2012-2021北京中考真题数学汇编圆一、单选题1．（2014·北京·中考真题）如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）A．B．4
C．D．82．（2013·北京·中考真题）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的
面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是A．B．C．D．3．（2019·北京·中考真题）已知锐角∠AOB如图，（
1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，
交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（???????）A．∠COM=∠CODB．若O
M=MN，则∠AOB=20°C．MN∥CDD．MN=3CD4．（2021·北京·中考真题）下列多边形中，内角和最大的是（?????
??）A．B．C．D．二、填空题5．（2018·北京·中考真题）如图，点，，，在上，，，，则________．6．（2021·北京
·中考真题）如图，是的切线，是切点．若，则______________．三、解答题7．（2014·北京·中考真题）如图，是的直径，
是的中点，的切线交的延长线于点，是的中点，的延长线交切线于点，交于点，连接.（1）求证：；（2）若，求的长.8．（2017·北京·
中考真题）在平面直角坐标系中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形
M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点 中，⊙O的关联点是_______________．②点P在直线y=-x上，若P为⊙O
的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上
的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．9．（2018·北京·中考真题）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下
定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作（，）．已知点（
，6），（，），（6，）．（1）求（点，）；（2）记函数（，）的图象为图形，若（，），直接写出的取值范围；（3）的圆心为（t，0）
，半径为1．若（，），直接写出t的取值范围．10．（2019·北京·中考真题）在△ABC中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在
△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．（1）如图，在Rt△ABC中，分别是的中点．画出
△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点，在△ABC中，分别是的中点． ①若，求△ABC的中内
弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围
．11．（2015·北京·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且，连接AC，A
D，延长AD交BM于点E．（l）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．12．（2017·北京·中考真
题）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=
DE;（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径. 13．（2018·北京·中考真题）如图，是与弦所围成的图形的内部的一定点，是弦
上一动点，连接并延长交于点，连接．已知，设，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为．小腾根据学习函数的经验，分别对函数
，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到
了，与的几组对应值；0123456（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（，），（，），并画出函数，的图
象；（3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为____．14．（2019·北京·中考真题）在平面内，给定不在同一直
线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，的平分线交图形G
于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连
接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．15．（2016·北京·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，
连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求
四边形ACDE面积的思路．16．（2020·北京·中考真题）已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB．求作：线段BP
，使得点P在直线CD上，且∠ABP=．作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求
作线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP= ．∵AB=AC
，∴点B在⊙A上．又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据）∴∠ABP=∠BAC参考答案1．C【详解】∵直径AB垂直于弦CD，∴C
E=DE=CD，∵∠A=22.5°，∴∠BOC=45°，∴OE=CE，设OE=CE=x，∵OC=4，∴x2+x2=16，解得：x=
2，即：CE=2，∴CD=4，故选C．2．A【详解】方法1（特殊位置法）：当时，为等边三角形，此时，AP边上的高可求得为，则，故选
A．方法2（求函数解析式）：设AP的中点为H，作，如图所示．若，则利用勾股定理可求，此时．代人特殊值，如令，则，故选A．3．D【分
析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【详解】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD
，故A选项正确；∵OM=ON=MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON
=∠MON=20°，故B选项正确；∵∠MOA=∠AOB=∠BON，∴∠OCD=∠OCM= ，∴∠MCD=，又∠CMN=∠AON=∠
COD，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，∴3CD＞MN，
故D选项错误；故选D．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．4．D【分析】根据多边形
内角和公式可直接进行排除选项．【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°；B、是一个四边形，其内角和为360°；C、是一个五
边形，其内角和为540°；D、是一个六边形，其内角和为720°；∴内角和最大的是六边形；故选D．【点睛】本题主要考查多边形内角和，
熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．5．70°【分析】根据=，得到，根据同弧所对的圆周角相等即可得到，根据三角形的内角和即可求出
.【详解】∵=，∴，∴，∵，∴．故答案为【点睛】考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.6．130°【
分析】由题意易得，然后根据四边形内角和可求解．【详解】解：∵是的切线，∴，∴由四边形内角和可得：，∵，∴；故答案为130°．【点睛
】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．7．(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接OC，若要证明
C为AD的中点，只需证OC//BD，已知C是的中点，可知OC⊥AB，又BD是切线，可知BD⊥AB，问题得证(2)由（1）及E为OB
中点可知△COE≌△FBE，从而可知BF=CO=BO=2，由勾股定理可得AF的长，由面积法即可求出BH的长【详解】（1）连接OC∵
C是的中点，AB是⊙O的直径∴OC⊥AB∵BD是⊙O的切线∴BD⊥AB∴OC//BD∵AO=BO∴AC=CD（2）∵E是OB的中点
∴OE=BE在△COE和△FBE中∴△COE≌△FBE（ASA)∴BF=CO∵OB=2∴BF=2∴AF=∵AB是直径∴BH⊥AF考
点：1、平行线分线段成比例定理；2、切线的性质；3勾股定理；4、全等三角形8．（1）①P2、P3，②－≤x≤－或 ≤x≤；（2）－
2≤x≤1或2≤x≤2 .【详解】试题分析：（1）①由题意得，P只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由 的值可知为⊙O的关
联点；②满足条件的P只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，所以P横坐标范围是－ ≤x≤－ 或 ≤x≤；（2）.分四种情况讨论
即可，当圆过点A， CA=3时；当圆与小圆相切时；当圆过点 A，AC=1时；当圆过点 B 时，即可得出.试题解析： （1），点 与
⊙的最小距离为 ，点 与⊙的最小距离为1，点与⊙的最小距离为，∴⊙的关联点为和．②根据定义分析，可得当直线y=-x上的点P到原点的
距离在1到3之间时符合题意； ∴ 设点P的坐标为P (x ，-x) ，?当OP=1时，由距离公式可得，OP= ，解得 ，当OP=3
时，由距离公式可得，OP= ，，解得，∴ 点的横坐标的取值范围为－ ≤x≤－ 或 ≤x≤ （2）∵y=-x+1与轴、轴的交点分别为
A、B两点，∴ 令y=0得，-x+1=0，解得x=1，?令得x=0得，y=0， ∴A(1，0) ，B (0，1) ， 分析得：如图
1，当圆过点A时，此时CA=3，∴ 点C坐标为，C ( -2，0) ?如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，∴CD=1 ，?又∵直线
AB所在的函数解析式为y=-x+1，∴ 直线AB与x轴形成的夹角是45°， ∴ RT△ACD中，CA= ， ∴ C点坐标为 (1-
，0) ∴?C点的横坐标的取值范围为；-2≤ ≤1-， 如图3，当圆过点A时，AC=1，C点坐标为(2，0)如图4，当圆过点 B
时，连接 BC ，此时 BC =3，在 Rt△OCB中，由勾股定理得OC= ， C点坐标为 (2，0)．∴ C点的横坐标的取值范围
为2≤ ≤2 ； ∴综上所述点C的横坐标的取值范围为－ ≤≤－ 或 ≤≤．【点睛】本题考查了新定义题，涉及到的知识点有切线，同心圆
，一次函数等，能正确地理解新定义，正确地进行分类讨论是解题的关键.9．（1）2；（2）或；（3）或或．【详解】分析：（1）画出图形
，根据“闭距离”的概念结合图形进行求解即可.（2）分和两种情况，画出示意图，即可解决问题.（3）画出图形，直接写出t的取值范围．详
解：（1）如下图所示：∵（，），（6，）∴（0，）∴（，）（2）或（3）或或．点睛：属于新定义问题，考查点到直线的距离，圆的切线的
性质，认真分析材料，读懂“闭距离”的概念是解题的关键.10．（1）；（2）①P的纵坐标或；②.【分析】（1）由三角函数值及等腰直角
三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一
定在DE的中垂线上，，①当时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤
∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．【详解】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△AB
C的最长的中内弧，连接DE，∵∠A=90°，AB=AC=2，D，E分别是AB，AC的中点，，∴弧；（2）如图3，由垂径定理可知，圆
心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当时，C（2，0），∴D（0，1），E（
1，1），，设由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA=OC，∠AOC=90°∴∠ACO=45°，
∵DE∥OC∴∠AED=∠ACO=45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF=根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点
G）直线FP上时也符合要求；综上所述，或m≥1．②图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则
PM=，∵DE∥BC∴∠ADE=∠AOB=90°，∵PD=PE，∴∠AED=∠PDE∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90
°，∴∠DAE=∠ADP由三角形中内弧定义知，PD≤PM，AE≤3，即，解得：【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计
算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．11．（1）见解析；（2）【分析
】（1）根据切线的定义可知AB⊥BM，又∵BM//CD，∴AB⊥CD，根据圆的对称性可得AD=AC，再根据等弧对等弦得DA=DC，
即DA=DC=AC，所以可得△ACD是等边三角形；（2）△ACD为等边三角形，AB⊥CD，由三线合一可得∠DAB=30°，连接BD
，根据直径所对的角是直角和三角形的内角和可得∠∠EBD＝∠DAB＝30°，因为DE＝2，求出BE＝4，根据勾股定理得，直角三角形中
30°角所对的直角边等于斜边的一半得，，，在Rt△OBE中，根据勾股定理即可得出OE的长．【详解】解：（1）∵BM是⊙O切线，AB
为⊙O直径，∴AB⊥BM，∵BM//CD，∴AB⊥CD，∴AD＝AC，∴AD＝AC，∴DA＝DC，∴DC＝AD，∴AD＝CD＝AC
，∴△ACD为等边三角形.（2）△ACD为等边三角形，AB⊥CD，∴∠DAB＝30°，连结BD，∴BD⊥AD.∠EBD＝∠DAB＝
30°，∵DE＝2，∴BE＝4，，，，在Rt△OBE中，．【点睛】本题考查圆的有关性质，直角三角形的性质；勾股定理．12．（1）证
明见解析；（2） 【详解】试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出si
n∠DEF和sin∠AOE的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.试题解析：（1）∵DC⊥OA， ∴∠1+∠3=90°， ∵BD
为切线，∴OB⊥BD， ∴∠2+∠5=90°， ∵OA=OB， ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB中， ∠4=∠
5，∴DE=DB.(2)作DF⊥AB于F，连接OE，∵DB=DE， ∴EF=BE=3，在 RT△DEF中，EF=3，DE=BD=5
，EF=3 ， ∴DF=∴sin∠DEF== ， ∵∠AOE=∠DEF， ∴在RT△AOE中，sin∠AOE= ， ∵AE=6，
∴AO=.【点睛】本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.
13．（1）3.00；（2）作图见解析；（3）或或．【分析】（1）当时，即为圆的半径.（2）根据（1）中的图表，描点，连线即可.（
3）根据等腰三角形的性质，结合函数图象进行回答即可.【详解】解：（1）（2）如下图所示：（3）或或．如下图所示，函数图象的交点的横
坐标即为所求．【点睛】考查动点产生的函数图象问题，函数探究,圆的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握函数图象以及性质是解题的关键.1
4．依题意画出图形G为⊙O，如图所示,见解析；（1）证明见解析；（2）直线DE与图形G的公共点个数为1个.【分析】（1）根据线段垂
直平分线的性质得出图形G为⊙O，再根据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等得出；从而得出弦相等即可．（2）先根据HL得出△CDF
≌△CMF，得出DF=MF，从而得出BC为弦DM的垂直平分线，根据圆心角和圆周角之间的关系定理得出∠ABC=∠COD，再证得DE为
⊙O的切线即可【详解】如图所示，依题意画出图形G为⊙O，如图所示（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴，∴AD=
CD（2）解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°在Rt△CDF和Rt△CMF中，∴
Rt△CDF≌Rt△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC为弦DM的垂直平分线∴BC为⊙O的直径，连接OD∵∠COD=2∠CBD，∠
ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴D
E为⊙O的切线.∴直线DE与图形G的公共点个数为1个.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆心角和圆周角之间的关系定理，切线的判定
，熟练掌握相关的知识是解题的关键．15．（1）证明见解析；（2）. 【详解】试题分析：（1）欲证明AC∥DE，只要证明AC⊥OD，
ED⊥OD即可．（2）作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD，首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE?
DM，只要求出DM即可．试题解析：（1）∵ED与⊙O相切于D，∴OD⊥DE，∵F为弦AC中点，∴OD⊥AC，∴AC∥DE．（2）作
DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE?DM，只要求出DM即可．
∵AC∥DE，AE=AO，∴OF=DF，∵AF⊥DO，∴AD=AO，∴AD=AO=OD，∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=a，∴AO∥CD，又AE=CD，∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM=，∴平行四边形ACDE面积=．考点：切线的性质．16．（1）见解析；（2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；（2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC=∠BAC，从而可得答案．【详解】解：（1）依据作图提示作图如下： （2）证明：∵CD∥AB，∴∠ABP= ．∵AB=AC，∴点B在⊙A上．又∵∠BPC=∠BAC（在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ）（填推理依据）∴∠ABP=∠BAC故答案为：∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．【点睛】本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键． 20 / 20 |
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