2022北京十三中分校初二（下）期中数 学一、选择题；（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．在实数范围内，要使代数式有意义，则的取值
范围是 A．B．C．D．2．下列曲线中不能表示是的函数的是 A．B．C．D．3．下列各式中，化简后能与合并的是 A．B．C．D．4
．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为 A．B．C．D．5．如图，矩形内有两个相邻的正方
形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为 A．B．2C．D．66．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点
为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为 A．B．C．D．27．若成立，则的取值范围为 A．B．或C．D．8．张老师出门散步时
离家的距离与时间之间的函数图象如图所示，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是 A．B．C．D．二、填空题（本大
通共8小题，每小题3分，共24分）9．若是整数．写出一个符合条件的整数的值 ．10．、两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后分别
步测出，的中点，，并测出的长为，则的长为 ．11．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点，，均在格点上，点为的中点，则线段的长为
．12．在菱形中，若，周长是16，则菱形的面积是 ．13．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1
所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为 ．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制
了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形
的面积分别为、、，如果，那么的值是 ．15．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，
那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有 （只填写序号）．16．如图，，矩形
的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．在运动过程中：（1）斜边中线的长度是否发生变化
（填“是”或“否” ；（2）点到点的最大距离是 ．三、解答题：（本大题共10小题，共68分）17．（10分）计算：（1）；（2）
；（3）；（4）．18．（10分）如图，在中，、分别是，上的点，且．求证：．19．（10分）如图，在的正方形网格中，每个小方格边长
为1，每个小格的顶点叫做格点，格点为顶点分别按下列要求两三角形．（1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在
图2中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；（3）在图3中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．20
．（10分）已知：如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与、、交于点、、，连接和．（1）求证：四边形为菱形；（2）若，，求菱形的边
长．21．（10分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．（1）求证：四边形为矩形；（2）已知，，求的长．2
2．（10分）先阅读材料，然后回答问题．（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简经过思考，小张解决这个问题的过程
如下：①②③④在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简．23．（10分）
请你设计“利用已知矩形作一个内角为的平行四边形”的尺规作图过程；（1）请利用矩形完成作图（保留作图痕迹）．并写出作法；（2）根据你
设计的的尺规作图过程，填空：① （写出一个即可）；②作出的四边形为平行四边形的依据是： ．24．（10分）我们知道，整式，分式，二
次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形
式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．（1）请根据以上信息，写出根分式中的取值范围： ；（2）已知两个根分式与
．①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；②当是一个整数时，求无理数的值．25．（10分）以下是初二数学学习
小组的同学们对特殊平行四边形性质的探究过程：（1）如图1，将直角三角板的直角顶点与正方形对角线的交点重合，直角三角板的两条直角边分
别与正方形的两边、相交于点、，学习小组的同学们发现线段与存在数量关系： ；（2）如图2，将直角三角板的直角顶点与矩形对角线的交点重
合，直角三角板的两条直角边分别与矩形的两边、相交于点、，经测量同学们发现此时与并不存在（1）中的数量关系，为了探究在这种情况下隐含
的线段数量关系，同学们商议决定采取从特殊到一般的探究方法：①将直角三角板的直角顶点与矩形的对角线交点重合，一条直角边与共线，另一条
直角边与交于点，同学们发现此时存在线段的数量关系：，请你按操作过程补全图3，并证明同学们的发现．②请你继续对图2情况进行探究，将图
2简化得到图4，猜想线段，，，之间的数量关系，并证明．26．（12分）在平面直角坐标系中，若某菱形至少有一组对边与轴或轴平行（或共
线），则称该菱形为规则菱形．若点，为某规则菱形相对的顶点，且以，为顶点的内角度数为，则称点，与该规则菱形“相关”，根据定义回答下面
的问题：（1）如图1，已知点的坐标为．①若点的坐标为，是否存在与点， “相关”的规则菱形？ （填“是”或“否” ．②已知点．若存在
与点， “相关”的规则菱形，则点的坐标为 ．（2）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，已知点，点在矩形的边上，若存在与点， “相
关”的规则菱形，直接写出的取值范围．参考答案一、选择题；（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．【分析】直接利用二次根式有意义
的条件分析得出答案．【解答】解：要使代数式有意义，则，解得：，故选：．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义
是解题关键．2．【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．【解答】解
：的图象存在一个对应两个的情况，不是的函数；的图象符合一个有唯一的对应；的图象是一次函数；的图象符合一个有唯一的对应．故选：．【点
评】此题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，
叫自变量．3．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：、，化简后不能与合并，不符
合题意；、，化简后不能与合并，不符合题意；、，化简后能与合并，符合题意；、，化简后不能与合并，不符合题意；故选：．【点评】本题考查
的是同类二次根式、最简二次根式，把各个二次根式正确化为最简二次根式是解题的关键．4．【分析】根据点的坐标是，可得的长，再根据菱形的
四条边都相等即可得点的坐标．【解答】解：点的坐标是，，四边形为菱形，，则点的坐标为．故选：．【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图
形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．5．【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，大
正方形的边长为，小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为：，故选：．【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正
方形的边长，利用数形结合的思想解答．6．【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得的长，从而可以求得的长，进而可以得到点表示的数．【解
答】解：由题意可得，，，，，．点表示数为．故选：．【点评】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．7．【分析】根据二
次根式的乘除法，二次根式有意义的条件进行分析即可．【解答】解：若成立，则，，解得：，故选：．【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，
二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的知识的掌握．8．【分析】根据题意和函数图象可以分析出张老师散步情况，从而可以解答本题．【
解答】解：由图象可知，张老师从家出发刚开始离家的距离在变大，然后较长一段时间离家的距离不变，然后回家，故选项、、不符合题意，选项符
合题意，故选：．【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大通共8小题，每小题3分
，共24分）9．【分析】利用算术平方根的定义得出符合题意的答案．【解答】解：当时，，若是整数，则整数的值是：5（答案不唯一）．故答
案为：5（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．10．【分析】根据三角形中位线定理
解答即可．【解答】解：点，分别为，的中点，，，故答案为：40．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一
半是解题的关键．11．【分析】利用勾股定理的逆定理证明，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．【解答】解：，，，，，，，故答
案为．【点评】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．【分析】根据菱形的性质以及锐角三角函数关系得出的长，即可得出菱形的面积．【解答】解；如图所示：过点作于点，在菱形中，周长是1
6，，，，菱形的面积．故答案为．【点评】此题主要考查了菱形的面积以及其性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题
．13．【分析】如图1，图2中，连接．在图1中，证是等边三角形，得出．在图2中，由勾股定理求出即可．【解答】解：如图1，图2中，连
接．图1中，四边形是菱形，，，是等边三角形，，在图2中，四边形是正方形，，，是等腰直角三角形，；故答案为：．【点评】本题考查菱形的
性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．14．【分析】先设出四个直角三角形的
面积之和为，然后根据，可以得到，即可求得的值．【解答】解：设四个直角三角形的面积之和为，，，解得，故答案为：36．【点评】本题考查
勾股定理的证明、数学常识、正方形的面积，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．15．【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法
进行解答．【解答】解：①，，四边形是平行四边形；故①正确；②若，则平行四边形是矩形；故②正确；③若平分，则；所以平行四边形是菱形；
故③正确；④若，；根据等腰三角形三线合一的性质知：平分；由③知：此时平行四边形是菱形；故④正确；所以正确的结论是①②③④．【点评】
此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；一组邻边相
等的平行四边形是菱形．16．【分析】（1）直接运用直角三角形斜边中线定理即可证明；（2）当、、三点共线时，此时，取得最大值，则有，
由勾股定理求出即可得长度．【解答】解：（1）如图，设斜边中点为，在运动过程中，斜边中线长度不变，故不变，故答案为：否；（2）在矩形
的运动过程当中，有，当、、三点共线时，则有，此时，取得最大值，如图所示，为中点，，又，，．故答案为：．【点评】本题考查了斜边中线定
理，三角形三边关系，勾股定理，矩形的性质，找出最大时、、三点的位置是解题关键．三、解答题：（本大题共10小题，共68分）17．【分
析】（1）化简二次根式，然后合并同类二次根式进行化简；（2）先算乘法，然后再算加法；（3）先算乘法，然后再算加减；（4）利用完全平
方公式先计算乘方，化简二次根式，然后再算加减．【解答】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【点评】本题考查二次根式
的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．18．【分析】要证，只需证四边形是平行四边形，而很快证出，
，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出．【解答】证明：在平行四边形中，，，，，．四边形是平行四边形．．【点评】本题考
查了平行四边形的判定．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．19
．【分析】（1）画一个勾3股4弦5的直角三角形即可；（2）画一个斜边为4的等腰直角三角形即可；（3）根据要求作出图形即可．【解答】
解：（1）在图1中，即为所求；（2）在图2中，即为所求；（3）在图3中，即为所求．【点评】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知
识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．20．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出，，根据全等三角
形的判定推出，根据全等三角形的性质得出，求出，根据菱形的判定得出即可；（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】（1）
证明：对角线的垂直平分线分别与、、交于点、、，，，，四边形是矩形，，，在和中，，，，，，四边形为菱形；（2）解：设，则，四边形是矩
形，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即，菱形的边长是2．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和
判定，矩形的性质，勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．21．【分析】（1）由菱形中，且，易证得四边形是平行四
边形，于是得到结论；（2）根据矩形的性质和勾股定理得出的长度即可．【解答】（1）证明：四边形是菱形，，，且，，四边形、四边形都是平
行四边形，，四边形是矩形；（2）解：四边形为矩形，，，，，，，在中，，，，四边形是平行四边形，．【点评】本题考查了菱形的性质，矩形
的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形是平行四边形，四边形是矩形是关键．22．【分析】（1）根据算术平方根的性质即可进行判断
；（2）把被开方数化成完全平方的形式，然后利用二次根式的性质即可化简求解．【解答】解：（1）在化简过程中④步出现了错误，化简的正确
结果是．故答案是：④，；（2）原式．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确把被开方数化成完全平方的形式是本题的关键．23．【分
析】（1）作的角平分线交于点，作的角平分线交的延长线于点，四边形即为所求；（2）写一个角即可；（3）根据两组对边分别平行的四边形是
平行四边形．【解答】解：（1）如图，四边形即为所求；（2）（答案不唯一），故答案为：；（3），，，四边形是平行四边形（两组对边分别
平行的四边形是平行四边形）．故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．【点评】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，
矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．【分析】（1）根据平方根的被开方数不能为负数、分母不能为0
，代数式才有意义即可得答案；（2）①根据已知列出方程，解方程即得答案；②计算，变形为，是一个整数，则的值为1或2，解出方程取无理数
且即可．【解答】解：（1）由且可得：且，故答案为：且；（2）①不存在，理由如下：由得，解得，经检验，是原方程的增根，原方程无解，不
存在；②，是一个整数，是整数，或，解得或或，为无理数，且，．【点评】本题考查根分式有意义的条件，无理方程及根分式的值，解题的关键是
掌握无理方程需检验，是整数，则或．25．【分析】（1）利用正方形的性质得到，，再结合直角三角板的直角顶点与正方形对角线的交点重合，
得到，进而可得以，再由全等三角形的性质求解；（2）①先补全图形，连接，再利用矩形的性质得到，根据勾股定理即可求解；②，延长交于，连
接、，先证明得到，，再利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）四边形是正方形，对角线的交点，，，直角三角板的直角顶点与正方形对角线
的交点重合，，，，．故答案为：；（2）①补全图形如下：证明：连接，如下图．四边形是矩形，．，是的垂直平分线，将直角三角板的直角顶点
与矩形的对角线交点重合，一条直角边与共线，．；②，证明：延长交于，连接、．四边形是矩形，，．，，，，，．，．．，，，．【点评】本题
是四边形综合题，考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，在解题过程中作出图形，综合应用勾股定理、矩形、正方形的
特殊性质及三角形全等的判定等知识是解题的关键．26．【分析】（1）①根据规则菱形定义直接判定即可；②分两种情况，作出图形，利用对称性即可得出结论；（2）根据规则菱形定义，选取在和在时，取到最值，作出图形分析，利用勾股定理求解即可．【解答】（1）解：①根据规则菱形定义，连接，以其对角线构造至少有一组对边与轴或轴平行（或共线）的平行四边形，如图所示：，，，，，则不存在与点， “相关”的规则菱形；故答案为：否；②如图所示，分两种情况，当在轴上方时，满足条件的与点， “相关”的规则菱形为正方形，则，，，即点的坐标为；根据对称性，当在轴下方时，满足条件的与点， “相关”的规则菱形为正方形，点的坐标为；故答案为：或；（2）解：过作轴的平行线，如图所示：当在时，若存在与点， “相关”的规则菱形，则对角线为，其与轴成角，过作轴，此时得到的是的最大值，在中，，，，则，则的最大值为，同理可得，当在时，则的最大值为，的取值范围是．【点评】本题是四边形综合问题，关键是根据菱形的定义和勾股定理解答． 1 / 1 |
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