2017-2021北京初三（上）期中数学汇编正多边形和圆一、单选题1．（2021·北京市第二十二中学九年级期中）如图，正方形内接于⊙O，点E
在上，则的度数（?）A．25°B．50°C．45°D．100°2．（2021·北京市第五中学分校九年级期中）如图，正六边形的边长为
2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（?）A．B．C．D．3．（2021·北京师范大学第二附属中学西城
实验学校九年级期中）弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械字家莱洛首先进行研究的.弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以三个顶点为
圆心，其边长为半径画弧得到的三角形.在大片的麦田或农田中，由农作物倒状形成的几何图案被称为“麦田怪圈”.图1中的麦田怪圈主要由圆和
弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形.如图2，成员甲先借绳子绕行一周画出，再将三等分，得到，，三点.接着，成
员乙分别以，，为圆心画出图中的弧三角形.研究小组在，，，四点中的某一点放置了检测仪器，记成员甲所在的位置为，成员乙所在的位置为，若
将射线绕着点逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量（单位：°，），甲、乙两人到检测仪器的距离分别记为和（单位：），绘制出两个函数
的图象（如图3）.结合以上信息判断，下列说法中错误的是（）A．的半径为B．图3中的值为270C．当时，1取得最大值12D．检测仪器
放置在点处4．（2019·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合
），则∠APB的度数为（ ）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°5．（2021·北京市第三十九中学九年级
期中）如图，已知⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为（?）A．4B．8C．D．6．（2020·北京市第二中学分校九年级期中）如
图，点A，B，C，D，E为⊙O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，∠
DME的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（?）A．B．C．D．二、填空题7．（2021·北京·东直门中学九年
级期中）已知正三角形ABC的边心距为cm，则正三角形的半径为______cm．8．（2021·北京一七一中九年级期中）2020年3
月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的计算
方法是：当正整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形各边均与圆相切的正6n边形的周长，再将它们的平均数作为
2π的近似值．当n=1时，右图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．（1）若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是____
___；（2）按照阿尔卡西的方法，计算n=1时π的近似值是_______．（结果保留两位小数）（参考数据：）9．（2021·北京市
西城外国语学校九年级期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为__________． 10．（2018·
北京八十中九年级期中）正六边形的边长为2，则其外接圆的半径为_____，正六边形的面积为_____．11．（2019·北京市陈经纶
中学九年级期中）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园
有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是_____米2．12．（2021·北京市第五中学分校九年级期
中）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n
=____ .13．（2019·北京四中九年级期中）有一个边长为4的正方形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形，则这个圆形纸片的
半径最小是____．14．（2019·北京市第十三中学分校九年级期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个
正六边形的边心距OM的长为__．15．（2019·北京市第四十四中学九年级期中）圆内接正六边形的边长是8cm，则该正六边形的半径为
____．三、解答题16．（2021·北京师范大学实验华夏女子中学九年级期中）已知：射线求作：，使得点在射线上，，． 作法：如图，
①在射线上取一点，以为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点；②以为圆心，为半径作弧，在射线上方交⊙于点；③连接，．则即为所求的三角形
．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接．∵ 为⊙的直径，∴__________．
∵，∴等边三角形．∴．∵点，都在⊙上，∴．（ ）（填推理的依据）∴．即为所求的三角形．参考答案1．C【分析】连接OB、OC，由题意
易得，然后根据圆周角定理可求解．【详解】解：连接OB、OC，如图所示：∵正方形内接于⊙O，∴，∴；故选C．【点睛】本题主要考查正多
边形与圆及圆周角定理，熟练掌握正多边形与圆及圆周角定理是解题的关键．2．A【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面
积计算公式计算即可．【详解】解：过B点作AC垂线，垂直为G，根据正六边形性质可知，，∴，∴S扇形=，故选：A．【点睛】本题主要考查
扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键．3．B【分析】如图，根据题意，找到甲、乙对应的图像，然后求得，以及，
，进而求出圆半径，再对选项逐一分析即可.【详解】解：∵将射线绕着点逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量，且成员乙所在的位置为，
∴根据如图3所示，实线部分图像距离先保持不变，再下降至0，然后上升可判断则实线部分为应为乙的图象，（点Q在以A点为圆心画的上，则A
Q距离不变），∴当Q点从B点逆时针运动时，图像如图中实线所示，检测仪器应该在A点，∵Q从B点到A点时，运动的角度为个圆周，∴ ，结
合图可得，，如图，连接AB、OA、OB，过O作OD⊥AB于点D，∵OA=OB,OD⊥AB，∴∴∴，∴的半径为如图，当射线OB转至中
点位置时，即P在OA所在直线上，y1取最大值，长度为的直径12m，此时转过的圆心角为60°，即.∴A、C、D正确，故选B. 【点睛
】此题考查正多边形和圆、等腰三角形三线合一及弧三角形的相关问题，根据题意找到正确的函数的图象是解本题的关键.4．D【分析】连接OA
，OB，构造圆心角，分两种情况，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可．【详解】解：连接OA，OB，如图所示：∵六边形AB
CDEF是正六边形，∴∠AOB＝＝60°，当点P不在弧AB上时，∠APB＝∠AOB＝30°，当点P在弧AB上时，∠APB＝180°
﹣∠AOB＝180°﹣30°＝150°，故选D．【点睛】本题考查了正多边形和圆以及圆周角定理的知识，解题的关键是正确的构造圆心角．
5．D【分析】利用正方形的性质以及勾股定理可以求得正方形的边长.【详解】如图所示：⊙O的半径为4，∵四边形ABCD是正方形，∠B=
90°，∴AC是⊙O的直径，∴AC=2×4=8，∵，AB=BC，∴=64，解得：AB=4，即⊙O的内接正方形的边长等于4．故选D．
【点睛】正确掌握正方形的性质是解题关键．6．B【详解】根据题意，分3个阶段；①P在OA之间，∠DME逐渐减小，到A点时，为36°，
②P在弧AC之间，∠DME保持36°，大小不变，③P在CO之间，∠DME逐渐增大，到O点时，为72°；又由点P作匀速运动，故①③都
是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选B．点睛：本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次
分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．7．【分析】根据题意画出图形，连接OB、OC、过O作OD⊥BC于D，再根据等边
三角形的性质解答即可．【详解】解：如图所示，△ABC是等边三角形，连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，则，故cm．故答案为：．【
点睛】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，解答此题的关键是根据题意画出图形，利用等边三角形及直角三角形的性质解答．8． 1????
3.23【分析】（1）如图，根据正六边形的性质可证得△AOB为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解；（2）利用锐角三角函数
分别计算出圆的内接正六边形的周长和外切正六边形的周长，再利用它们的算术平均数作为2π的近似数值即可解答．【详解】解：（1）如图，∵
该多边形为圆内接正六边形，∴∠AOB=60°，∵OA=OB=1，∴△AOB为等边三角形，∴AB=1，即则⊙O的内接正六边形的边长是
1,故答案为：1；（2）如图，设圆的半径为1，当n=1时，可得∠AOB=60°，∠BOC=30°，则圆内接正六边形的边长为1，周长
为6，圆外切正六边形的边长为，周长为，根据题意得：2π= ，则π= ≈1.5+1.732=3.232≈3.23，故答案为：3.23
．【点睛】本题考查了圆周率π的近似值的计算、圆的内接和外切正多边形的性质、锐角三角函数解直角三角形，根据题意，结合图形，计算出单位
圆内接正六边形和外切正六边形的边长是解答的关键．9．2π【分析】根据圆内接正六边形的性质得到∠AOB=，再利用弧长公式计算即可．【
详解】如图连接OA、OB，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠AOB=，∴的长为，故答案为：．．【点睛】此题考查圆内接正六边形的
性质，弧长的计算公式，熟记圆内接正六边形的性质是解题的关键．10． 2???? 6【分析】首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是
等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH的长，继而求得正六边形的面积．【详解】解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝×360＝60，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝2，∴它的半
径为2，边长为2；∵在Rt△OBH中，OH＝OB?sin60＝2×，∴边心距是：；∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××2
×＝6．故答案为：2；6【点睛】本题考查了圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题
难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．11．：6【分析】首先根据题意画出图形,易得△OBC是等边三角形,继而可得正六边形的边长,由
S正六边形＝6S△OBC求得结果即可．【详解】解：如图所示：连接OB,OC,过点O作OH⊥BC于H∵六边形ABCDEF是正六边形∴
∠BOC=×360°＝60°∵OB＝OC∴△OBC是等边三角形∴BC＝OB＝OC∴BH＝BC＝1∴OH＝∴S正六边形＝6S△OBC
＝6××2×＝6故答案为：6．【点睛】本题主要考查了圆和正多边形，数形结合，求出一个等边三角形面积×6即为所得12．15.【分析】
连接OB，先求得∠AOB的度数，然后利用360°除以∠AOB度数，根据所得的结果进行分析即可得.【详解】连接OB，∵AC是⊙O的内
接正六边形的一边，∴∠AOC=360°÷6=60°，∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，∴∠BOC=360°÷10=36°，∴∠AO
B=60°-36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案为15.【点睛】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，熟练掌
握相关知识是解题的关键.注意把圆周等分，然后顺次连接各个分点就会得到正多边形．13．2【分析】要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形,
这个圆形纸片的边缘即为其外接圆,根据正方形的对角线的长度与其外接圆半径的关系即可求出.【详解】正方形的边长是4,则正方形的对角线的
长为 这个圆形纸片的最小半径是 .故答案为:【点睛】此题考查了正多边形与圆的知识.注意正方形的外接圆半径与的关系,这是一个需要熟记
的内容.14．3【详解】连接OB，∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM= =30°，∴OM=OB?cos∠BOM=6
× =3，故答案为3.15．8【分析】求出正六边形的中心角，连接两个顶点，可得等边三角形，于是可得到正六边形的边长．【详解】连接O
A，OB，∵正六边形，∴∠AOB==60°，又OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=8．故答案为8．【点睛】本题考查了
正多边形和圆的知识；求得正六边形的中心角为60°，得到等边三角形是正确解答本题的关键；求得中心角的度数是此类题目常用的，比较重要，
应注意掌握．16．（1）见解析；（2）90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）以点C为圆心，OC长为半径画弧线，交圆于一点即为点D，连接AD，补全图形即可；（2）证明：连接．由为⊙的直径，得到90．证明等边三角形，得到，由此得到即为所求的三角形．【详解】解：（1）补全的图形如图所示：??（2）证明：连接．∵ 为⊙的直径，∴90．∵，∴等边三角形．∴．∵点，都在⊙上，∴．（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）（填推理的依据）∴．即为所求的三角形．故答案为：90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ．【点睛】此题考查尺规作图，等边三角形的判定及性质，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，熟记各定理是解题的关键． 1 / 1 |
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