2012-2021北京中考真题数学汇编图形的相似一、单选题1．（2013·北京·中考真题）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A
，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m
，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）A．60mB．40mC．30mD．20m二、填空题2．（2016·北京·中考真题）如图，小
军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5
m，则路灯的高为____m.3．（2018·北京·中考真题）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为____
____．4．（2012·北京·中考真题）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边
DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5
m，CD=8 m，则树高AB= m．5．（2017·北京·中考真题）如图，在中，M、N分别为AC，BC的中点．若，则＝__
___．6．（2021·北京·中考真题）某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天
内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相
同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原
材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则
的值为______________．7．（2014·北京·中考真题）在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆
的影长为25m，那么这根旗杆的高度为______________m．三、解答题8．（2014·北京·中考真题）如图，是的直径，是的
中点，的切线交的延长线于点，是的中点，的延长线交切线于点，交于点，连接.（1）求证：；（2）若，求的长.9．（2014·北京·中考
真题）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在中，点在线段上，，，，，求的长．小腾发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经
过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：的度数为 ，的长为 ．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形中，，，
，与交于点，，，求的长．图310．（2012·北京·中考真题）在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P1（x1,y1）与P2（x2
,y2）的“非常距离”，给出如下定义：若∣x1－x2∣≥∣y1－y2∣，则点P1与点P2的“非常距离”为∣x1－x2∣；若∣x1－
x2∣＜∣y1－y2∣，则点P1与点P2的“非常距离”为∣y1－y2∣.例如：点P1（1,2），点P2（3,5），因为∣1－3∣＜
∣2－5∣，所以点P1与点P2的“非常距离”为∣2－5∣=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直
线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．（1）已知点，B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的
点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与
点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的
最小值及相应的点E和点C的坐标．11．（2012·北京·中考真题）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，
过点C作⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，
求BF的长．12．（2021·北京·中考真题）如图，在中，为的中点，点在上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．（1）比较
与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；（2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．13．（2021·
北京·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．（1）求证：；（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．
参考答案1．B【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥DC．∴△EAB∽△EDC．∴．又∵BE=20m，EC=10m，CD=20
m，∴，解得：AB＝40（m）．故选B．2．3【详解】试题分析：如图，∵CD∥AB∥MN，∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF
，∴，即，解得：AB=3m，答：路灯的高为3m．考点：中心投影．3． 【详解】分析：根据勾股定理求出，根据∥，得到，即可求出的长.
详解：∵四边形是矩形，∴，∥，，在中，，∴，∵是中点，∴，∵∥，∴，∴．故答案为.点睛：考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质
及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.4．5.5【详解】试题分析：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC
，∴=，即=，解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m考点：相似三角形5．3【分析】先根据三角形中
位线定理可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，由此即可得出答案．【详解】∵M，N分别是边AC，BC的中点，∴MN是的中
位线，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题
关键．6． 2∶3【分析】设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第
二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案．【详解】解：设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨
，依题意可得：，解得：，∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3；∴第二天开
工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，∵加工时间相同，∴，解得：，∴；故答案为，．【点睛】本题主要考查一元一次方程
、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．7．15【详解】试题分析：根据同时同
地物高与影长成正比列式计算即可得解．设旗杆高度为x米，由题意得，，解得x=15．故答案为15．考点：相似三角形的应用．8．(1)证
明见解析(2)【分析】(1)连接OC，若要证明C为AD的中点，只需证OC//BD，已知C是的中点，可知OC⊥AB，又BD是切线，可
知BD⊥AB，问题得证(2)由（1）及E为OB中点可知△COE≌△FBE，从而可知BF=CO=BO=2，由勾股定理可得AF的长，由
面积法即可求出BH的长【详解】（1）连接OC∵C是的中点，AB是⊙O的直径∴OC⊥AB∵BD是⊙O的切线∴BD⊥AB∴OC//BD
∵AO=BO∴AC=CD（2）∵E是OB的中点∴OE=BE在△COE和△FBE中∴△COE≌△FBE（ASA)∴BF=CO∵OB=
2∴BF=2∴AF=∵AB是直径∴BH⊥AF考点：1、平行线分线段成比例定理；2、切线的性质；3勾股定理；4、全等三角形9．∠AC
E的度数为75°，AC的长为3. 【详解】试题分析：由CE//AB可知∠ACE=∠BAD=75°，又∠CAD=30°，可知△ACE
是等腰三角形，又CE//AB可知△ABD∽△CED，由相似的性质可知DE=1，所以AD=AC=AE+CE=3图3中，由已知的条件可
知△ACD是等腰三角形，因为∠BAC=90°，因此可过点D作DF⊥AC，然后利用相似、三角函数、勾股定理加以解决试题解析：图（2）
：∠ACE的度数为75°，AC的长为3.图（3）：过点D作DF⊥AC于F∵∠BAC=90°∴AB//DF∴△ABE∽△FDE∴EF
=1∵在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°∴∠ACD=75°∴AC=AD∵DF⊥AC∴∠AFD=90°在△AFD中，A
F＝２+１＝３，∠FAD＝３０°∴DF＝AFtan30°＝，AD=2DF=2∴AC=2，AB=2DF==2考点：1、等腰三角形的判
定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数的应用10．解：（1）①（0，－2）或（0，2）．②．（2）①设C坐标为，如图，过点C
作CP⊥x轴于点P，作CQ⊥y轴于点Q．由“非常距离”的定义知，当OP=DQ时，点C与点D的“非常距离”最小，∴．两边平方并整理，
得，解得，或（大于，舍去）．∴点C与点D的“非常距离”的最小值距离为，此时．②设直线与x轴和y轴交于点A，B，过点O作直线的垂线交
直线于点C，交圆于点E，过点C作CP⊥x轴于点P，作CQ⊥y轴于点Q，过点E作EM⊥x轴于点M，作EN⊥y轴于点N．易得，OA=4
，OB=3，AB=5．由△OAB∽△MEM，OE=1，得OM=，ON=．∴．设C坐标为由“非常距离”的定义知，当MP=NQ时，点C
与点E的“非常距离”最小，∴．两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）．∴点C与点E的“非常距离”的最小值距离为1，此时，．【详
解】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质．（1）根据“非常距离”的定义
可直接求出．（2）①解题关键是，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向
上（如右图）移动C点到达C’点，其与点D的“非常距离”都会增大．故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离．②同①，同时理
解当OC垂直于直线时，点C与点E的“非常距离”最小．11．（1）见解析（2）FB=【分析】（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE
，得出EB⊥OB，从而可证得结论．（2）过点D作DH⊥AB，根据解直角三角形的知识可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△AD
H∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．【详解】证明：（1）连接OC，∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD
（垂径定理）．∴△CDO≌△BDO（HL）．∴∠COD=∠BOD．在△OCE和△OBE中，∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=
OE，∴△OCE≌△OBE（SAS）．∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE．∴BE与⊙O相切．（2）过点D作DH⊥AB，∵O
D⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴．又∵，OB=9，∴OD=6．∴OH=4，HB=5，DH=2．又∵△ADH∽△AFB，∴，即，解
得FB=．垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义．12．（1），，理由见详解
；（2），理由见详解．【分析】（1）由题意及旋转的性质易得，，然后可证，进而问题可求解；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交A
B于点H，由（1）可得，，易证，进而可得，然后可得，最后根据相似三角形的性质可求证．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，由旋转的性质可
得，∵，∴，∴，∵点M为BC的中点，∴，∵，∴；（2）证明：，理由如下：过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交AB于点H，如图所示：∴
，由（1）可得，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质
与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键．13．（1）见详解；（2），【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】（1）证明：∵是的直径，，∴，∴；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∵的半径为5，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 1 / 1 |
|
