2012-2021北京初三（上）期末数学汇编正多边形和圆一、单选题1．（2021·北京朝阳·九年级期末）若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半
径相等，则n的值为（?）A．4B．5C．6D．72．（2021·北京通州·九年级期末）公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周
长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于
圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割
圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正边形，使用刘徽割圆术，得到π的近似值为（?）A．B．C．D．3．（2019·北京
丰台·九年级期末）如图，，，是⊙上的三个点，如果∠°，那么∠的度数为（?）A．B．C．D．4．（2020·北京西城·九年级期末）如
图，四边形内接于，若，则的度数是（?）A．40°B．80°C．100°D．120°5．（2018·北京怀柔·九年级期末）正方形AB
CD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是（ ）A．1B．2C．?D．26．（2018·北京大兴·九年级期末）如图，点A，
B，C是⊙O上的三个点，点D在BC的延长线上.有如下四个结论：①在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BCE=∠DCE；②在∠AB
C所对的弧上存在一点E，使得∠BAE=∠AEC；③在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得EO平分∠AEC；④在∠ABC所对的弧上任意
取一点E(不与点A，C重合) ，∠DCE=∠ABO +∠AEO均成立.上述结论中，所有正确结论的序号是（?）A．①②③B．①③④C
．②④D．①②③④7．（2018·北京门头沟·九年级期末）如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=75°，那
么∠BAD的度数是（ ）A．65°B．75°C．85°D．105°8．（2018·北京丰台·九年级期末）如图，A，B是⊙O上的两
点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点. 如果∠AOB=140°，那么∠ACB的度数为（?）A．70°B．110°C．140°D．
70°或110°9．（2016·北京丰台·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°，则∠BAD的度数是（ ）
A．30°B．60°C．80°D．120°10．（2016·北京顺义·九年级期末）正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大
小分别为（?）A．6，B．，3C．6,3D．，11．（2015·北京西城·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长
线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（?）A．130°B．120°C．80°D．60°二、填空题12．（2020·北京密
云·九年级期末）若边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是___________．13．（2019·北京石景山·九年级期末）如图
，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若E是弧BC上一点，则_____________°．14．（2018·北京通州·九年级期末）如图，
AC，AD是正六边形的两条对角线，在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）_____；（2）____
_．15．（2021·北京门头沟·九年级期末）已知正方形的边长为2cm，那么它外接圆的半径长是_______cm．16．（2018
·北京通州·九年级期末）如图，，是正六边形的两条对角线.在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）__
________________________；（2）______________________.17．（2018·北京平谷·
九年级期末）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提
到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将
边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB是圆内接正六边形的一条边，半径OB=1，OC⊥AB于点D，则圆内接正十二边
形的边BC的长是______（结果不取近似值）．18．（2019·北京门头沟·九年级期末）如图，等边三角形ABC的外接圆的半径OA
的长为2，则其内切圆半径的长为______．19．（2016·北京怀柔·九年级期末）已知⊙O的半径2，则其内接正三角形的面积为__
_______．20．（2014·北京石景山·九年级期末）如图所示：下列正多边形都满足，在正三角形中，我们可推得：；在正方形中，可
推得：；在正五边形中，可推得：，依此类推在正八边形中，______，在正边形中，______.21．（2014·北京海淀·九年级期
末）如图,是⊙O上的点,若,则___________度．22．（2021·北京石景山·九年级期末）如图,正方形ABCD内接于⊙O,
点E在上,则∠BEC=_______°.三、解答题23．（2019·北京西城·九年级期末）如图，四边形内接于⊙，，．(1)求点到的
距离；(2)求的度数．24．（2018·北京西城·九年级期末）如图所示，在△ABC 中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝4．（1
）画出△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°后的图形，（2）求出△ABC 扫过的面积．25．（2018·北京昌平·九年级期末）尺规
作图：如图，AC为⊙O的直径．（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）当直径AC=4时，求这
个正方形的边长．26．（2015·北京通州·九年级期末）如图，在Rt△ABC中,∠C = 90°，BC=9,CA=12,∠ABC的
平分线BD交AC于点D, DE⊥DB交AB于点E. 点O在AB上，⊙O是△BDE的外接圆,交BC于点F,连结EF.求的值.参考答案
1．C【分析】根据题意，内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则正n边形的中心角为 ，由 可得结果．【详解】解： 内接正n边形的边长
与⊙O的半径相等，正n边形的中心角为，，n的值为6，故选：C．【点睛】本题考查了正n边形中心角的定义，熟记并理解正n边形中心角的定
义是解决本题的关键．2．A【分析】如详解图，先利用三角函数的知识把正边形的边长用含有的式子表达出来，求解出正边形的周长，再利用正边
形的周长无限接近圆的周长即可求解．【详解】如图： ， ，则正边形的周长为： ，圆的周长为：，由圆的内接正n边形的周长无限接近圆的周
长可得： 整理得： 故选：A．【点睛】本题考查了极限的思想，抓住圆内接正边形的周长无限接近圆的周长是解题关键．3．C【分析】在弧A
B上取一点D，连接AD,BD，利用圆周角定理可知,再利用圆内接四边形的性质即可求出∠的度数.【详解】如图，在弧AB上取一点D，连接
AD,BD，则∴故选C【点睛】本题主要考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键.4．C【
分析】根据圆的内接四边形，对角互补，即可得到答案.【详解】∵四边形内接于，∴∠ABC+∠ADC=180°∵，∴∠ABC=180°-
80°=100°.故选C.【点睛】本题主要考查圆的内接四边形的性质，掌握“圆的内接四边形，对角互补”是解题的关键.5．B【分析】作
OE⊥AD于E,连接OD,在Rt△ODE中,根据垂径定理和勾股定理即可求解.【详解】解：作OE⊥AD于E,连接OD,则OD=.在R
t△ODE中,易得∠EDO为45，△ODE为等腰直角三角形，ED=OE,OD=== .可得：ED=1，AD=2ED=2，所以B选项
是正确的.【点睛】此题主要考查了正多边形和圆,本题需仔细分析图形,利用垂径定理与勾股定理即可解决问题.6．D【分析】①当BE是⊙O
的直径时，根据圆周角定理和邻补角的定义得到结论；②当AE∥BC时，得到弧AB=弧CE，根据圆周角定理得到结论；③当点E是弧AC的中
点时，根据角平分线的定义得到结论；④根据圆内接四边形的性质和四边形的内角和得到结论．【详解】解：①当BE是⊙O的直径时，∠BCE=
∠DCE=90°，故①正确；②当AE∥BC时，弧AB=弧CE，∴弧BCE=弧ABC，∴∠BAE=∠AEC；故②正确；③当点E是弧A
C的中点时，EO平分∠AEC；故正确；④如图2，∵∠A=∠ECD，∠A+ ∠BOE=180°， ∴∠ABO+∠AEO=360°-∠
A-∠BOE=360°-∠DCE-2（180°-∠COE），∴∠DCE=∠ABO+∠AEO，故正确；故选D．【点睛】本题考查圆周角
定理，解题关键是正确的理解题意．7．B【详解】试题解析：∵四边形ABCD内接于 ∴ 故选B．点睛：圆内接四边形的对角互补.8．
D【详解】如图：∵∠AOB=140°，∴∠ACB=∠AOB=70°；∵四边形ACBC′内接于⊙O，∴∠AC′B=180°-∠ACB
=110°；当C在优弧AB上时，∠ACB=70°，当C在劣弧AB上时，∠ACB=110°，故∠ACB的度数为70°或110°，故选
D.【点睛】本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，应考虑到∠ACB的度数有两种情况，不要漏解．9．B【分析】直接根据圆内
接四边形的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°，∴∠BAD=180°﹣120°=60°．故选B
．10．B【详解】试题分析：由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度．解：∵正方形的边长为
6，∴AB=3，又∵∠AOB=45°，∴OB=3∴AO==3，即外接圆半径为3，内切圆半径为3．故选B．考点：正多边形和圆．11．
B【详解】试题分析：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B=∠ADE=120°．故选B．考点：圆内接四边形的性质．12．【分析】连接O
B，CO，由题意得∠BOC=90°，OC=OB，在Rt△BOC中，根据勾股定理即可求解．【详解】解：连接OB，OC，如图∵四边形A
BCD是正方形且内接于⊙O∴∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，利用勾股定理得：∵OC=OB，正方形边长=2∴利用勾股定理得：则
∴．∴⊙O的半径是，故答案为：．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．13．45°【分
析】利用弧CD对应的圆周角相等来解答即可.【详解】连接BD，正方形ABCD中，∠DBC=45°，∵弧CD对应的圆周角为∠DBC与∠
DEC，则∠DEC=∠DBC=45°.【点睛】此题主要考察圆周角的应用.14． ∠BAC=∠BCA???? ∠DAF=∠ADE．【
分析】根据正六边形的特点可得到：因为图形是正六边形，所以AB=BC，所以三角形ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得∠BAC
=∠BCA．因为EF∥AD，AF=ED，所以四边形ADEF是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得∠DAF=∠ADE．【详解】解：由分析
可知，两个关于图中角度的正确结论：（1）∠BAC=∠BCA；（2）∠DAF=∠ADE．故答案为∠BAC=∠BCA；∠DAF=∠AD
E．【点睛】考查了多边形内角与外角，要结合题目中所提供的已知条件，特别是该图形为正六边形，得出结论．15．【详解】分析：运用正方形
的性质，以及与外接圆的关系，可求出外接圆半径．详解：∵正方形的边长为2,由中心角只有四个可得出：?∴中心角是：?正方形的外接圆半径
是：sin∠AOC ∵ ∴ 故答案为 点睛：考查正多边形和圆，涉及垂径定理，解直角三角形，比较简单.16． ∠F=∠E???? ∠
F=120°【详解】试题解析：解：(1)∠F=∠E；(2)∠F=120°．答案不唯一．故答案为(1)∠F=∠E；(2)∠F=120
°（答案不唯一）．17．【详解】解：由题意得∠BOC=360°÷6÷2=30°，∴ ，∴ ，∴ ，∴ .故答案为：18．1【详解】
过点O作OD⊥AB于点D， ∵△ABC是等边三角形，∴∠OAD=30°，∵∠ADO=90°，∴OD=AO==1，即其内切圆半径的长
为1，故答案为1.19．3．【详解】如图所示，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB=90°，BD=CD，∠OBC=30°，
∴OD=OB=1，∴BD=，∴BC=2BD=2，∴△ABC的面积=3S△OBC=3××BC×OD=3××2×1=3．20． 135
???? 135【详解】试题分析：根据图中所提示的内容，结合图形，找出规律，找到每种图形中∠EPA与其内角的关系．试题解析：在已知
几个图中，都有△BEC≌△AFC，都有∠BPF=∠C，所以∠BPF都是等于这个多边形内角的度数；已知八边形内角为135°，所以在正
八边形中，∠EPA=135°．考点: 正多边形和圆.21．130°.【分析】在优弧AB上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理先求
出∠ADB的度数，再利用圆内接四边形对角互补进行求解即可.【详解】在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB=100°，∴∠A
DB=∠AOB =50°，∴∠ACB=180°﹣∠ADB=130°．故答案为130°．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对
角互补的性质，正确添加辅助线，熟练应用相关知识是解题的关键．22．45【详解】连接OB、OC，∵O是正方形外接圆的圆心，∴∠BOC
=90°，∴∠BEC=∠BOC=45°．23．(1)2；(2)135°．【分析】（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得
到AM=CM=2，根据勾股定理即可得到结论；（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC=∠MCO=45°，求得∠AOC=
90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【详解】(1)作于，∵，∴，∵，∴；(2)连接，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【点
睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（1）详见解析；（2）4π+2 【分析
】（1）根据旋转的特点作出图像（2）扫过的面积即为90度扇形角的面积加上三角形的面积，求出即可．【详解】解：（1）如图所示，（2）
∵∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝4，∴BC＝ AB＝ ×4＝2，AC＝ ＝ ＝2 ，∴△ABC 扫过的面积＝S 扇形 ABB′
+S△ABC＝×2×2＝4 +【点睛】旋转的特点和扇形的面积公式都是本题的考点，熟练掌握其知识是解决此题的关键．25．（1）见解析
；（2）2【分析】（1）过点O作出直径AC的垂线，进而得出答案；（2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形ABCD的边长．【详解
】解：（1）如图所示：（2）∵直径AC=4，∴OA=OB=2．∵正方形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠AOB=90°，∴AB==．【点睛】此题主要考查了复杂作图以及正多边形和圆，正确掌握正方形的性质是解题的关键．26．【详解】试题分析：首先根据BC和AC的长度求出AB的长度，根据平分线的性质得出∠ABD=∠DBC，根据OB=OD得出∠ABD=∠ODB，从而说明∠ODB=∠DBC，得到OD∥BC，从而说明△ADO和△ACB相似，求出圆的半径，然后证明出△BEF和△BAC相似，求出所求的结果.试题解析：连接OD，设⊙O的半径为r, 在Rt△ABC中,,∴AB=15???∵BD平分∠ABC，?∴∠ABD=∠DBC?????∵OB=OD???∴∠ABD=∠ODB?????∴∠ODB=∠DBC∴OD//BC???∴∠ADO=∠C=90°又∠A=∠A???????∴△ADO∽△ACB∴. ∴ ∴. ∴又∵BE是⊙O的直径. ∴∠BFE=90° ∴△BEF∽△BAC ∴考点：三角形相似的应用. 1 / 1 |
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