2022北京上地实验学校初二（下）期中数 学一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1—10题均有四个选项，符合题意的只有一个．1. 下列
各式中，最简二次根式是（ ）A. B. C. D. 2. 平行四边形两邻边分别为24和16，则平行四边形周长为（ ）A 20B.
40C. 60D. 803. 下列计算正确是（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在中，于点若则等于( )A. B. C.
D. 5. 小玲爸爸在钉制平行四边形框架时,采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC、BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABC
D就是平行四边形,这种方法的依据是（ ）A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形C. 两
组对边分别相等的四边形是平行四边形D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形6. 如图，数轴上点表示的数为1，，且，以原点为圆心，
为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点
D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（ ）．A. 16B. 12C. 10D. 88. 把六张大小形状
完全相同的小平行四边形卡片（如图）放在一个底面为平行四边形的盒子底部，两种放置方法如图2、图3所示，其中3中的重叠部分是平行四边形
EFGH，若EH＝2GH，且图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3．则AB﹣AD的值为（ ）A. 0.5B. 1C. 1
.5D. 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____．10. 若平行四
边形中两个内角的度数比为，则其中一个较小的内角的度数是_____°．11. 用一组的值说明式子“”是错误的，这组值可以是=____
，=_____.12. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，与AD交于点E，BC＝5，DE＝2，则AB的长为 __
_．13. 如图，□ABCD的对角线相交于点O,两条对角线的和为18，AD的长为5，则△OBC的周长为 ___________．1
4. 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形，，的面积分别是，，，则
正方形的面积是___________．15. 如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点
A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ．16. 在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（1，0）， C（3，1），若以A
、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_____________．三、解答题（本题共60分，第17~21题，每小题
4分，第22~25题，每小题5分，第26题6分第27~28题，每小题7分）17. 计算：18. 计算：19. 已知，，求代数式的值
．20. 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A．求作：直线A
D，使得AD// l．作法：如图2，①在直线l 上任取两点B，C，连接AB；②分别以点A，C 为圆心，线段BC，AB 长为半径画弧
，两弧在直线l 上方相交于点D；③作直线AD．直线AD 就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图
形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接CD．∵ AB ＝________，BC ＝________，∴ 四边形ABC
D 为平行四边形（_________）（填推理的依据）．∴ AD// l．21. 如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将
AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG．求证：四边形DEFG是平行四边形；22. 如图，平行四边形
ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是线段AC上的两点，并且AE=CF．求证：DE∥BF．23. 如图，在4×4的正方形网格
中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的叫做格点三角形，分别按下列要求作图．（1）在图①中，画一个格点三角形ABC，使
得，，；（2）在（1）的条件下，直接写出AC边上的高为 ；（3）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．24. 在△A
BC中，，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角
形时，求t的值．25. 如图,在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD的中点，连接BE并延长至点F，使
得EF=EB，连接DF交AC于点G，连接CF，（1）求证：四边形DBCF是平行四边形（2）若∠A=30°，BC=4，CF=6，求C
D的长26. 已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC．（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是 （
请直接写出答案）；（2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）；（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形三边长
求面积的秦九韶公式：S＝．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求
出△ABC的面积．27. 已知ABCD中，，．（1）如图1，对角线AC、BD交于点O，若，求BD的长；（2）点E是直线CD上的一个
动点，直线BE交直线AC于点H，过点A作交直线CD于点F，垂足为点M，连接FH．①如图2，当点E是边CD上一点（点E不与点C、D重
合）时，判断线段BH、AF、FH的数量关系，并证明．② 当点E在边DC的延长线上时，若，判断线段BH、AF、FH之间的数量关系，在
图3中画出图形并直接写出结论，不需证明．28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点A，规定点A变换和变换．变换：将点A向左平移一个单
位长度，再向上平移两个单位长度；变换：将点A向右平移三个单位长度，再向下平移一个单位长度（1）若对点B进行变换，得到点（1，1），
则对点B进行变换后得到的点的坐标为 ．（2）若对点C（m，0）进行变换得到点P，对点C（m，0）进行变换得到点Q，，求m的值．（3
）点D为y轴的正半轴上的一个定点，对点D进行变换后得到点E，点F为x轴上的一个动点，对点F进行变换之后得到点G，若的最小值为2，直
接写出点D的坐标 ．参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1—10题均有四个选项，符合题意的只有一个．1. 下列各式中，
最简二次根式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】最简二次根式的两个要求： ① 被开方数不含有分母（小数）；②
被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式，据此进行分析判断即可．【详解】A. ，被开方数是分数，不是最简二次根式； B. ，
被开方数是小数，不是最简二次根式； C. ，符合条件，是最简二次根式； D. ，被开方数可以开方，不是最简二次根式.故选：C【
点睛】本题考查最简二次根式的要求，牢记相关内容并灵活应用是解题关键．2. 平行四边形两邻边分别为24和16，则平行四边形周长为（
）A. 20B. 40C. 60D. 80【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，平行四边
形ABCD的周长＝2（AB＋BC），即可得出结果．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝16，AD＝B
C＝24，∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB＋BC）＝2（16＋24）＝80；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及周
长的计算方法；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．3. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【
答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得．【详解】A、，此选项计算错误，不符合题意；B、，此选项计算错误，
不符合题意；C、，此选项计算正确，符合题意；D、，此选项计算错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简运算，
解题的关键是准确利用公式计算．4. 如图，在中，于点若则等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形
的性质和三角形的内角和定理求解.【详解】在中，于点∴ ∵∴在中，故选：B【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形内角和定理，解题
的关键在于把已知角转化到中求解.5. 小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时,采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC、BD的中点重叠,
并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是（ ）A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两组对角分别相等
的四边形是平行四边形C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形【答案】A【解析】【分析】
已知AC和BD是对角线，取各自中点，则对角线互相平分（即AO＝CO，BO＝DO）的四边形是平行四边形．【详解】解：由已知可得AO＝
CO，BO＝DO，所以四边形ABCD是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行四
边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．6. 如图，数轴上点表示的数为1，，且，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于
点，则点所表示的数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质求得的长，然后根据圆的性质
即可求解，进而即可判断．【详解】由已知得，∵，且，∴在中，，∵以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，∴，∴点所表示的数为；故
选A．【点睛】本题考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，关键是求出的值，然后根据圆的性质即可求解．7. 如图，在△ABC中，AB=
6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（ ）．A. 16B. 12C. 10D. 8【
答案】A【解析】【分析】根据三角形的中位线定理，判断出四边形ADEF平行四边形，根据平行四边形的性质求出ADEF的周长即可．【详解
】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DE∥AC，EF∥AB，DE=AC=5，EF=AB=3，∴四边形ADEF是平行
四边形，∴AD=EF，DE=AF，∴四边形ADEF的周长为2（DE+EF）=16，故选A．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，利用
中位线定理判断出四边形ADEF为平行四边形是解题的关键．8. 把六张大小形状完全相同的小平行四边形卡片（如图）放在一个底面为平行四
边形的盒子底部，两种放置方法如图2、图3所示，其中3中的重叠部分是平行四边形EFGH，若EH＝2GH，且图2中阴影部分的周长比图3
中阴影部分的周长大3．则AB﹣AD的值为（ ）A. 0.5B. 1C. 1.5D. 3【答案】A【解析】【分析】设AB=a，BC
=b，图1中的平行四边形的边长是x、y（y＞x），GH=c，则EH=2c，根据图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3得出（
2b+2a）-[2（b-2c）+2（a-c）]=3，求出c，根据图形得出AB-AD=，再求出即可．【详解】解：设AB＝a，BC＝b
，图1中的平行四边形的边长是x、y（y＞x），GH＝c，则EH＝2c，∵图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3，∴（2b+
2a）﹣[2（b﹣2c）+2（a﹣c）]＝3，解得：c＝0.5，即GH＝0.5，EH＝1，所以AB﹣AD＝＝0.5，故选A．【点睛
】本题考查了平行四边形的性质，能根据题意得出（2b+2a）-[2（b-2c）+2（a-c）]=3是解此题的关键．二、填空题（本题共
16分，每小题2分）9. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____．【答案】【解析】【分析】由使得二次根式有意义的
条件即可得到答案．【详解】解：二次根式有意义，则 解得故答案为：【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键
．10. 若平行四边形中两个内角的度数比为，则其中一个较小的内角的度数是_____°．【答案】72【解析】【分析】根据平行线四边形
的性质，确定这两个角互补，即可求得．【详解】平行四边形的对角相等，若平行四边形中两个内角的度数比为，这两个角为邻角，设这两个角分别
，平行四边形的邻角互补，，解得，，其中一个较小的内角的度数是：．故答案为：72【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质；熟
练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．11. 用一组的值说明式子“”是错误的，这组值可以是=____，=___
__.【答案】 ①. 答案不唯一 ②. 1答案不唯一【解析】【分析】根据题意举出一个反例即可.【详解】当时， ”是错误的.故答案
为（答案不唯一）.【点睛】考查反证法，解得的关键是掌握二次根式的性质以及反证法.12. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分
∠ABC，与AD交于点E，BC＝5，DE＝2，则AB的长为 ___．【答案】3【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得，，结合图形
，利用线段间的数量关系可得，由平行线及角平分线可得，，得出，根据等角对等边即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，∵，∴，∵，BE平分，∴，，∴，∴，故答案为：3．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，利用角平分线计算及平行线的性质，等角
对等边求边长等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．13. 如图，□ABCD的对角线相交于点O,两条对角线的和为18
，AD的长为5，则△OBC的周长为 ___________．【答案】14【解析】【分析】根据两对角线之和为18，可得出OB+OC的
值，再由AD=BC，可得出△OBC的周长．【详解】由题意得，OB+OC=（AC+BD）=9，又∵AD=BC=5，∴△OBC的周长=
9+5=14．故答案为14．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，解答此题需要掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等的性质．14.
如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形，，的面积分别是，，，则正方
形的面积是___________．【答案】17【解析】【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，得到四个小正方形的面积和等于
最大正方形的面积，即可列出等式求出正方形D的面积．【详解】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， ∴正方形A的
面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积，∵，，∴正方形A、B、C、D的面积和，即，解得：．故答案为：17．【点睛】本
题考查了勾股定理的应用，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键．15. 如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC
=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ．【答案】7【解析】【分析】根据勾股定理求得BC，再根据折
叠性质得到AE=CE，进而由三角形的周长=AB+BC求解即可．【详解】∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=.
∵△ADE是△CDE翻折而成，∴AE=CE，∴AE+BE=BC=4，∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．故答案是：7．【点睛
】本题考查勾股定理、折叠性质，熟练掌握勾股定理是解答的关键．16. 在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（1，0）， C
（3，1），若以A、B、C、D为顶点四边形是平行四边形，则点D的坐标是_____________．【答案】（-2，0）或（4，0）
或（2，2）【解析】【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标
．【详解】解：分三种情况：①AB为对角线时，点D的坐标为（-2，0）；②BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；③AC为对角线时，
点D的坐标为（2，2）.综上所述，点D的坐标可能是（-2，0）或（4，0）或（2，2）．故答案为（-2，0）或（4，0）或（2，2
）．【点睛】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．三、解答题（本题共60分，第17~2
1题，每小题4分，第22~25题，每小题5分，第26题6分第27~28题，每小题7分）17. 计算：【答案】【解析】【分析】先计算
除法，再合并，即可求解．【详解】解： ＝＝,故答案为：.【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是
解题的关键．18. 计算：【答案】6【解析】【分析】先用平方差公式计算二次根式乘法，利用二次根式性质化简二次根式，再计算加减即可．
【详解】解：＝＝6，故答案为：6.【点睛】本题词考查二次根式混合运算，利用平方差公式简便计算是解题词的关键．19. 已知，，求代数
式的值．【答案】22【解析】【分析】把所求的式子变形为（x＋y）2-3xy，然后再把x，y的值代入进行计算即可解答．【详解】解：∵
，，∴，＝＝=＝-3×2=28-6＝22，故答案为：22.【点睛】本题考查代数式求值、二次根式的运算，将原式变形为变形为（x＋y）
2-3xy是解题的关键.20. 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 及直线l
外一点A．求作：直线AD，使得AD// l．作法：如图2，①在直线l 上任取两点B，C，连接AB；②分别以点A，C 为圆心，线段B
C，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D；③作直线AD．直线AD 就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）
使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明．证明：连接CD．∵ AB ＝________，BC ＝_______
_，∴ 四边形ABCD 为平行四边形（_________）（填推理的依据）．∴ AD// l．【答案】（1）见解析；（2），，两组
对边分别相等的四边形是平行四边形【解析】【分析】（1）根据作法画出图形即可；（2）根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行
证明即可．【详解】（1）如图所示，（2）证明：连接CD．∵ AB ＝CD，BC ＝AD，∴ 四边形ABCD 为平行四边形（两组对边
分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．∴ AD// l．故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【点睛】本题
考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉
基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．21. 如图，点O是△AB
C内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG．求证：四边形DEFG是平行四
边形；【答案】详见解析【解析】【分析】根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG
=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可．【详解】证明：∵D、G分别是AB、A
C的中点，∴DG∥BC，DG=BC．∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形D
EFG是平行四边形．【点睛】本题考查的是中点四边形、平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理是
解题的关键．22. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是线段AC上的两点，并且AE=CF．求证：DE∥BF
．【答案】证明见解析．【解析】【分析】由平行四边形的性质可求得OA=OC，OB=OD，再结合条件可求得OE＝OF，利用对角线互相平
分的四边形为平行四边形可证得结论．【详解】如图，连接BE，DF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AE=
CF，∴OE=OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DE∥BF．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，利用平行四边形的性质求
得OE＝OF是解题的关键．23. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的叫做格点三角形，分
别按下列要求作图．（1）在图①中，画一个格点三角形ABC，使得，，；（2）在（1）的条件下，直接写出AC边上的高为 ；（3）在图②
中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．【答案】（1）见解析； （2）2； （3）见解析.【解析】【分析】（1）利用数形结合
的思想解决问题即可；（2）先用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用面积法求解即可；（3）根据要求作出图形（答案不唯一）
．【小问1详解】解：如图①，△ABC即为所求，∵AB=，BC=，AC==5，∴△ABC即为所求；【小问2详解】解：∵AB2=22+
12=5，BC2=22+42=20，AC2=52=25，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形，∴A
C边上的高＝＝2，故答案为：2．【小问3详解】解：如图②，△DEF即为所求作（答案不唯一）．∵DE=，DF=，EF=，∴△DEF即
为所求作（答案不唯一）．【点睛】本题考查作图-应用与设计、勾股定理及其逆定理的应用、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活
运用所学知识解决问题．24. 在△ABC中，，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运
动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，求t的值．【答案】当△ABP为直角三角形时，t＝4或．【解析】【分析】当△ABP为直角三
角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时t的值即可．【详解】在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴BC＝4cm，由题意得：BP＝tcm．，①当∠APB为直角时，如图①，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，∴t＝4；②当∠BAP
为直角时，如图②，BP＝tcm．CP＝（t－4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，，在Rt△BAP中，，即，解得，答：当△AB
P为直角三角形时，t＝4或．【点睛】本题考查了勾股定理以及直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分类讨论，否则
会出现漏解．25. 如图,在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD的中点，连接BE并延长至点F，使得E
F=EB，连接DF交AC于点G，连接CF，（1）求证：四边形DBCF是平行四边形（2）若∠A=30°，BC=4，CF=6，求CD的
长【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分即可证明；（2）由四边形DBCF是平行四边形，可得CF∥AB，
DF∥BC，可得∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°，由直角三角形的性质得到FG,CG,GD的长，由勾股定
理即可求解.【详解】（1）∵E为CD的中点，∴CE=DE，又EF=EB∴四边形DBCF是平行四边形（2）∵四边形DBCF是平行四边
形，∴CF∥AB，DF∥BC，∴∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°，在Rt△FCG中，CF=6，∴FG=
CF=3，CG=3∵DF=BC=4，∴DG=1，∴在Rt△DCG中，CD=【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是
熟知含30°的直角三角形的性质.26. 已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC．（1）当x＝2时，△AB
C的最长边的长度是 （请直接写出答案）；（2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）；（3）我国南宋时期数学家秦
九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．若x为整数，当C△ABC取
得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．【答案】（1）3；（2）；（3）【解析】【分析】(1)x=2代入三边表达式可得答案；
（2）由根式有意义可得，可得x的取值范围，，，可得的值；(3) 由（2）可得，且，x为整数，将x的值可以从大到小依次验证，可得当当
时，可得S的值.【详解】（1）3（2）由根式有意义可得 ，即.可得，.所以=.（3）由（2）可得，且.由于x为整数，且要使取得最大
值，所以x的值可以从大到小依次验证.当时，三条边的长度分别是,但此时，不满足三角形三边关系.所以.当时，三条边的长度分别是，满足三
角形三边关系. 故此时取得最大值为7，符合题意.不妨设a=2, b=2, c=3, 得.【点睛】本题主要考查二次根式的运算及应用，
注意运算的准确性.27. 已知ABCD中，，．（1）如图1，对角线AC、BD交于点O，若，求BD的长；（2）点E是直线CD上的一个
动点，直线BE交直线AC于点H，过点A作交直线CD于点F，垂足为点M，连接FH．①如图2，当点E是边CD上一点（点E不与点C、D重
合）时，判断线段BH、AF、FH的数量关系，并证明．② 当点E在边DC的延长线上时，若，判断线段BH、AF、FH之间的数量关系，在
图3中画出图形并直接写出结论，不需证明．【答案】（1）BD＝ （2）①BH＝AF＋FH，证明见解析；②画图见解析；当时，有AF＝B
H＋FH；当45°<∠BEC<90°时，有FH＝BH＋AF；当时，点F不存在【解析】【分析】（1）先由ABCD性质求出OC=2，在
Rt△BCO中，由勾股定理求解即可；（2）①延长AF和BC交于点G，先证 △BCH≌△ACG(ASA)，得BH＝AG，HC＝CG，
再证△FCH≌△FCG(SAS)，得HF＝FG，即可得出结论BH＝AG＝AF＋FG＝AF＋FH ；②分三种情况：当时，有AF＝BH
＋FH，画出图形；当时，有FH＝BH＋AF，画出图形；当时，点F不存在；【小问1详解】解：∵ABCD，∴0C＝， ， ∵AC⊥BC
，AC＝BC，BC＝4，∴OC＝，Rt△BCO中，，∴BD＝；【小问2详解】①BH＝AF＋FH，证明：延长AF和BC交于点G，∵A
C⊥BC，AF⊥BE，∴∠HBC＋∠BHC＝∠AHM＋∠HAF＝，∵∠BHC＝∠AHM，∴∠HBC＝∠HAF，在△BCH和△ACG
中，，∴△BCH≌△ACG(ASA)，∴BH＝AG，HC＝CG， 在△FCH和△FCG中，，∴△FCH≌△FCG(SAS)，∴HF
＝FG，∴BH＝AG＝AF＋FG＝AF＋FH ，②当时，有AF＝BH＋FH，如图，理由：延长FH、BC相交于G，连接AG，设AF交
BC于N，∵，∴∠HBC+∠BHC=90°，∵，∴∠HAM+∠BHC=90°，∴∠HBC=∠HAM，即∠HBC=∠CAN，在△BC
H和△ACN中，，∴△BCH≌△ACN(ASA)，∴CH＝CN，∠BHC=∠ANC，∵，，∴∠ABC=∠BAC=45°，∵ABCD
，∴DCAB，∴∠FCB=∠ABC=45°，∠FCH=∠BAC=45°，∴∠FCB=∠FCH，在△FCN和△FCH中，在△FCN和
△FCH中，，∴△FCN≌△FCH(SAS)，∴∠CFN=∠CFH，∵∠GHC=∠CFG+∠FCH，∠ANC=∠FCN+∠CFN，
∵∠BHC=∠ANC，∴∠GHC=∠BHC，在△BCH和△GCH中，，∴△BCH≌△GCH(ASA)，∴GH=BH，BH=CH，∠
HBC=∠HGC，∴CH=AC，∠FAH=∠HGC，∴∠CAG=∠CGA，∴∠FAH+∠CAG=∠FGC+∠CHA，即∠FAG=F
GA，∴AF=GF=FH+HG，∴AF= BH+FH；当时，有FH＝BH＋AF，如图，理由：延长AM、CB相交于G，∵，∴∠G+∠
GAC=90°，∵，∴∠BHC+∠GAC=90°，∴∠G=∠BHC，在△ACG和△BCH中，，∴△ACG≌△BCH(ASA)，∴A
G=BH，CG=CH，∵，AC=BC，∴∠BAC=45°，∵ABCD，∴DCAB，∴∠ACF=∠BAC=45°，∴∠GCF=∠AC
B+∠ACF=90°+45°=135°∵∠BCH=90°，∴∠HCF=360°-∠GCF-∠BCH=360°-135°-90°=1
35°，∴∠GCF=∠HCF，在△FCG和△FCH中，，∴△FCG≌△FCH(SAS)，∴FG=FH，∴FH=AF+AG=AF+B
H当时，则CD⊥BE，因AF⊥BE，所以AFCD，即AF与CD无交点，如图，所以点F不存在．综上，当时，有AF＝BH＋FH；当时，
有FH＝BH＋AF；当∠BCE=90° 时，点F不存在．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与
性质，属三角形综合性探究题目，注意分类讨论，以免漏解．28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点A，规定点A的变换和变换．变换：将点
A向左平移一个单位长度，再向上平移两个单位长度；变换：将点A向右平移三个单位长度，再向下平移一个单位长度（1）若对点B进行变换，得到点（1，1），则对点B进行变换后得到的点的坐标为 ．（2）若对点C（m，0）进行变换得到点P，对点C（m，0）进行变换得到点Q，，求m的值．（3）点D为y轴的正半轴上的一个定点，对点D进行变换后得到点E，点F为x轴上的一个动点，对点F进行变换之后得到点G，若的最小值为2，直接写出点D的坐标 ．【答案】（1）（5，-2） （2） （3）（0，）【解析】【分析】（1）根据变换求出B的坐标，再根据变换求出对应点的坐标即可；（2）先求出P、Q的坐标，然后根据OP=OQ构建关于m的方程即可求解；（3）设D（0，y），F（x，0），则E（-1，y+2），G（x+3，-1），可得=，令（-3，y+1）， （-1，y+2），则，，推出，推出的最小值就是x轴上点F（x，0）到， 的距离之和的值最小．【小问1详解】解：由题意知：点（1，1）向右平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度即可得到B，∴B的坐标为（2，-1），∴点B进行变换后得到的点的坐标为（5，-2）；故答案为：（5，-2）；【小问2详解】解：由题意知：对点C（m，0）进行变换得到点P的坐标为（m-1，2），对点C（m，0）进行变换得到点Q（m+3，-1），∵OP=OQ，∴，即，∴；【小问3详解】解：由题意，设D（0，y），F（x，0），则E（-1，y+2），G（x+3，-1），∴，，∴=令（-3，y+1）， （-1，y+2），则，∴，∴的最小值就是x轴上点F（x，0）到， 的距离之和的值最小，如果， 在x轴的两侧，那么点F就是与x轴的交点，的最小值就是的长，此时，故此种情况不符合题意，舍去，如果， 在x轴的同侧，作关于x轴的对称点（-3，-y-1），连接交x轴于点K，此时，的值最小，∴，∴或，又点D（0，y）在y轴上，则y＞0，∴，∴D的坐标为（0，）．故答案为：（0，）．【点睛】本题考查了点的平移，轴对称，两点间距离公式，二元二次方程组等知识，解题关键是学会利用参数解决问题． 1 / 1 |
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