2012-2021北京初三（上）期中数学汇编实际问题与一元二次方程一、单选题1．（2021·北京·宣武外国语实验学校九年级期中）要组织一次篮
球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（?????）A
．x（x﹣1）＝15B．x（x+1）＝15C．x（x+1）＝15D．x（x﹣1）＝152．（2019·北京八中九年级期中）某商品原
价800元，连续两次降价a％后售价为578元，下列所列方程正确的是（?????）A．800(1+a%)2=578B．800(1－a
%)2=578C．800(1－2a%)=578D．800(1－a2%)=578二、填空题3．（2019·北京四中九年级期中）参加一
次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得____．4．（2021·北京育才学校九年级期
中）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数a2＋2b－3.例如把(2，－5)放入其中就会得到2
2＋2×(－5)－3＝－9.现将实数对(m，－3m)放入其中，得到实数4，则m＝__________.5．（2017·北京·临川学
校九年级期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可 盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发
现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价________．6．（20
17·北京·临川学校九年级期中）一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则列方
程为_____．三、解答题7．（2017·北京·临川学校九年级期中）某地区2019年投入教育经费2500万元，2021年投入教育经
费3025万元．求2019年至2021年该地区投入教育经费的年平均增长率．8．（2019·北京·北师大实验中学九年级期中）服装柜在
销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利
，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每
件童装应降价多少元？9．（2020·北京市西城外国语学校九年级期中）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”
赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长
率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？10．（2019·北京十五中九年级期中）如图,园林小组的同学
用一段长16米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD,墙的长度为9米,设AB的长为x米,BC的长为y米.(1)①写出y与x的函数
关系是: ;②自变量x的取值范围是 ;(2)园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为30平方米,试求此时边AB的长.11．（2017·
北京·临川学校九年级期中）如图,某公司计划用32m长的材料沿墙建造的长方形仓库，仓库的一边靠墙，已知墙长16m，设长方形的宽AB为
xm. （1）用x的代数式表示长方形的长BC；（2）能否建造成面积为120㎡的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能,请
说明理由；（3）能否建造成面积为160㎡的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能,请说明理由．12．（2017·北京·临
川学校九年级期中）如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每
秒1个单位的速度沿△ABC边?A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上时，
试求出使AP长为时运动时间t的值；（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值
；若不存在，请说明理由．13．（2013·北京四中九年级期中）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如
果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润
为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利
润是多少元?（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润
不低于2200元?14．（2019·北京市第三十九中学九年级期中）某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出50
0千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．①如果市场某天销
售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克 这种水果涨了多少元?②设每千克这种水果涨价x元时(0 市场每天销售这种水果所获利润为y元．若不考虑其他因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元时，市场每天销售这种水果盈利最多?
最多盈利多少元?参考答案1．A【分析】设邀请个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打场球，第二个球队和其他球队打场，以此类推可以
知道共打场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，根据题意得：．故选：A．【点睛】本题
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，此题和实际生活结合比较紧密，解题的关键是准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程．2
．B【分析】根据平均变化率公式：原价×（1-降价的百分率）=现价，由此即可得答案.【详解】由题意可得方程：800（1-a%）2=5
78，故选B．3． x（x﹣1）=45【分析】利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 x
（x-1）解决问题即可．【详解】由题意列方程得，x（x-1）=45．故答案为x（x-1）=45．【点睛】本题考查了一元二次方程的应
用，熟知x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 x（x-1）这一基本数量关系是解题的关键.4．7或－1【详解】根据题意得，m2
+2×（-3m）-3=4，解得m1=7，m2=-1，所以m的值为7或-1．5．10元或20元【详解】设商场平均每天要赢利1200元
，每件衬衫应降价x元，（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=10，x2=20，即商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应
降价10元或20元.故答案为10元或20元．6．【详解】由题意得.【点睛】平均增长率（降低）百分率是x，增长(降低)一次，一般形式
为a（1x）=b；增长（降低）两次，一般形式为a（1x）2=b；增长（降低）n次，一般形式为a（1x）n=b ,a为起始时间的有关
数量，b为终止时间的有关数量．7．这两年投入教育经费的年平均增长率为【分析】根据等量关系：2019年投入教育经费×（1+x）2=2
021年投入教育经费列方程求解即可．【详解】解：设2019年至2021年该地区投入教育经费的年平均增长率为，根据题意，得，解得：，
或（不合题意舍去），答：这两年投入教育经费的年平均增长率为．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键
．8．20【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件
．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，由此即可列出方程（40-x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．【
详解】如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，则每降价1元，多售2件，设降价x元，则多售2x件；设每件童装应降价x元，依
题意得(40?x)(20+2x)=1200，整理得，解之得，因要减少库存，故x=20.答：每件童装应降价20元.【点睛】此题考查一
元二次方程的应用，解题关键在于结合实际列出相应的一元二次方程.9．（1）捐款增长率为10%.（2）第四天该单位能收到13310元捐
款.【分析】（1）根据“第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数”，设出未知数，列方程解答即可.（2）第
三天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可.【详解】（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程
得：，解得x1=0.1，x2=－1.9（不合题意，舍去）.答：捐款增长率为10%.（2）12100×（1+10%）=13310元.
答：第四天该单位能收到13310元捐款.10．（1）①y=16-2x②≤x<8（2）5米【分析】（1）由篱笆总长16米，可得y与x
的函数关系；（2）由x＞0，y＞0及y≤9可得x的取值范围；（3）由矩形菜园的面积为30平方米，可列方程求得AB的长.【详解】(1
)①y=16-2x;②≤x<8;(2)由题意,AB·BC=x(16-2x)=30,解得:x1=5,x2=3x2=3不在(1)中x的
取值范围内,故舍去.答:此时边AB的长为5米.【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，注意根据已知条件列出方程及求出x的范围.
11．（1）BC=32-2x（2）能 （3）不能【详解】试题分析：（1）由AB+BC+CD=32，AB=CD=x，即可得BC；（2
）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可；（3）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，由判别式△<0即可得结果.试题解析：（
1）BC=32-2x（2）能 由题知： x(32-2x)=120化简整理得（x-6）(x-10)=0解得：x1=6，x2=10 经
检验x1=6 ，x2=10都是原方程的解但x1=6不符合题意,舍去答：能建成面积为120㎡仓库，此时长为12米，宽为10米． （3
）不能由题知： x(32-2x)=160 化简整理得： 此时 此方程无解所以不能建造成面积为160㎡的长方形仓库．点睛：本题主要考
查一元二次方程的应用，能根据题意列出方程并会判别方程根的情况是解题的关键.12．(1) AB＝3，BC＝4;(2) t＝4;(3)
t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形.【详解】试题分析：（1）解一元二次方程即可求得边长；（2）结合图形，利用勾股定
理求解即可；（3）根据题意，分为：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解.试题解析：(1)∵x2－7x＋12＝(x
－3)(x－4)＝0∴＝3或＝4 . 则AB＝3，BC＝4 (2)由题意得 ∴，(舍去)则t＝4时，AP＝. (3)存在点P，使△
CDP是等腰三角形.①当PC＝PD＝3时， t＝ ＝10(秒). ②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4.∴
AC＝ ＝5，CP1＝ AC＝2.5∴t＝ ＝9.5(秒) ③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q. ，∴PC＝2PQ＝∴(秒)可
知当t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形.13．(1) y=－10x2＋110x＋2 100(0＜x≤15且x为整数)
; (2) 每件55元或56元时，最大月利润为2 400元;(3)见解析.【详解】试题分析：（1）由销售单价每涨1元，就会少售出1
0件,得（0＜x≤15且x为整数）；（2）把进行配方即可求出最大值，即最大利润.（3）当时，，解得：,．当时，，当时，．当售价定为
每件51或60元，每个月的利润为2200元．试题解析：（1）（且为整数）；（2）．∵a=-10＜0，∴当x=5.5时,y有最大值2
402.5．∵0＜x≤15且x为整数，∴当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+6=56，y=2400（
元）∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．（3）当时，，解得：,．∴当时，，当时，．∴当售价定
为每件51或60元，每个月的利润为2200元．∴当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．∴当售价不低于51元且不高于6
0元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月
的利润不低于2200元）．考点：1.二次函数的应用；2.一元二次方程的应用.14．①5元；②7.5元，6 125元【详解】：（1）
设市场某天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了x元，由题意得（10+x）（500-20x）=6000，整理，得x2-15x+50=0，解得x1=5，x2=10，因为顾客得到了实惠，应取x=5，答：市场某天销售这种水果盈利6000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了5元；（2）因为每千克这种水果涨价x元时，市场每天销售这种水果所获利润为y元，y关于x的函数解析式为y=（10+x）（500-20x）（0＜x≤25）而y=（10+x）（500-20x）=-20x2+300x+5000=-20（x-7.5）2+6125所以，当x=7.5时（0＜7.5≤25），y取得最大值，最大值为6125答：不考虑其他因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元时，市场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利6125元． 1 / 1 |
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