2012-2021北京中考真题数学汇编一元二次方程一、填空题1．（2012·北京·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是____
__．2．（2015·北京·中考真题）关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：
a=________，b=________．3．（2020·北京·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______
．二、解答题4．（2013·北京·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）若为正整数，且该方
程的根都是整数，求的值．5．（2014·北京·中考真题）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．?（1）求证：方程
总有两个实数根；?（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．6．（2016·北京·中考真题）关于x的一元二次方程x2＋（2
m＋1）x＋m2－1=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．7．（201
8·北京·中考真题）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有
两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．8．（2017·北京·中考真题）已知关于x的方程（1）求证：方程
总有两个实数根（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围9．（2021·北京·中考真题）已知关于的一元二次方程．（1）求证
：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．10．（2019·北京·中考真题）关于x的方程有实数根，且
m为正整数，求m的值及此时方程的根．参考答案1．－1【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴（－2）2－4×1×（－m）=0，解得m=－1．故答案
为：-1．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．2．???? 4???? 2【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+=0
有两个相等的实数根，∴∴b2-a=0，∴a=b2，当b=2时，a=4， 故b=2，a=4时满足条件．故答案为4，2（答案不唯一）3
．1【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式，∴，解得：．故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．4．（1）k＜（2）2【分析】（1）根据方程有两个不
相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．（2）找出k范围中的整数解确定出k的值
，经检验即可得到满足题意k的值．【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴．解得：k＜．（2）∵k为k＜的正整
数，∴k=1或2．当k=1时，方程为，两根为，非整数，不合题意；当k=2时，方程为，两根为或，都是整数，符合题意．∴k的值为2．5
．（1）证明见解析；（2）正整数m的值为1或2．【分析】（1）先计算判别式的值得到△=（m+2）2﹣4m×2=（m﹣2）2，再根据
非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整
除性确定正整数m的值．【详解】（1）证明：∵m≠0，△=（m+2）2﹣4m×2=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，
即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，x﹣1=0或mx﹣2=0，∴x1=1，x2=，当m为正整数1
或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．6．（1）m＞－；（2）x1=0，x2=－3． 【详解】试
题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（
1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程+（2m+1）x+
﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△==4m+5＞0，解得：m＞；（2）m=1，此时原方程为+3x=0，即x（x+3）=0，解得：=
0，=﹣3．考点：根的判别式；解一元二次方程——因式分解法；解一元一次不等式．7．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，
a=1时，x1=x2=﹣1．【详解】分析：（1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则
，写出一组满足条件的，的值即可.详解：（1）解：由题意：．∵，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：
解：令，，则原方程为，解得：．点睛：考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时
，方程没有实数根.8．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）证出根的判别式即可完成；（2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k
的取值范围.【详解】（1）证明： ∴方程总有两个实数根（2）∴ ∴ ∵方程有一个小于1的正根∴ ∴【点睛】本题考查一元二次方程根的
判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.9．（1）见详解；（2）【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直
接进行求证；（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解
即可．【详解】（1）证明：由题意得：，∴，∵，∴，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，∵，
∴，解得：，∵，∴．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解
题的关键．10．，此时方程的根为【分析】直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案．【详解】解：∵关于x的方程x2-
2x+2m-1=0有实数根，∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m=1，∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，则（x-1）2=0，解得：x1=x2=1．【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键． 6 / 6 |
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