2022北京三帆中学初二（下）期中数 学一、选择题（每题2分，共16分）1．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 A．B．C．D．2
．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是 A．1，，B．2，2，3C．4，5，6D．6，8，103．下列二次根式中，
是最简二次根式的是 A．B．C．D．4．如图，在中，，则的度数为 A．B．C．D．5．下列命题正确的是 A．一组对边平行，另一组对
边相等的四边形是平行四边形B．有两个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行
四边形是正方形6．已知为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段；（2）过点作直线垂直于；（3）在直线上截取线段；（4）以为圆心，的
长为半径作弧，交数轴于点．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 A．①②B
．①③C．②③D．②④7．如图，四边形是正方形，延长到，使，则的大小是 A．B．C．D．8．四边形的对角线，交于点，点，，，分别为
边，，，的中点．有下列四个推断：①对于任意四边形，四边形都是平行四边形；②若四边形是平行四边形，则与交于点；③若四边形是矩形，则四
边形也是矩形；④若四边形是正方形，则四边形也一定是正方形．所有正确推断的序号是 A．①②B．①③C．②③D．③④二、填空题（每题2
分，共16分）9．计算： ．10．如果，那么的值为 ．11．已知一个等边三角形的边长为2，则这个三角形的高为 ．12．如
图，在中，平分，交边于，，，则的长为 ．13．如图，在直角中，，，是的中点，则的度数为 ．14．正方形的顶点，都在平面直角坐标
系的轴上，若点的坐标是，则点的坐标为 ．15．如图，我国古代伟大的数学家刘徽将一个勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个小
正方形和两对全等的直角三角形．设小正方形边长为，两个直角三角形中较长的直角边长度分别为2和3，可以列出方程： ．16．如图，已知四
边形满足，，、分别为和的中点，则 ．三、解答题17．计算：（1）；（2）．18．若，，求的值．19．如图，在中，点，分别在、上，且
，连接，交于点．求证：．20．下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程．求作：菱形．作法：①作线段；②作线段的垂直平分线，交于点；
③在直线上取点，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点（点与点不重合）；④连接、、、．所以四边形为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图
过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：，， ． ，四边形为菱形 （填推理的依据）．21
．如图，菱形中，分别延长，至点，，使，，连接，，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求矩形的面积．22．如图，矩形中，，，将
矩形沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．（1）写出折叠后的图形中的等腰三角形： ；（2）求的长．23．如图，正方形网格中的每个小正
方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三
角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为 ．24．小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究
下面二次根式的运算规律．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律，特例特例特例特例 ．（填写一个符合上述运算特征
的例子）；（2）观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为： ；（3）证明你的猜想；（4）应用运算规律化简
： ．25．已知正方形，点是直线上一点（不与，重合），，交正方形外角的平分线所在的直线于点．（1）如图1，当点在线段上时，①请补全
图形，并直接写出，满足的数量关系 ；②用等式表示，，满足的数量关系，并证明．（2）当点在直线上，用等式表示线段，，之间的数量关系
（直接写出即可）．26．平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标分别为：，，，，，，，，、是这个正方形外两点，且．给出如下定义：记线
段的中点为，平移线段得到线段（其中，分别是点，的对应点），记线段的中点为．若点和分别落在正方形的一组邻边上，或线段与正方形的一边重
合，则称线段长度的最小值为线段到正方形的“回归距离”，称此时的点为线段到正方形的“回归点”．（1）如图1，平移线段，得到正方形内两
条长度为1的线段和，这两条线段的位置关系为 ；若，分别为和的中点，则点 （填或为线段到正方形的“回归点”；（2）若线段的中点的
坐标为，记线段到正方形的“回归距离”为，请直接写出的最小值： ，并在图2中画出此时线段到正方形的“回归点” （画出一种情况即可）；
（3）请在图3中画出所有符合题意的线段到正方形的“回归点”组成的图形．参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1．【分析】根据二次
根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：，解得．故选：．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点
为：二次根式的被开方数是非负数．2．【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．【解答】解：、，，，以1，，作为三角形的三边长
，不能构成直角三角形，故不符合题意；、，，，以2，2，3作为三角形的三边长，不能构成直角三角形，故不符合题意；、，，，以4，5，6
作为三角形的三边长，不能构成直角三角形，故不符合题意；、，，，以6，8，10作为三角形的三边长，能构成直角三角形，故符合题意；故选
：．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．3．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】
解：选项，原式，故该选项不符合题意；选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；选项，原式，故该选项不符合题意；选项，原式，故该选项不
符合题意；故选：．【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的
因数或因式是解题的关键．4．【分析】由平行四边形的性质可得，，即可求的度数．【解答】解：四边形是平行四边形，，且故选：．【点评】本
题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．5．【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可
确定正确的选项．【解答】解：、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误，不符合题意；、有三个角是直
角的四边形是矩形，故错误，不符合题意；、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；、有一组邻边相等且有一个角是直角的平
行四边形是正方形，正确，符合题意．故选．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，
难度不大．6．【分析】由勾股定理求得，进而得，，再判断结论的正误．【解答】解：根据题意得，，，，，故②正确；，，③正确，①错误；，
故④错误；故选：．【点评】本题主要考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，关键是由勾股定理求得．7．【分析】由四边形是正方形，即可求
得，又由，根据等边对等角与三角形内角和等于，即可求得的度数，又由，即可求得答案．【解答】解：四边形是正方形，，，，．故选：．【点评
】此题考查了正方形的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质．8．【分析】根据
三角形中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【解答】解：①点，，，分别为边，，，的中点，是的中位线，是的中
位线，是的中位线，是的中位线，，，，，，，，四边形是平行四边形，①正确；②四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，与互相平分，的中
点就是的中点，则与交于点，②正确；③若四边形是矩形，则，，四边形是菱形，不是矩形；③不正确；④四边形中，若，，则四边形是正方形，若
四边形是正方形，则四边形不一定是正方形，④不正确；故选：．【点评】本题考查的是平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定、正方
形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（每题2分，共16分）9．【分析】原式利用
平方根的性质判断即可．【解答】解：原式，故答案为：3【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根性质是解本题的关键．10．【
分析】根据非负数的性质求出、，计算即可．【解答】解：由题意得，，，解得，，，则，故答案为：．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握
非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．11．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得为的中点，即，在直角三角形中，已知、，
根据勾股定理即可求得的长．【解答】解：如图，等边三角形高线即中线，，，在中，，，由勾股定理得，．故答案为：．【点评】本题考查的是等
边三角形的性质，熟知等边三角形“三线合一”的性质是解题的关键．12．【分析】首先证明，再根据平行四边形的性质即可解决问题．【解答】
解：四边形是平行四边形，，，，平分，，，，，．故答案为：5．【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．13．【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据三
角形的外角性质求出答案即可．【解答】解：，为的中点，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形
的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．14．【分析】根据点的坐标求出正方形的边长与的长度，再求出
的长，然后写出点的坐标即可．【解答】解：点的坐标是，，，当点在点右边时，则，此时，，当点在点左边时，则，此时，，点的坐标为或．故答
案为：或．【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了正方形的性质，根据点的坐标求出正方形的边长是解题的关键．15．【分析】根据全
等三角形的性质求出勾股形的斜边长，根据勾股定理列出方程即可．【解答】解：由全等的性质可知，勾股形的斜边长为：，由勾股定理得：，故答
案为：．【点评】本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．16．【分析】连接，
取的中点，连接、，根据三角形中位线定理分别求出、，根据平行线的性质证明，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：连接，取的中点，连
接、，，，，，，同理可得：，，，，，，，即，，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握
三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．三、解答题17．【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简，进而合并得出答案
；（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而合并得出答案．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【点评】此题主要考查了二次根式的
混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．【分析】由与的值，求出与的值，原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出
值．【解答】解：，，，，原式．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．【分析】利用证得后即可证
得结论．【解答】证明：四边形是平行四边形，，，在和中，，，．【点评】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键
是证得和全等，难度不大．20．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先证明四边形为平行四边形，然后利用对角线垂直可判
断四边形为菱形．【解答】解：（1）如图，四边形为所作；（2）完成下面的证明．证明：，，四边形为平行四边形，，四边形为菱形（对角线互
相垂直的平行四边形为菱形）．故答案为四边形为平行四边形，，对角线互相垂直的平行四边形为菱形．【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作
图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何
图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．21．【分析】（1）根据菱形的性质得出，，再根据矩形的判定证
明即可．（2）连接，利用矩形和菱形的性质得出与的长即可．【解答】（1）证明：，，四边形是平行四边形．四边形是菱形，．，，四边形是矩
形．（2）解：连接，四边形是菱形，，，，，，，，由（1）得四边形是矩形，，，，，矩形的面积．【点评】此题考查的是矩形的判定与性质、
菱形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．22．【分析】（1）依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到，进而得出是等腰三角
形；（2）设，则，，依据勾股定理即可得到的值．【解答】解：（1）由折叠可得，，在矩形中，，，，，是等腰三角形，故答案为：；（2）设
，则，，，中，，即，解得，．【点评】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，解题关键是常常设要求的线段长为，然
后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．23．【分析】（1）根
据正方形的面积为10可得正方形边长为，画一个边长为正方形即可；（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可．【解答】解：（1）
面积为10的正方形的边长为，，如图1所示的四边形即为所求；（2），，如图2所示的三角形即为所求这个三角形的面积；故答案为：2．【点
评】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，运用勾股定理得出有关线段长是解决问题的关键．24．【分析】（1）根据所
给的特例的形式进行求解即可；（2）分析所给的等式的形式进行总结即可；（3）对（2）的等式的左边进行整理，即可求证；（4）利用（2）
中的规律进行求解即可．【解答】解：（1）由题意得：，故答案为：；（2）例特例特例．用含的式子表示为：，故答案为：；（3）等式左边右
边，故猜想成立；（4）．故答案为：．【点评】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律
．25．【分析】（1）①根据题意补全图形，在上截取，连接，根据证即可得出结论；②根据是等腰直角三角形，得出，根据即可得出结论；（2
）分点在线段上，点在延长线上，点在延长线上三种情况，构造全等三角形同理（1）得出结论即可．【解答】解：（1）①根据题意补全图形如下
：，理由如下：在上截取，连接，四边形是正方形，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，平分，，，，在和中，，，，故答案为：；②，
证明如下：由①知，，，是等腰直角三角形，，，四边形是正方形，，，；（2）若点在直线上分以下三种情况：①由（1）知，当点在线段上时，
；②当点在延长线上时，延长至，使，连接，四边形是正方形，，，，，是等腰直角三角形，，，平分，，，，，，是的外角，是的外角，，在和中
，，，，，，，；③当点在延长线上时，如下图：延长至，使，连接，四边形是正方形，，，，，是等腰直角三角形，，，平分，，，，，，，在和
中，，，，，，，；综上所述，当点在延长线上时，当点在延长线上时，当点在线段上时．【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，利用辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．【分析】（1）利用平移变换的性质以及“回归点”的定义判断即可；（2）如图当与的中点重合或与的中点重合时，的值最小，再利用勾股定理求解；（3）“回归点”的轨迹是以为圆心，为半径画弧，在正方形内部的弧．【解答】解：（1）如图1，平移线段，得到正方形内两条长度为1的线段和，这两条线段的位置关系为；若，分别为和的中点，则点为线段到正方形的“回归点”．故答案为：，；（2）如图当与的中点重合或与的中点重合时，的值最小，最小值；故答案为：；（3）如图3中，弧即为所求（以为圆心，为半径画弧）．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，“回归距离”，“回归点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题型． 1 / 1 |
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