2022北京东城初二（下）期末数 学一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1―10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．下列各组数
中，能作为直角三角形三边长度的是 A．1，2，3B．2，3，4C．4，5，6D．6，8，102．下列运算正确的是 A．B．C．D．
3．下列各式中，是最简二次根式的是 A．B．C．D．4．如图，在中，，，则的度数是 A．B．C．D．5．菱形具有而一般平行四边形不
具有的性质是 A．两组对边分别相等B．两组对角分别相等C．两条对角线互相平分D．每一条对角线平分一组对角6．一次函数的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．如图，若一次函数，为常数，且的图象经过点，，则不等式的解集为 A．B．C．D．
8．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）组员甲乙丙丁戊平均成绩众数得分8177■808280■则被遮盖的
两个数据依次是 A．80，80B．81，80C．80，2D．81，29．“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量
变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，下列图
象适合表示与的对应关系的是 A．B．C．D．10．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若
，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 A．72B．52C．8
0D．76二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）二次根式有意义的条件是 ．12．（2分）如图，在平行四边形中，的平分
线交于点，，，则 ．13．（2分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定
的是 （填“甲、乙、丙、丁”中的一位）．14．（2分）如图，两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间
的距离为 ．15．（2分）如图，分别以数轴的单位长度1和3为直角边的长作直角三角形，以数轴上的原点为圆心，这个直角三角形的斜边长
为半径作弧与数轴交于一点，则点表示的数为 ．16．（2分）若点，，，在一次函数是常数）的图象上，则，的大小关系是 ．（填“”“
”或“” 17．（2分）如图，平行四边形的对角线与相交于点，且．若是边的中点，，，则的长为 ．18．（2分）如图，菱形的边长为2
，，点是边上一动点（不与，重合），点是边上一动点，，则 ，面积的最小值为 ．三、解答题（本题共54分，19题5分，20题7分，2
1-22题每题5分，23题4分，24-26题每题5分，27题7分，28题6分）19．（5分）下面是小明设计的“作矩形”的尺规作图过
程：已知：在中，．求作：矩形．作法：如图，①分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线，交于点；③连接并延长
至点，使得；④连接，．则四边形是矩形．根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（
2）完成下面的证明．证明：连接，，，．，，是线段的垂直平分线． ．又，四边形是平行四边形 （填推理的依据）．，四边形是矩形 （填推
理的依据）．20．（7分）计算：（1）；（2）．21．（5分）如图，在中，、分别平分、．求证：．22．（5分）已知一次函数的图象经
过点和．（1）求该一次函数的解析式；（2）在图中画出该函数的图象，并求该图象与坐标轴围成的三角形的面积．23．（4分）如图是由边长
为1的小正方形构成的的网格，点，均在格点上．（1）在图1中画出以为边且周长为的平行四边形，且点和点均在格点上（画出一个即可）；（2
）在图2中画出以为对角线的正方形，且点和点均在格点上．24．（5分）为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“
冰雪运动知识竞赛”．为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以
上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：．七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，
5，8，7，6，7，9，7，10，6．．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：．七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众
数、中位数如下表所示：年级平均数众数中位数七年级7.57八年级8请你根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）上表中 ， ， ；（2
）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校八年级共400
名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数．25．（5分）已知一次函数为常数，和．（1）当时，若，求的
取值范围；（2）当时，对于的每一个值，一次函数为常数，的值大于一次函数的值，结合图象，直接写出的取值范围．26．（5分）某鲜花销售
公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只付销售提成；方案二：底薪加销售提成．如图中的射线、射线分别表示该鲜花销售
公司每月按方案一、方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量（单位：千克）的函数关系．（1）直接写出方案
二中的底薪是多少元；（2）求与的函数解析式；（3）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过200千克，但其3月份的工资超过
5000元．请你判断这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付的3月份工资，并说明你的理由．27．（7分）如图，在正方形中，是边上的一
点（不与，重合），点关于直的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接．（1）在图1中补全图形， （填“”“ ”或“” ；（2）猜想和
的数量关系，并证明；（3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．28．（6分）已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线
段的中点，不重合），则称点为图形关于点的倍点．如图，在平面直角坐标系中，点，，，．（1）若点的坐标为，则在，，中，是正方形关于点的
倍点的是 ；（2）点的坐标为，若在直线上存在正方形关于点的倍点，直接写出的取值范围；（3）点为正方形边上一动点，直线与轴交于点，
与轴交于点，若线段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，直接写出的取值范围．参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1―1
0题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形三边满足的关系，可以判断各个选项中的三条线段能否
构成直角三角形或三角形，本题得以解决．【解答】解：，故选项中的三条线段不能构成三角形，故选项不符合题意；，故选项中的三条线段不能构
成直角三角形，故选项不符合题意；，故选项中的三条线段不能构成直角三角形，故选项不符合题意；，故选项中的三条线段能构成直角三角形，故
选项符合题意；故选：．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．2．【分析
】根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．【解答】解：、原式，所以选
项的计算错误；、原式，所以选项的计算错误；、原式，所以选项的计算正确；、原式，所以选项的计算错误．故选：．【点评】本题考查了二次根
式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和除法法则．3．【分析】利用最简二次根式的定义，逐个分析得结论．【解答】解：是小数，含
有分母，故选项不是最简二次根式；符合最简二次根式的定义，故是最简二次根式；，，被开方数里含有能开得尽方的因式（数，故选项、不是最简
二次根式．故选：．【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解决本题的关键．4．【分析】由等腰三角形的性质可得，由平
行四边形的性质可求解．【解答】解：，，，四边形是平行四边形，，故选：．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握平
行四边形的对角相等是解题的关键．5．【分析】菱形的对角线垂直和每一条对角线平分一组对角是菱形的重要性质，而平行四边形不具备这样的性
质．【解答】解：由菱形性质可知，每一条对角线平分一组对角；而平行四边形不具备这样的性质；其他，，均是菱形和平行四边形共有的性质．故
选：．【点评】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质特点是解答本题的关键．6．【分析】先根据一次函数中，判断出函数图象经过的象
限，进而可得出结论．【解答】解：一次函数中，，此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故选：．【点评】本题考查的是一次函数
的性质，即一次函数中，当，时，函数图象经过一、三、四象限．7．【分析】直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．【解答】解：如
图所示：不等式的解为：．故选：．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．8．【分析】根据平均数
的计算公式先求出丙的得分，再根据众数的意义进行分析即可得出答案．【解答】解：根据题意得：（分，则丙的得分是80分；众数是80，故选
：．【点评】考查了众数及平均数的定义，解题的关键是根据平均数求得丙的得分，难度不大．9．【分析】根据题意，可知随的增大而减小，符合
一次函数图象，从而可以解答本题．【解答】解：不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，
随的增大而减小，符合一次函数图象，故选：．【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．【分析
】由题意为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风
车”中的四个直角三角形的斜边长为，则所以所以“数学风车”的周长是：．故选：．【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已
知条件来解答此类题．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：二次
根式有意义的条件是：，解得：．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．12．【分析】在中，
的平分线交于点，易证得是等腰三角形，继而求得答案．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，平分，，，，．故答案为：3．【点评】此题考
查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是解此题的关键．13．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是
用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：，，，
，，射击成绩最稳定的是丙，故答案为：丙．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离
平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．14
．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可．【解答】解：是公路的中点，，，，，两点间的距离为．故答案为：1．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．15．【分析】根据勾股定理求出直角三
角形斜边的长度，也就求出了的长，结合图中点的位置确定点表示的数．【解答】解：由题知，在直角三角形中，根据勾股定理得，直角三角形的斜
边，则，如图，点是以原点为圆心为半径作弧与数轴的交点，点表示的数为．故答案为：．【点评】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理确定斜边
的长度，即确定的长度是解答本题的关键．16．【分析】由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出．【解答】解：，随的
增大而减小，又点，，，在一次函数是常数）的图象上，且，．故答案为：．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随
的增大而减小”是解题的关键．17．【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而利用勾股定理得出的长，利用三角形中位线得出即可．【解答】
解：四边形是平行四边形，，，，，，，是边的中点，是的中点，，．故答案为：2．【点评】此题考查平行四边形的性质以及中位线定理，解题的
关键是熟练运用平行四边形的性质．18．【分析】先证明是等边三角形，当时面积最小．【解答】解：如图，连接，菱形边长为4，；与为正三角
形，，，，，，，，，，是等边三角形，当时，的面积最小，此时，边上的高为，面积的最小值为：．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的
最值，菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题
型．三、解答题（本题共54分，19题5分，20题7分，21-22题每题5分，23题4分，24-26题每题5分，27题7分，28题6
分）19．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先利用作法得到垂直平分，从而得到，由于，根据平行四边形的判定方法得到
四边形是平行四边形，然后加上，则可判断四边形是矩形．【解答】解：（1）如图，四边形为所作；（2）证明：连接，，，，，，是线段的垂直
平分线，，又，四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），，四边形是矩形（有一个内角为的平行四边形为矩形）．故答案为
：；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为的平行四边形为矩形．【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基
本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质和矩形的判定．20．【分
析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；（2）直接利用完全平方公式以及二次根式的乘法运算法则化简，进而合并得出答案．【解答】
解：（1）原式；（2）原式．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．21．【分析】利用全等三角形
的性质证明即可．【解答】证明：四边形是平行四边形，，，，，，，在和中，，，．【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性
质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．22．【分析】（1）根据函数解析式将已知点代入可得出方程组，
解出该方程组即可得到，值及函数解析式．（2）利用两点法确定函数图象，再求出图象与、轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求解．【解答
】解：（1）将点和代入得，，解得：，该一次函数的解析式为：．（2）图象如图所示：当时，，与轴交点，当时，，与轴交点，该图象与坐标轴
围成的三角形的面积，故该图象与坐标轴围成的三角形的面积为2．【点评】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式、两点法确定函数图像；
关键在于解出、值以及正确运用三角形面积公式求解．23．【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可；（2）根据正方形的定义画出图
形即可．【解答】解：（1）如图1中，四边形即为所求；（2）如图2中，正方形即为所求．【点评】本题考查作图应用与设计作图，线段的垂直
平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；（2
）从中位数、众数的比较得出结论；（3）求出八年级学生成绩为“合格”的所占的百分比即可．【解答】解：（1）（分，七年级20名学生成绩
中出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7分，即，将八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分，因
此中位数是7.5分，即，故答案为：7.5，7，7.5；（2）八年级的成绩较好，理由：八年级学生成绩的中位数是7.5分，众数是8分，
都比七年级高；（3）（名，答：该校八年级共400名学生中成绩合格的大约有360名．【点评】本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数
以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提．25．【分析】（1）解不等式
即可；（2）计算出对应的的函数值，然后根据时，一次函数为常数，的图象在直线的上方确定的范围．【解答】解：（1）时，，根据题意得，解
得；（2）当时，，把代入得，解得，由图象可知当时，；故的范围为．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻
求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集
合．26．【分析】（1）由图象直接得出结论；（2）由待定系数法就可以求出解析式；（3）先求出与的解析式，再利用（2）中求出的函数的
解析式，把代入求解即可．【解答】解：（1）由图象可得，方案二中的底薪是800元；（2）设，根据题意，得，解得，与的函数解析式为；（
3）设，根据题意得，解得，；当时，；；这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解
析式的运用，一元一次不等式的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图象的意义是关键．27．【分析】（1）根据题意补全图形，
由对称得，，等边对等角可得，根据同角的余角相等可得，等量代换即可得出结论；（2）根据正方形的性质得，则，等边对等角可得，根据三角形
的外角性质及角的和差可得，由（1）知，则，由得；（3）过点作，交的延长线于，由（2）知，则为等腰直角三角形，可得，证明，根据全等三
角形的性质可得，即，即可得出结论．【解答】解：（1）补全图形如图1，由对称得，，，，四边形是正方形，，，，故答案为：；（2）．证明
：四边形是正方形，，，，，，，，由（1）知，，，；（3），证明：过点作，交的延长线于，由（2）知，为等腰直角三角形，，，，，，，，
即，．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．28．【分析】（1）根据“倍点”的定义，逐一判断即可；（2）设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，再根据“倍点”的定义得出，最后根据，得出结果；（3）设，线段上任意一点为，正方形上的点为，再根据“倍点”的定义得出①，②，两式相减得出，最后根据，得出结论．【解答】解：（1）设是正方形上一点，则有，，解得：，在正方形上，是正方形关于点的倍点；同理可得：不满足条件，满足条件，正方形关于点的倍点为，，故答案为：，；（2）设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，则，解得：，点在直线上，则，，，即，解得：；（3）设，线段上任意一点为，正方形上的点为，段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，，解得：①，②，②①得：，，，，，，．【点评】本题考查了一次函数的性质，中点坐标公式及“倍点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 1 / 1 |
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