2017-2021北京初三（上）期中数学汇编点和圆、直线和圆的位置关系3一、单选题1．（2021·北京大兴·九年级期中）已知⊙O的半径为3，
圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）A．相交B．相切C．相离D．不能确定2．（2021·北京大兴·九年级期
中）四边形ABCD内接于⊙O，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(?? )A．2∶3∶4∶5B．2∶4∶3∶5C．2∶5∶3∶4D
．2∶3∶5∶43．（2018·北京海淀·九年级期中）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆
半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（ ）A．2B．2C．D．24．（2018·北京西城·九年级期中）如图，O为锐角三角形ABC
的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（?）A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心B．
O是△AEB的外心，O不是△AED的外心C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
二、填空题5．（2017·北京海淀·九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE
的度数为_____．6．（2019·北京海淀·九年级期中）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=4
6°，则∠BAC=_____度．7．（2018·北京海淀·九年级期中）已知为△的外接圆圆心，若在△外，则△是________（填“
锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．8．（2018·北京海淀·九年级期中）如图，四边形内接于⊙O，E为直径CD延长线上
一点，且AB∥CD，若∠C=70°，则∠ADE的大小为________．9．（2019·北京海淀·九年级期中）如图，在圆内接四边形
ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，则∠BCD的度数为_____.10．（2020·北京丰台·九年级期中）如图，点P是⊙的直
径BA的延长线上一点，PC切⊙ 于点C，若 ，PB=6，则PC等于_____．三、解答题11．（2018·北京海淀·九年级期中）如
图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：D
E与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．12．（2021·北京大兴·九年级期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC
=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径．13．（2019·北京海淀·九年级期中）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D
是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延
长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE（1）求证：直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH
，满足CB＝CH，①△CBH∽△OBC；②求OH＋HC的最大值14．（2019·北京海淀·九年级期中）如图，已知AB是圆O的直径，
弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，DE=5，求弦CD及圆O的半径长.15．（2018·北京西城·九年级期中）如图，已
知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O交CA于点E，点G是AD的中点．（1）求证：GE是⊙O的切线；（2）若AC⊥BC
，且AC=8，BC=6，求切线GE的长．16．（2017·北京海淀·九年级期中）如图，AB为⊙O上，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙
O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．17．（2017·北京海淀·九年级期中
）对于平面直角坐标系 中的点，给出如下定义：记点到轴的距离为，到轴的距离为若≤，则称为点的“引力值”；若，则称为点的“引力值”.特
别地，若点在坐标轴上，则点的“引力值”为0.例如，点P（-2,3)到轴的距离为3 ，到轴的距离为2 ，因为2<3，所以点的“引力值
”为2.(1)①点的“引力值”为 ；②若点的“引力值”为2，则的值为 ；(2)若点C在直线上，且点C的：“引力值”为2，求点C的坐
标；(3)已知点M是以D（3,4）为圆心，半径为2的圆上的一个动点，那么点M的“引力值”的取值范围是参考答案1．A【详解】试题分析
：根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．解：∵⊙O的半径为3，圆心
O到直线L的距离为2，∵3＞2，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选A．考点：直线与圆的位置关系．2．D【分析】利用圆
内接四边形的对角互补判断即可．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C=180°=∠B+∠D，故选D．【点睛】考查了圆内接
四边形的性质，关键是根据内接四边形的对角互补的性质解答．3．A【分析】连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，易证△OAP≌△OB
P，通过构建直角三角形，可解答．【详解】解：连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，∵OA=OB，∠OAB=∠OBA，∠OPA=∠
OPB=90°，∴△OAP≌△OBP，∴在直角△OPA中，OA=2，OP=1，∴AP=,∴AB=2．故选A．【点睛】本题主要考查了
切线、勾股定理的应用，本题综合性较强；掌握其定理、性质，才能熟练解答．4．B【分析】根据三角形的外心的性质，可以证明O是△ABE的
外心，不是△AED的外心．【详解】如图，连接OA、OB、OD.∵O是△ABC的外心，∴OA=OB=OC，∵四边形OCDE是正方形，
∴OA=OB=OE，∴O是△ABE的外心，∵OA=OE≠OD，∴O不是△AED的外心，故选:B.【点睛】考查三角形外心的概念，三角
形的外心是三角形外接圆的圆心，是三条垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等.5．110°．【分析】根据圆内接四边形的性质即可求解.
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，且∠B＝110°∴∠ADE=∠B＝110°故填：110°.【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性
质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.6．23．【分析】由PA、PB是圆O的切线，根据切线长定理得到PA=PB，即三角形A
PB为等腰三角形，由顶角的度数，利用三角形的内角和定理求出底角的度数，再由AP为圆O的切线，得到OA与AP垂直，根据垂直的定义得到
∠OAP为直角，再由∠OAP-∠PAB即可求出∠BAC的度数【详解】∵PA，PB是⊙O是切线，∴PA=PB.又∵∠P=46°，∴∠
PAB=∠PBA=.又∵PA是⊙O是切线，AO为半径，∴OA⊥AP.∴∠OAP=90°.∴∠BAC=∠OAP﹣∠PAB=90°﹣6
7°=23°.故答案为：23【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握定理及性质
是解本题的关键．7．钝角三角形【分析】根据钝角三角形的外心在其三角形的外部是钝角三角形．【详解】解：锐角三角形的外心在三角形的内部
，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；由此可知若三角形的外心在它的外边上，那么这个三角形是钝角三角形
．故答案为钝角三角形.【点睛】掌握锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部
即可.8．110°【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠B+∠ADC=180°，又由∠ADC+∠ADE=180°，即可求得∠B
=∠ADE=110°．【详解】解：∵AB∥CD，∠C=70°，∴∠B=110°∵∠ADC+∠ADE=180°，∠B+∠ADC=18
0°，∴∠B=∠ADE=110°．故答案为110°．【点睛】此题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应
用．9．100°.【详解】试题分析：∵∠BOD=160°，∴∠BAD=∠BOD=80°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠BCD+∠B
AD=180°，∴∠BCD=100°，故答案为100°．考点：圆内接四边形的性质．10．．【详解】解：连结CO，∵PC切⊙于点C，
∴∠PCO=90°，∵，∴PO=2OC，∵PB=6，∴PO+OB=PO+CO=3CO=6，∴CO=2，∴PO=6－2=4，∵，故答
案为．11．（1）见解析；（2）DF＝2．【分析】（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；（2）求
出∠1=∠2=∠F=30°，求出AD=DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ADO，∴∠1＝∠ADO，∴OD∥AC，∵
DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∴OD⊥ED，∵OD过O，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝
∠2，CD＝BD，∵CD＝BF，∴BF＝BD，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠4＝2∠3，∵
∠ODF＝90°，∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠2＝∠1＝30°，∴∠2＝∠F，∴DF＝A
D，∵∠1＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2ED，∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，∴AD＝2，∴DF＝2．【点睛】本题考查
了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，切线的判定定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．12
．8.【分析】根据三角形内角和定理可求得∠C＝∠BAC＝30°，再根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得BD的长．【详解】解：连
接BO并延长交圆O于点D，连接AD，∵∠BAC=120°，AB=AC=4，∴∠C=30°，∴∠BOA=60°．又∵OA=OB，∴△
AOB是正三角形．∴OB=AB=4，∴BD=8．∴⊙O的直径为8【点睛】此题综合运用了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、圆周角
定理的推论和30°的直角三角形的性质．13．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5．【分析】（1）由题意可知：∠CAB=∠GA
F，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CB
H=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB=，由于BC=HC，所以
OH+HC=4?+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．【详解】解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙
O的直径，∴∠ACB=90°∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠
OCB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；（2）①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB，∵OB
=OC，∴∠CBH=∠OCB，∴△CBH∽△OBC②由△CBH∽△OBC可知：∵AB=8，∴BC2=HB?OC=4HB，∴HB=，
∴OH=OB-HB=4-∵CB=CH，∴OH+HC=4?+BC，当∠BOC=90°，此时BC=4∵∠BOC＜90°，∴0＜BC＜4
，令BC=x则CH=x，BH=当x=2时，∴OH+HC可取得最大值，最大值为5【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相
似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．14．弦CD的长为6，⊙O的半径长为.【详解】分析：
过点作于，连接解，得到,根据求得的长，根据垂径定理即可求出弦的长，根据勾股定理即可求出圆的半径.详解：过点作于，连接∵ ∴.在中，
?∴，．∵，∴． ∵过圆心,∴.∴∵∴在中，∴ 弦CD的长为，⊙O的半径长为．点睛：属于圆的综合题，考查解直角三角形，勾股定理，垂
径定理等，题目比较基础，熟练掌握各个知识点是解题的关键.15．（1）见解析；（2）【详解】试题分析：（1）连接OE、OG，由已知易
证OG是△ACD的中位线，由此可得OG∥AC，结合OE=OC，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证得∠EOG=∠DOG，从而可证得
△EOG≌△DOG，由此可得∠OEG=∠ODG=90°，即可证得EG是⊙O的切线；（2）由已知条件易得AB=10，GD是⊙O的切线
，则GE=GD，在Rt△ACD和Rt△BCD中，由AC2-AD2=CD2，BC2-BD2=CD2可得AC2-AD2=BC2-BD2
，设BD=x，则AD=10-x，列出方程解得x的值，即可得到AD的长，从而得到GD的长就可得到GE的长了.试题解析：（1）连接OE
，OG；∵AG=GD，CO=OD，∴OG是△ACD的中位线，∴OG∥AC．∴∠OEC=∠GOE，∠ACD=∠GOD．∵OE=OC，
∴∠ACD=∠OEC．∴∠GOD=∠GOE．∵OE=OD，OG=OG，∴△OEG≌△ODG．∴∠OEG=∠ODG=90°．∴GE是
⊙O的切线．（2）∵AC=8，BC=6，∴AB==10．∴OD⊥GD．∴GD也是圆O的切线．∴GD=GE．设BD=x，则AD=10
﹣x，在Rt△CDA和Rt△CDB中，由勾股定理得：CD2=82﹣（10﹣x）2，CD2=62﹣x2∴82﹣（10﹣x）2=62﹣
x2解得x＝，∴AD=10﹣=．又∵点G是AD的中点，∴GE=GD=AD=．即切线GE的长为．16．（1）证明见解析；（2）【详解
】试题分析：（1）由垂径定理得，由两直线平行，内错角相等，得，由角边角可证得与，由全等三角形的对应边相等，即可得证；（2）连接，由
直径所对的圆周角是°，得°，由垂径定理，得∴=，∥，所以四边形是平行四边形，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形，°.在中
，由勾股定理得，.由此，，可得四边形CAOD的面积为.试题解析：（1）∵在⊙O中，于，∴ ，∵CD∥AB，∴.在与中，，∴≌∴，∴
为的中点；（2）连接，∵是⊙O的直径，∴°，∵，∴°=，∴∥，∵∥，∴四边形是平行四边形∵是的中点，，∴∵，∴，∴是等边三角形，∴
°，∴°°，∴在中，.∵∴.∵，∴，.∴∴. 17．（1）①1，?② ；(2) 点Ｃ的坐标为（－2,8）或（3，－2）;(3) 【
详解】试题分析：（1）根据“引力值”的定义进行解答即可；（2）设出C点坐标，由C在直线上，且“引力值”为2，可分情况讨论；（3）在圆上找到和两坐标轴最近和最远的点，比较即可.试题解析：（1）①点到轴的距离为4 ，到轴的距离为1，因为1<4，所以点的“引力值”为1；②点的“引力值”为2，则，a；（2）设点C的坐标为（）. 由于点C的“引力值｜”为2，则或，即，或，当时，，此时点C的“引力值”为0，舍去；当时，此时C点坐标为（－2，8）；当时，解得，此时点C的“引力值”为1，舍去；当时，，，此时C点坐标为（3，－2）；综上所述，点C的坐标为（－2，8）或（3，－2）.（3）以D（3，4）为圆心，半径为2的圆上的点中，距离x轴最近和最远的点分别为（3，2），（3，6），距离y轴最近和最远的点分别为（1，4），（5，4），所以点M的“引力值”的取值范围是1≤d≤6.点睛：此题考查引力值的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题. 1 / 1 |
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