2022北京初二（上）期末数学汇编：尺规作图及轴对称

2022北京初二（上）期末数学汇编尺规作图及轴对称一、单选题1．（2022·北京门头沟·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝3
6°，分别以A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AC于点D，E，连接CD．有以下四
个结论：①∠BCD＝∠ACD＝36°；②AD＝CD＝CB；③△BCD的周长等于AC＋BC；④点D是线段AB的中点．其中正确的结论是
（?）A．①②B．③④C．①②③D．①②③④2．（2022·北京丰台·八年级期末）钢架雪车是年北京冬奥会的比赛项目之一．下面这些钢
架雪车运动标志是轴对称图形的是（?）A．B．C．D．3．（2022·北京朝阳·八年级期末）点P在∠AOB的平分线上（不与点O重合）
，PC⊥OA于点C，D是OB边上任意一点，连接PD．若PC=3，则下列关于线段PD的说法一定正确的是（　　）A．PD=POB．PD
＜3C．存在无数个点D使得PD=PCD．PD≥34．（2022·北京平谷·八年级期末）下列命题是假命题的是（?）A．直角三角形两锐
角互余B．有三组对应角相等的两个三角形全等C．两直线平行，同位角相等D．角平分线上的点到角两边的距离相等5．（2022·北京朝阳·
八年级期末）下面四个图形中，是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．6．（2022·北京顺义·八年级期末）如图，△ABC中，直线l
是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（?）A．1B．3C．5
D．77．（2022·北京东城·八年级期末）在第32届夏季奥林匹克运动会（即2020年东京奥运会）上，中国健儿勇于挑战，超越自我，
生动诠释了奥林匹克精神和中华体育精神，共获得38金32银18铜的骄人战绩．在下列的运动标识中，是轴对称图形的是（?）A．B．C．D
．8．（2022·北京石景山·八年级期末）如图1，北京2022年冬季奥林匹克运动会会徽（冬梦）主要由会徽图形、文字标志、奥林匹克五
环标志三个部分组成，图形主体形似汉字“冬”的书法形态；如图2，冬残奥会会徽（飞跃）主要由会徽图形、文字标志、国际残奥委会标志三部分
组成，图形主体形似汉字“飞”的书法字体．以下图案是会徽中的一部分，其中是轴对称图形的为（?）．A．B．C．D．9．（2022·北京
房山·八年级期末）甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，有时候也被认为是汉字的书体之一，也是现存中国王朝时期最古老的一种成
熟文字。下图为甲骨文对照表中的部分文字，若把它们抽象为几何图形，其中最接近轴对称图形的甲骨文对应的汉字是（?）A．时B．康C．黄D
．奚10．（2022·北京怀柔·八年级期末）已知：如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E．
若∠CAB=30°，AB=6，则DE+DB的值为（?）A．2B．3C．4D．511．（2022·北京海淀·八年级期末）下列冰雪运动
项目的图标中，是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．12．（2022·北京昌平·八年级期末）下列垃圾分类的标识中，是轴对称图形的
是（?）A．①②B．③④C．①③D．②④第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．（2022·北京大兴·八年
级期末）如图，在中，，，，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则的最小值是______．14．（2022·北京海淀·
八年级期末）如图，在中，AD为BC边上的中线，于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分，，，则的面积为________．三
、解答题15．（2022·北京顺义·八年级期末）已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，D是边CB上一点，DE⊥AB
于点E，且CD＝BE．求证：AD平分∠BAC．16．（2022·北京石景山·八年级期末）下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的
垂线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得．作法：如图，①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直
线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；③作直线PQ．直线PQ就是所求作的直线
．根据小明设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．
∵______，，∴（______）（填推理的依据）．17．（2022·北京怀柔·八年级期末）老师布置了如下尺规作图的作业：已知：
如图ABC．求作：ABC边BC上的高AM．下面是小红设计的尺规作图过程：作法：①延长线段BC ；②以点A为圆心，AC长为半径作弧交
BC的延长线于点D；③分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在CD下方交于点E；④连接AE，交CD于点M．所以线段AM
就是所求作的高线．根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成（1）（2）两小题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）
将该作图证明过程补充完整：由②可得：AC = ．由③可得： = ．∴ （ ）．（填推理的依据）即AM是ABC边BC上的高线．18．
（2022·北京房山·八年级期末）如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．1
9．（2022·北京东城·八年级期末）如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC
于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．(1)使用直尺和圆规完成作图过程（保留作图痕迹）；(
2)通过作图过程，可以发现直线DE是线段AB的______，是______三角形；(3)若，则的周长为______．20．（202
2·北京大兴·八年级期末）下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a和线段b．
求作：，使得，，BC边上的中线为b．作法：如图2，①作射线BM，并在射线BM上截取；②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于点D
；③以点D为圆心，b为半径作弧，交PQ于点A；④连接AB和AC．则为所求作的等腰三角形．（1）用直尺和圆规，依作法补全图2中的图形
（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知，．∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，∴（______）（填推理
的依据）．又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于点D，∴．∴AD为BC边上的中线．21．（2022·北京丰台·八年级期末）在平面直角
坐标系中，作直线l垂直轴于点（，），已知点（，），点（，），以为斜边作等腰直角三角形，点在第一象限．关于直线l的对称图形是．给出如
下定义：如果点M在上或内部，那么称点M是△ABC关于直线l的“称心点”．(1)当时，在点（，），（，），（，）中，关于直线l 的“
称心点”是 ；(2)当上只有1个点是关于直线l的“称心点”时, 直接写出的值；(3)点H是关于直线l 的“称心点”，且总有的面积大
于的面积，求的取值范围．22．（2022·北京丰台·八年级期末）下面是小东设计的尺规作图过程．已知：如图，在Rt中，°．求作：点，
使得点在边上，且到和的距离相等．作法：①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两
弧交于点；③画射线，交于点．所以点即为所求．根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成
下面的证明．证明：过点作于点，连接．在和中，∵，，，∴≌（SSS）．∴∠ =∠ . ∵∠=90°，∴.∵，∴（ ）．23．（20
22·北京海淀·八年级期末）如图，已知线段AB及线段AB外一点C，过点C作直线CD，使得．小欣的作法如下：①以点B为圆心，BC长为
半径作弧；②以点A为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D；③作直线CD．则直线CD即为所求．（1）根据小欣的作图过程补全图形；（2
）完成下面的证明．证明：连接AC，AD，BC，BD．∵，∴点B在线段CD的垂直平分线上．（_______________）（填推理
的依据）∵______________，∴点A在线段CD的垂直平分线上．∴直线AB为线段CD的垂直平分线．∴．24．（2022·北
京朝阳·八年级期末）下面是小军设计的“过线段端点作这条线段的垂线”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：AB的垂线，使它经过点A．
作法：如图，①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交线段BA的延长线于点C； ②分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相
交于直线BC上方的点D；③作直线AD．所以直线AD就是所求作的垂线．根据小军设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（
保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：连接CD，BD．∵BD= ，AB= ，∴AD⊥AB（ ）（填推理的依据）．25．（202
2·北京延庆·八年级期末）尺规作图：已知：如图1，直线MN和直线MN外一点P．求作：直线PQ，使直线PQMN．小智的作图思路如下：
①如何得到两条直线平行？小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行”．②如何
得到两个角相等？小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以
证明两个角相等的定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”．③画出示意图：④根据示意图，确定作图顺序．（1）使用直尺和圆
规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵AB平分∠PAN，∴∠PAB＝∠NAB．∵PA ＝
PQ，∴∠PAB＝∠PQA （ ①）．∴∠NAB ＝∠PQA．∴PQMN （ ②）．（3）参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作
法，利用直尺和圆规在图2中完成．（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）26．（2022·北京海淀·八年级期末）在3×3的正方
形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形.请在图1和图2中各画出一个与成轴对称的格点
三角形，并画出对称轴．27．（2022·北京西城·八年级期末）已知：如图1，线段a，b（）．（1）求作：等腰ABC，使得它的底边长
为b，底边上的高的长为a．作法：①作线段．②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．③在MN上取一点C，使．④连接AC，BC
，则ABC就是所求作的等腰三角形．用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；（2）求作：等腰PEF，使得它的腰长为线段a
，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长．作法：①作直线l，在直线l上取一点G．②过点G作直线l的垂线GH．
③在GH上取一点P，使PG＝ ．④以P为圆心，以 的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作
的等腰三角形．请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）．28．（2022·北京平谷·八年级期末）已知：如图
△ABC求作：点P，使得点P在AC上，且PC＝PB．作法：①分别以B，C为圆心，大于BC的同样长为半径作弧，两弧分别交于M，N；②
作直线 MN，与AC交于P点，与BC交于H．（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵BM
＝CM，BN＝CN，∴M、N在线段BC的垂直平分线上．（ ）（填推理的依据）即MN是AB的垂直平分线．∴点P在直线MN上．∴PC＝
PB．（ ）（填推理的依据）29．（2022·北京门头沟·八年级期末）下面是小丽同学设计的“作30°角”的尺规作图过程．已知：如图
1，射线OA．?求作：∠AOB，使∠AOB ＝30°．?作法：如图2， ①在射线OA上任取一点C；②分别以O，C为圆心，OC长为半
径作弧，两弧在射线OA的上方交于点D，作射线OD，并连接CD；③以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OD于点E，F；④分
别以E，F为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧在∠AOD内部交于点B；⑤作射线OB；∴ ∠AOB就是所求的角．根据小丽设计的尺规
作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；（2）补全下面证明过程：证明：连接BE，BF．∵ O
C＝OD＝CD，∴ △OCD是等边三角形．∴∠COD＝ °．?又∵ OE ＝OF，BE ＝ BF，OB＝OB，?∴ △OEB≌△O
FB（ ）（填推理依据）．∴ ∠EOB＝∠FOB（ ）（填推理依据）．∴ ∠AOB ＝＝30°．∴∠AOB就是所求的角．30．（2
022·北京通州·八年级期末）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和
公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．小牧在学习过程中产生
了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形．”（1）请你用尺规作图，在图中作出线段
的中点，并连接．（保留作图痕迹）（2）请你结合图形，将小牧猜想的命题写成已知、求证．已知：_____________．求证：为直角
三角形．（3）补全上述猜想的证明过程．证明：∵点是线段的中点，∴，又∵，∴，在中，∵，∴，（___________）（填推理的依据
），同理，在中，．在中∵．∴________，∴在中， ，∴为直角三角形．参考答案1．C【分析】根据AB＝AC，∠A＝36°，可得
,根据作图可知是的垂直平分线，进而可得,，进而可得，即可判断，进而判断，即可判断①②③正确，若④正确，则可得是等边三角形，进而得出
矛盾，判断④不正确【详解】解： AB＝AC，∠A＝36°，,根据作图可知是的垂直平分线，，，.， ∠BCD＝∠ACD＝36°, A
D＝CD＝CB；；故①②正确△BCD的周长等于AC＋BC； 故③正确若点D是线段AB的中点是等边三角形而点D不是线段AB的中点故④
不正确故正确的有①②③故选C【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与作图，掌握等腰三角
形的性质是解题的关键．2．D【分析】根据轴对称图形的定义（在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）依次判断即可．
【详解】解：根据轴对称图形的定义可得：只有D选项符合题意，其余选项的均不符合题意，故选：D．【点睛】题目主要考查轴对称图形的判定，
深刻理解轴对称图形的定义是解题关键．3．D【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为3，再根据垂线段最短解
答即可．【详解】解：∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，PC=3， ∴点P到OB的距离为3，∵点D是OB边上的任意一点，
根据垂线段最短，∴PD≥3．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的
关键．4．B【分析】根据直角三角形的性质，全等三角形的判定方法，平行线的性质，角平分线的性质逐项分析．【详解】A.直角三角形两锐角
互余，正确，是真命题；B.有三组对应角相等的两个三角形，因为它们的边不一定相等，所以不一定全等，故错误，是假命题；C.两直线平行，
同位角相等，正确，是真命题；D.角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题；故选B．【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确
的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．5．D【分析】根据轴对称图形的定
义判断即可．【详解】∵ 不是轴对称图形，∴A不符合题意；∵ 不是轴对称图形，∴B不符合题意；∵ 不是轴对称图形，∴C不符合题意；
∵ 是轴对称图形，∴D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了轴对称图形即沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，熟记定义是解题
的关键．6．A【分析】AC的垂直平分线交l于P点即为所求．【详解】如图，AC的垂直平分线交l于P点，则AP=CP=BP此时△PAC
，△PAB均为等腰三角形，共一点，故选A．【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质与等腰三角形的判定，解题的关键是熟知等腰三角形的定义
与垂直平分线的性质．7．A【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做
对称轴进行分析即可．【详解】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴
对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：A．【点睛】此题主
要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．8．B【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【详解】解：A．不
是轴对称图形，本选项不符合题意；B．是轴对称图形，本选项符合题意；C．不是轴对称图形，本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，本选项
不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．9．C【分析】根据
图形的特点及轴对称图形的定义即可辨别求解．【详解】由图可得最接近轴对称图形的甲骨文对应的汉字是黄故选C．【点睛】此题主要考查轴对称
图形的识别，解题的关键是熟知根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．10．B【分析】先
由角平分线的性质得到DE=CD，则DE+BD=CD+BD=BC，再由含30度角的直角三角形的性质即可得到．【详解】解：∵∠C=90
°，AD平分∠CAB， DE⊥AB，∴DE=CD，∴DE+BD=CD+BD=BC，又∵∠CAB=30°，AB=6，∴，故选B．【点
睛】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．11．D【分析】如果一个图形沿一条
直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此可得结论．【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．
不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D．【点睛】
本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重
合．12．B【详解】解：图③和④是轴对称图形，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线
折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）是解题关键．13．4【分析】先根据∠A=90°，∠C=30°，AB=
2，求出BC的长，再根据线段的垂直平分线的性质可得AF= FC，最后根据两点之间线段最短即可求解．【详解】解：如图，连接AF，∵E
F是AC的垂直平分线，∴ AF= FC ，∵∠A=90°，∠C=30°，AB=2，∴BC=4，∵根据两点之间线段最短，∴PA+ P
B= PB+ PC= BC，最小，此时点P与点F重合，∴PA+PB的最小值是BC的长，即为4，故答案为： 4．【点睛】本题考查了在
直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半和轴对称—最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．14．4【分析】过
F作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质求得FG=EF=2，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平分求解即可．【详解】解：过F作FG
⊥BC于G，∵BF平分，FG⊥BC，即EF⊥AB，∴FG=EF=2，∵AD为△ABC的BC边上的中线，∴FG为△BFC的BC边上在
中线，又BC=8，∴S△CDF= S△BFC= BC·FG= ×8×2=4，故答案为：4．【点睛】本题考查角平分线的性质定理、三角
形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键．15．见解析【分析】
先证明为等腰直角三角形，得出，再证明，得出，即可证明．【详解】解：，为等腰直角三角形，，又，为等腰直角三角形，，，，，，，平分．【
点睛】本题考查了等腰直角三角形、三角形全等的判定及性质、角平分线，解题的关键是掌握三角形的全等的证明．16．（1）见解析；（2）Q
B，三线合一【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）利用等腰三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）如图，直线PQ即为所求作
．（2）理由：连接QA，QB．∵QA=QB，PA=PB，∴PQ⊥l（三线合一）．故答案为：QB，三线合一．【点睛】本题考查作图-复
杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．（1）见解析；（2）AD；CE；DE
；AE是CD的垂直平分线；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上【分析】（1）根据题中作法作图即可；（2）根据垂直平分
线的作法即可证明．【详解】解：（1）如图，根据题中作法作图即可得； （2）由②可得：，（均为圆的半径）由③可得：，（相同圆的半径）
∴AE是CD的垂直平分线（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．故答案为：；；；AE是CD的垂直平分线；到线段两个
端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．【点睛】题目主要考查垂直平分线的作法及证明，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键．18．
，证明见解析【分析】连接DA，DB，由角平分线的性质可证，由垂直平分线的性质可证，然后根据“HL”证明即可．【详解】解：，理由：如
图，连接DA，DB，∵CD平分，于M，于N，∴，∵且E为AB的中点，∴，在与中，，∴（HL），∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的
性质，垂直平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS和HL；全等三角形的性质
：全等三角形的对应边相等、对应角相等、对应边上的中线相等、对应边上的高线相等、对应角的角平分线相等．19．(1)见解析(2)垂直平
分线；等腰(3)8【分析】（1）根据题意直接作图即可；（2）根据（1）的作图过程可得DE垂直平分AB，由以点A为圆心，AF为半径画
弧，交BC延长线于点H，连接AH，可得AF=AH，即可判定的形状；（3）利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得AF＋FC＝
BF＋FC＝AH＋CH＝BC,最后根据三角形的周长公式解答即可．(1)解：作图如下所示：(2)解：由（1）的作图过程可知，DE垂直
平分AB且AF=AH，即△AFH是等腰三角形．故答案为：垂直平分线，等腰．(3)解：由（1）基本作图方法得出：DE垂直平分AB∴
AF＝BF，∵AF＝AH，AC⊥FH，∴FC＝CH，∴AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC＝4∴△AFH的周长为：AF＋FC＋
CH＋AH＝2BC＝8．【点睛】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，运用等腰三角形的性质、线段
垂直平分线的性质得到AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC是解答本题关键．20．(1)见详解；（2）线段垂直平分线上的点到线段两
个端点的距离相等．【分析】（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形即可；（2）根据线段的垂直平分线的性质即可证明．【详解】解：（1）△
ABC即为所求作的图形，如图所示：（2）证明：由作图可知BC=a，AD=b．∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，∴AB=A
C（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）．又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D，∴BD=CD．（中点定义）．∴AD为B
C边上的中线，且AD=b．故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线
的性质，解决本题的关键是准确画图．21．(1)点，点(2)(3)①；②或【分析】(1)由题意确定C点坐标,从而确定，即可判断关于直
线l 的“称心点”；(2)由图形的轴对称判定即可；(3) 过点A作直线m∥BC，延长AC至点M，使CM=AC，过点M作n∥BC．分
别计算当点B''在直线m上，S△B''BC= S△ABC时 ；当点C''''在直线n上，S△C''''BC= S△ABC时 a的值，在结合S△
HBC＞S△ABC得出的取值范围；（1）解：(1)由题意可确定C(3，3) ，当时，关于直线l 的“称心点”是点，点；故答案为：点
，点（2）解：当上只有1个点是关于直线l的“称心点”时，点C在直线l上，所以故答案为：（3）解：过点A作直线m∥BC，延长AC至点
M，使CM=AC，过点M作n∥BC．①当点B''在直线m上时，S△B''BC= S△ABC ．如图，此时BB''=AB=4，∴点B''的坐
标为∴.∵S△HBC＞S△ABC ，∴． ②当点C''''在直线n上时，S△C''''BC= S△ABC．如图，此时C C''''=AB=4，
∴点C''''的坐标为∴．∵S△HBC＞S△ABC．∴．综上所述，或．【点睛】本题考查了图形在平面直角坐标系中的轴对称，掌握图像轴对称
的性质是解题的关键．22．(1)补全图形见解析(2)∠，∠，角的平分线上的点到角的两边的距离相等【分析】（1）按照要求补全图形即可
；（2）读懂证明中的每一个步骤及推理的依据，即可完成．（1）补全的图形如下：（2）过点作于点，连接．在和中，∵，，，∴≌（SSS）
．∴∠PAM=∠PAN．∴=90°，∴.∵，∴（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．故答案为：∠，∠，角的平分线上的点到角的两
边的距离相等【点睛】本题考查了用尺规作角平分线，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理等知识，灵活运用它们是关键．23．（1）
见解析；（2）到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；AD；【分析】（1）根据作图的作法作出图形即可求解；（2）完连接A
C，AD，BC，BD，根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可求解．【详解】解：（1）作图如图所示：（2）证明：连
接AC，AD，BC，BD．∵，∴点B在线段CD的垂直平分线上．（到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上）（填推理的依据）
∵AD，∴点A在线段CD的垂直平分线上．∴直线AB为线段CD的垂直平分线．∴．故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平
分线上；AD．【点睛】本题考查作图，垂直平分线的判定，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．24．(1
)见解析(2)CD，AC，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合【分析】（1）根据作法补全图形即可；（2）根据圆
的半径相等，等腰三角形的性质即可得到结论．(1)解：补全的图形如图所示：(2)证明：连接CD，BD．∵BD=CD，AB=AC ，∴
AD⊥AB（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）（填推理的依据）．故答案为：CD，AC，等腰三角形的顶角平分
线、底边上的中线、底边上的高相互重合【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌
握等腰三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题．25．（1）图见解析（2）等边对等角；内错角相等，两直线平行；（3）图见解析【分析】
（1）根据题意即可尺规作图进行求解；（2）根据角平分线与等腰三角形的性质得到内错角相等，故可求解；（3）作PH⊥MN于H点，再作P
H⊥PQ即可．【详解】（1）如图1，PQ即为所求；（2）证明：∵AB平分∠PAN，∴∠PAB＝∠NAB．∵PA ＝PQ，∴∠PAB
＝∠PQA （等边对等角）．∴∠NAB ＝∠PQA．∴PQMN （内错角相等，两直线平行）．故答案为：等边对等角；内错角相等，两直
线平行；（3）如图2，PQ为所求．【点睛】此题主要考查尺规作图的运用，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、平行线的判定、垂直平分线的
作法．26．见解析【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解；【详解】与成轴对称的格点三角形如图
所示：即为所求．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的
对称轴．27．（1）见解析；（2）a，b，见解析【分析】（1）根据所给的作法和线段垂直平分线的作图方法画出对应的图形即可；（2）根
据所给的作法和作垂线的方法画出对应的图形即可．【详解】解：（1）如图，ABC就是所求作的等腰三角形；（2）作法：①作直线l，在直线
l上取一点G．②过点G作直线l的垂线GH．③在GH上取一点P，使PG＝a．④以P为圆心，以b的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E
，F．⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．如图，PEF就是所求作的等腰三角形．故答案为：a，b．【点睛】本题考查尺规
作图-作线段、作垂线、作等腰三角形，熟练掌握基本尺规作图的方法步骤是解答的关键．28．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）按照
题中的作法完成即可；（2）读懂每步推理及推理的依据即可完成．【详解】1）补全的图形如下：（2）证明：∵BM＝CM，BN＝CN， ∴
M、N在线段BC的垂直平分线．（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）（填推理的依据） 即MN是BC的垂直平分线． ∴点P
在直线MN上． ∴PC＝PB．（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）（填推理的依据）【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质
定理与判定定理、用尺规作线段的垂直平分线，掌握这些知识是解题的关键．29．（1）见解析；（2）60°，SSS，全等三角形对应角相等【分析】（1）根据题意，③以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OD于点E，F；④分别以E，F为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧在∠AOD内部交于点B；⑤作射线OB；则 ∠AOB就是所求的角．（2）根据等边三角形的性质，三角形全等的性质与判定推理即可【详解】（1）补全作图如下，（2）证明：连接BE，BF．∵ OC＝OD＝CD，∴ △OCD是等边三角形．∴∠COD＝60°．?又∵ OE ＝OF，BE ＝ BF，OB＝OB，?∴ △OEB≌△OFB（SSS）（填推理依据）．∴ ∠EOB＝∠FOB（全等三角形对应角相等）（填推理依据）．∴ ∠AOB ＝＝30°．∴∠AOB就是所求的角．故答案为：60°，SSS，全等三角形对应角相等【点睛】本题考查了基本作图-作角平分线，三角形全等的性质与判定，掌握基本作图是解题的关键．30．（1）见详解；（2）在中，是的中线，且；（3）等边对等角；或．【分析】（1）根据作出AB的垂直平分线，交AB于D，连接CD，问题得解；（2）根据题意将文字语言结合图形转化为符号语言，问题得解；（3）根据题意得到，，根据三角形内角和定理得到，即可得到，问题得证．【详解】（1）解：如图，CD即为所求作的线段，证明：∵点E、F分别到A、B的距离相等，∴点E、F分别在AB的垂直平分线上，∴点D为AB中点，∴CD即为所求作的线段；（2）已知：在中，是的中线，且．求证：为直角三角形．故答案为：在中，是的中线，且；（3）证明：∵点是线段的中点，∴，又∵∴，在中，∵∴，（等边对等角）（填推理的依据）同理，在中，．在中∵．∴或，∴在中， ，∴为直角三角形．故答案为：等边对等角；或；．【点睛】本题考查了尺规作图-作已知线段的中点，几何文字语言、符号语言的转化，等腰三角形性质等知识，熟知相关知识，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键第1页/共1页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司