2012-2021北京中考真题数学汇编二次函数一、单选题1．（2012·北京·中考真题）小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭
头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教
练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【?????】A．点MB．点NC．
点PD．点Q2．（2018·北京·中考真题）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动
员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数
据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A．B．C．D．3．（2021·北京·中考真题）如图，用绳子围成周长为的矩形，
记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（???????
）A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系二
、填空题4．（2013·北京·中考真题）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______.三、解答题5
．（2013·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点
B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在-2 一段位于直线的上方，并且在2 遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而
，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ．（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：012301综
合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，
结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ．7．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系中
，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；（2）求抛物线的
对称轴；（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．8．（2018·北京·中考真题）在平面直角坐
标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．（1）求点的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）
若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．9．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx
2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求
线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范
围．10．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关
于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标
；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.11．（2021·北京·中考真
题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．（1）若，求该抛物线的对称轴；（2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．12
．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中．（1）若抛物线的对称轴为，当为何值时，（2）设抛物线的
对称轴为．若对于，都有，求的取值范围．13．（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A
、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点 ，与直线BC交于点，
若x1 ．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A，求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B,
C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B,C间的部分（含点B和点C）向左平移个单位后得到的图象记为C，同时将（2）中得到的直
线向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．参考答案1．D【详解】解：A、假设这个位置在点
M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点
对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C、，假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教
练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；故选
D．2．B【详解】分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.详解：设对称轴为，由（，）和（，）可知，，由（，）和（，）可知
，，∴，故选B．点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.3．A【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列
出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得：，整理得：，，∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的
关系；故选A．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．4．y＝x2＋1．【详解
】此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等．5．（1）A（0，-2），B（
1，0）；（2）y=-2x+2；（3）y=2x2-4x-2【详解】试题分析：（1）令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称
轴解析式，即可得到点B的坐标；（2）求出点A关于对称轴的对称点（2，-2），然后设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定
系数法求一次函数解析式解答即可；（3）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛
物线与直线l的交点的横坐标为-1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式．试题解析：（1）当x=0时
，y=-2，∴A（0，-2），抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴B（1，0）；（2）易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′（2，
-2），则直线l经过A′、B，设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线l的解析式为y=-2x+2；（3）∵抛
物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在-2＜x＜-1
这一段位于直线l的上方，在-1＜x＜0这一段位于直线l的下方，∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，当x=-1时，y=-2×（-1
）+2=4，所以，抛物线过点（-1，4），当x=-1时，m+2m-2=4，解得m=2，∴抛物线的解析式为y=2x2-4x-2．考点
：1.二次函数的性质；2.一次函数图象与几何变换；3.二次函数图象上点的坐标特征．6．（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图
像；（3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，在函数中，∵,∴函数在中，随的
增大而减小；∵，∴对称轴为：，∴在中，随的增大而减小；综合上述，在中，随的增大而减小；故答案为：减小，减小，减小；（2）根据表格描
点，连成平滑的曲线，如图：（3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值；由（1）可知在中，随的增大而减小；∴在中，有当时，，
∴m的最大值为；故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的
作出函数图像，并求函数的最大值．7．（1）点B的坐标为；（2）对称轴为直线;（3）当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.【分析】（
1）向右平移2个单位长度，得到点；（2）A与B关于对称轴x=1对称；（3））①a＞0时，当x=2时，，当时，x=0或x=2，所以函
数与AB无交点；②a＜0时，当y=2时，，或当时，；【详解】解：（1）∵抛物线与轴交于点A，∴令，得，∴点A的坐标为，∵点A向右平
移两个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为；（2）∵抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为直线，故对称轴为直线（3）∵对称轴x
=1，∴b-2a，， ①a＞0时，当x=2时，，当x=0或x=2，∴函数与AB无交点；②a＜0时，当y=2时，，或当时，；∴当时，
抛物线与线段PQ恰有一个公共点；（3）①当时，则，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经
过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.②当时，则.分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但
当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.【点睛】本题
考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．8．（1）（5，4）；（2）x=1；（3）
或或．【详解】分析：（1）根据直线与轴、轴交于、．即可求出（，0），（0，4），根据点的平移即可求出点的坐标；（2）根据抛物线过（
，），代入即可求得，根据抛物线的对称轴方程即可求出抛物线的对称轴；（3）分①当抛物线过点时．②当抛物线过点时．③当抛物线顶点在上时
．三种情况进行讨论即可.详解：（1）解：∵直线与轴、轴交于、．∴（，0），（0，4）∴（5，4）（2）解：抛物线过（，）∴．∴∴对
称轴为．（3）解：①当抛物线过点时．，解得．②当抛物线过点时．，解得．③当抛物线顶点在上时．此时顶点为（1，4）∴，解得．∴综上所
述或或．点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题，注意分类讨论思想在
解题中的应用.9．（1）顶点坐标（1，－1）．（2）3个；（3）＜m≤? 【详解】试题分析：（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得
到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个数；②抛物线顶点为（1，-1），则由线
段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令y=0，
则，解方程可得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，即可得到结论．试题解析
：（1）将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；（2）①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0
）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及
线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，
则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，∴．考点：二次函数的图象及其性
质．10．（1）A（3，2），B（－1，2）．（2），（1,-2）．（3）【分析】（1）把y=2代入直线解析式即可求出A（3,2）
，根据对称的性质得出B（-1,2）；（2）把A，B两点的坐标代入C1：y＝x2＋bx＋c即可求出二次函数的解析式和顶点坐标；（3）
把A，B的坐标分别代入C2：y＝ax2求出a的值即可得出结论．【详解】（1）当y＝2，则2＝x－1，x＝3，∴A（3，2），∵AB
关于x＝1对称，∴B（－1，2）．（2）把（3，2）（－1，2）代入得：，解得，所以函数解析式为,其顶点坐标为（1,-2）．（3）
如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a＝2，，代入B（－1，2）则a＝2∴．11．（1）；（2），理由见解析【分
析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当时和当时，然后根据二次
函数的性质进行分类求解即可．【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得：，解得：，∴抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为；（
2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得：①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾；②当时，∵抛物线始终过定
点，∴此时抛物线的对称轴的范围为，∵点在该抛物线上，∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为，∵，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对
称轴越近越小，∴．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．12．（1）；（2）【分析】（1）
根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c），因为，抛物线的对称轴为，可得点M，N关于对称，从而得到的值；（2）根据题意知，抛物线开口向
上，对称轴为，分3种情况讨论，情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，分别求出对应
的t值，再进行总结即可．【详解】解：（1）当x=0时，y=c，即抛物线必过（0，c），∵，抛物线的对称轴为，∴点M，N关于对称，又
∵，∴，；（2）由题意知，a＞0，∴抛物线开口向上∵抛物线的对称轴为，∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立情况2：当都位
于对称轴左侧时，即＜时，恒不成立情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即解得，∴3≥2t，∴综上所述，．【点睛】本题考查
了二次函数图象的性质．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想．13．（1）y=-x+3;(2)7< x1+x2+x3<8.【
详解】试题分析：（1）先求A、B、C的坐标，用待定系数法即可求解；(2)由于垂直于y轴的直线l与抛物线要保证，则P、Q两点必位于x
轴下方，作出二次函数与一次函数图象，找出两条临界直线，为x轴和过顶点的直线，继而求解.试题解析：（1）由抛物线 与x轴交于点A，B
(点A在点B的左侧)，令y=0，解得x=1或x=3， ∴点A，B的坐标分别为（1，0），（3，0），∵抛物线与y轴交于点C，令x=
0，解得y=3， ∴点C的坐标为（0，3）.设直线BC的表达式为y=kx+b， ∴ ，解得 ，∴直线BC的表达式为：y=-x+3.
(2).由，∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2， ∵ ，∴+=4.令y=-1，y=-x+3，x=4. ∵ ，∴3
<<4， 即7<<8， ∴?的取值范围为：7<<8.【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的对
称性等，结合图形正确地求解是关键.14．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由二次函数在和时的函数值相等，可知二次函数图象的对称轴为，从而由对称轴公式，可求得，从而求得二次函数的解析式．（2）由二次函数图象经过A点代入可求得，从而由一次函数的图象经过A点，代入可求得．（3）根据平移的性质，求得平移后的二次函数和一次函数表达式，根据平移后的直线与图象C有公共点，求得公共点的坐标即可．【详解】解：（1）∵二次函数在和时的函数值相等，∴二次函数图象的对称轴为．∴，解得．∴二次函数解析式为．（2）∵二次函数图象经过A点，∴，A（－3，－6）．又∵一次函数的图象经过A点，∴，解得．（3）由题意可知，二次函数在点B，C间的部分图象的解析式为，，则向左平移后得到的图象C的解析式为，．此时一次函数的图象平移后的解析式为．∵平移后的直线与图象C有公共点，∴两个临界的交点为与．∴当时，，即；当时，，即．∴点睛：本题考查二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质． 15 / 15 |
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