置关系，解直角三角形，解题关键在于作辅助线.
14．3011【分析】由题意结合图形可知，的横坐标为2，的横坐标为3＋2＝5，那么的横坐标为3＋3＋2＝8，的横坐标为3n?1，所
以点 的横坐标为3011．【详解】解：∵边长为1的正三角形OAP，∴的横坐标为2，的横坐标为3＋2＝5，∴的横坐标为3n?1，∴点
的横坐标为3011．故答案为3011．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，图形与坐标的性质，关键在与首先推出，的横坐标，然后总结
出的横坐标为3n?1即可．15．①②【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，根据“SAS
”可证△ACP≌△BCQ，则①正确，根据三角形内角和定理可判断②．【详解】：∵△ABC是等边三角形∴AC=BC，∠ABC=∠ACB
=∠BAC=60°，∵将CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，∴PC=CQ，∠PCQ=60°，∴∠PCQ=∠ACB，∴∠ACP=∠B
CQ，且AC=BC，PC=CQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS），故①正确∵△ACP≌△BCQ，∴∠CBQ=∠CAP，∵∠BAP+∠
CAP+∠ABP+∠PBC=180°-∠ACB=120°∴∠ABP+∠BAP=120°-（∠PBC+∠CBQ）=120°-∠PBQ
=120-40°=100°∵∠APB=180°-（∠ABP+∠BAP）=100°故②正确∵∠BQC的度数不确定，∴∠BQP的度数不
确定，即∠BPQ的度数不确定．故③错误故答案为:①②【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，
运用旋转的性质是解题的关键．16．70【详解】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1， ∴∠A1OA=100°．又∵
∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°．17． 【分析】根据旋转之后的性质以及题意可得到△ABB’是等腰直角
三角形，从而求出BB’的值，得到答案.【详解】∵△ABB’是等腰直角三角形，∴BB’＝AB＝5，故答案为5cm.【点睛】本题主要考
查了等腰直角三角形以及旋转的基本性质，解本题的要点在于可根据题意得出△ABB’是等腰直角三角形，从而得到答案.18．向右平移4个单
位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【分析】根据对应点C与点F的位置，结合两三角形在网格结构中的位置解答．【详解】解：
△ABC向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°即可得到△DEF，所以，过程为：向右平移4个单位，沿对称轴BC
翻折，再绕点C逆时针旋转90°．故答案为向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【点睛】本题考查了几何变换的
类型，平移、旋转，准确识图是解题的关键．19．28°【详解】分析：先根据平行线的性质，由AB′∥CB得到∠B′AC=∠D=28°，
然后根据旋转的性质求解．详解：∵，∴，∵且，∴．∵旋转，∴．故答案为28°.点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等
；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．20．由图形L1绕B点顺时针旋转90°，并向左平移7个单位得到图
形L2．【分析】根据旋转的性质、平移的性质进行分析即可得解.【详解】图形L2可以看作是由图形L1绕B点顺时针旋转90°，并向左平移
7个单位得到图形的，故答案为由图形L1绕B点顺时针旋转90°，并向左平移7个单位得到图形L2.【点睛】本题考查了坐标与图形变换，旋
转、平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学的知识．21．（1）见解析；（2）90°【分析】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线
段的中垂线，两中垂线的交点即为所求；（2）连接CM、C1M，结合网格特点可得旋转角∠CMC1＝α＝90°．【详解】解：（1）如图所
示，点M即为所求；（2）如图所示，∠CMC1＝α＝90°，故答案为：90°．【点睛】本题主要考查作图?旋转变换，解题的关键是掌握旋
转变换的定义和性质．22．（1）见解析；（2）C（0，0），F（4，2）【分析】（1）将△ABC向右平移2个格，向上平移2个格，绕
点D旋转作图；（2）如以点C为原点，根据点在坐标系中的位置直接得到点坐标．【详解】解：（1）答案不唯一，如：．（2）C（0,0），
F（4,2）．．【点睛】此题考查平移作图，旋转作图，确定直角坐标系中的点的坐标，掌握平移的性质、旋转的性质是解题的关键．23．（1
）见解析；（2）见解析；（3）BE+BD=2AC，见解析【分析】（1）按照要求画图即可；（2）证∠ABF=∠AFB=45°即可；（
3）证△DAB≌△EAF，得BD=EF，BE+BD=BE+EF=BF，再根据等腰直角三角形的性质，BF=AB=2AC．【详解】解：
（1）作图如下： （2）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠1= 45°，∵BF⊥BC，∴∠CBF= 90°，∴∠2= 45
°，∵射线AB绕点A顺时针旋转90°得到射线，∴∠BAF= 90°，∴∠3= 45°=∠2，∴AB=AF．（3）BE+BD=2AC
．证明：∵射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线，，∴∠DAE=∠BAF= 90°，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠3，AB
=AF，∴△DAB≌△EAF ，∴BD=EF，BF=BE+BD， 在Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ABF中，BF=AB，∴B
F=2AC， ∴BE+BD =2AC．【点睛】本题考查了旋转作图、等腰三角形的判定、勾股定理和全等三角形的判定，综合性较强，两个等
腰直角三角形的直角顶点重合必出全等三角形是解题关键．24．（1）；（2）见解析；（3），见解析【分析】（1）根据旋转的性质得出△B
AG为等腰三角形即可求解；（2）先根据等腰三角形求出∠CEB的度数（用表示），再由外角的性质求出∠AHE的度数（用表示），根据内错
角相等即可求证；（3）延长构造平行四边形，根据平行四边形的性质即可求证．【详解】（1）由旋转得，?∴ （2）∵，?∴又∵∴∠CEB
=∠EHA∴ ．（3）如图延长到使，联结， ∵∴∴∴∵∴∴∵∴∵即?又∵∴四边形为平行四边形∴，∵，∴，∴四边形为平行四边形 ∴，
∵，∴，∴四边形为平行四边形∴∴．【点睛】此题主要考察了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及平行四边形的性质和判定；解题
的关键是掌握平移的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及平行四边形的性质和判定，以及正确作出辅助线．25．（1）①见解析；②；（
2），证明见解析【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②首先根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质得出，然后通过等量代换得出，最后利
用即可求解；（2）延长DE，AB交于点G，首先利用矩形的性质和角平分线的定义得出，则，进而得出，根据勾股定理有，然后再通过等量代换
即可得出．【详解】（1）①如图，②∵将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，， ． ∵四边形ABCD是矩形，∴． ， ， ；
（2），证明：延长DE，AB交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴．∵平分，∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴．【点
睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，掌握这些性质及定理是解题的关键．26．（1）①见解析；②∠MCE=
∠F=45°；（2）【分析】（1） ① 依据题意补全图即可；② 过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，利用同角的余角相等，得到∠
FMA= ∠CME，再通过等腰三角形的判定得到FM=MC，再通过判断，得到∠MCE的度数.（2）通过证明，得到?AF=EC，将转化
为，再在Rt△FMC中，利用边角关系求出FC=，即可得到.【详解】（1） ① 补全图1：② 解：过点M作BC边的垂线交CA延长线于
点F?∵FM⊥BC ∴ ∠FMC =90° ∴ ∠FMA+∠AMC=90° ∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME∴∠A
ME=90° ，AM=ME∴ ∠CME+∠AMC=90°∴∠FMA= ∠CME ∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠FCM=45°
∴∠F=∠FCM=45°∴FM=MC 在△FMA和△CME中 ∴ ∴ ∠MCE=∠F=45°（2）解：过点M作BC边的垂线交CA
延长线于点F?∵FM⊥BC ∴ ∠FMC =90° ∴ ∠FME+∠EMC=90° ∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段M
E∴∠AME=90° ，AM=ME∴∠FME +∠AMF=90°∴∠EMC = ∠AMF ∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠FC
M=45°∴∠MFC=90°-∠FCM=45°∴FM=MC 在△FMA和△CME中 ∴ ∴ AF=EC∴∵∠FCM=45°，∠F
MC=90°∴FC=∴综上所述，【点睛】本题是旋转图形考查，掌握旋转前后不变的量是解答此题的关键，涉及到的知识点相似的判定及性质、
等腰三角形的性质等.27．（1）60°；（2）n=120°，理由见详解.【分析】（1）由是等边三角形，得∠BAC=∠ACB=60°
，由，，得∠PBQ=∠CPA=30°，，进而得到∠BPC=60°，即可求解；（2）以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直
角坐标系，如图2，设点B（a，0），点P（x，0），根据坐标系中，中点坐标公式和两点间的距离公式，分别表示出MP，AP的长度，即可
.【详解】如图1，若，当时，n=60°，理由如下：∵是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵，∴∠CAP=∠CPA=30°，
∵∴∠PBQ=∠CPA=30°，∵，∴，∴∠Q=90°，∴∠BPC=180°-∠Q -∠PBQ =180°-90°-30°= 60
°，∴n=60°；（2）当n=120°时，对于延长线上任意一点P，总有，理由如下：以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直
角坐标系，如图2，设点B（a，0），点P（x，0），∴PQ=PC=x，∵∠CPQ=120°，∴∠NPQ=180°-120°=60°
，过点Q作QH⊥x轴，则PH=x，QH=x,∴点Q坐标为（，），∵点M时BQ的中点，∴点M的坐标为： 过点A作AE⊥x轴，则CE=
CB，AE=CE，∴点A坐标为： ，∴AP==MP==，即：.图1图2【点睛】本题主要考查等边三角形和含30°角的直角三角形的性质
，画出图形，建立合适的平面直角坐标系，把几何问题化为代数问题，用数形结合的思想方法，是解题的关键.28．（1）0≤x ≤5；（2）
1.74；（3）见解析；（4）0.8或者4.8.【分析】（1）考虑点P的临界位置∠APB=60°时，D与B重合，计算出此时的PB长
，即可知x的取值范围；（2）根据图形测量即可；（3）描点连线即可；（4）画直线y=3.5与图象的交点即可观察出x的值.【详解】（1
）如图1，当∠APB=60°时，D与B重合，作PE⊥AC于E，∵∠C=30°，∠APB=60°，∴∠CAP=30°,∴PC=AP，
∴CE=AE=,∴PC=2,∴PB=5,∴0≤x ≤5 ；（2）测量得a=1.74；（3）如下图所示，?（4观察图象可知，当y=3
.5时 x=0.8或者4.8.【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及描点法画函数图象，利用图象求近似值，体现了特殊到一
般，再由一般到特殊的思想方法.29．（1）α﹣45°，45°；（2）图详见解析，点A到直线BE的距离为 ．【分析】（1）如图1，利
用旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，则∠CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠A
BD＝∠ACE，所以∠BFC＝∠BAC＝45°．（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，利用旋转的性质得点D与点C重合，
∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，则△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AB＝2，再证明AG⊥BE，然后根据等腰直角三角形的性质求
出AG的长即可．【详解】解：（1）∵△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，如图1，∴∠BAD＝∠CAE＝α，
AB＝AD，AE＝AC，而∠BAC＝45°，∴∠CAD＝α﹣45°；∵AB＝AD，AE＝AC，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠
BAD）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BFC＝∠BA
C＝45°．故答案为α﹣45°；45°；（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，∵△ABC绕点A逆时针旋转45度得到△A
DE，而AB＝AC，∠BAC＝45°，∴点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝AB＝2，而AG平分∠BAE，∴AG⊥BE，∴AG＝BE＝，即此时点A到直线BE的距离为．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．30．（1）证明见解析；（2）成立；（3）270°，【详解】试题分析（1）在Rt△BDG与Rt△EDA；根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；（2）连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG=AE；（3）根据（2）的结论，求BG的最大值，分析可得此时F的位置，由勾股定理可得答案．试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADB=∠ADC=90°，AD=DC=DB，∵四边形DEFG是正方形，∴DE=DG，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴BG=AE；（2）成立；理由如下：如图2，连接AD，由（1）知AD=BD，AD⊥BC．∴∠ADG+∠GDB=90°．∵四边形EFGD为正方形，∴DE=DG，且∠GDE=90°． ∴∠ADG+∠ADE=90°∴∠BDG=∠ADE．?在△BDG和△ADE中，∵BD=AD，∠BDG=∠ADE，GD=ED，∴△BDG≌△ADE（SAS）∴AE=BG；（3）α=270°； 正方形DEFG如图3所示由（2）知BG=AE∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．∵BC=DE=4，∴EF=4，∴BG=2+4=6∴AE=6在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF=. 1 / 1 |
|
