第九章：多元函数微分学
1） 表达式： ① 22() xyyf
xy??
，则 ( ) _______fx? ；
② 22( , )f x y x y x y? ? ?，则 ( ) _______f x y ?, .
2） 极限 ：
00
11lim
xy
xyxy
??
??.
3） 偏导数 与全微分： ① 若 2 2 2 3( , , ) 2 3f x y z x y y z zx? ? ?，则 (0,0,1)xxf =______，
(1,1,2)xzf =______；
② 22ln(1 )z x y? ? ? ，则
(1,2)dz
=______；
③ sin 2 yzyu x xe? ? ? ， 求 du ；
④ 设 2 2 2z u v , u x y x y , v x y? ? ? ?，求 ,zzdz
xy????，
；
⑤ 设 2( , )yz f x y x?? ，且 f 具有二阶连续偏导数，求 22
2, , ,z z z z dzx y x x y? ? ? ?? ? ? ? ?，
；
⑥ 2234x y z z? ? ? ， 求 2
2,,z z z dzx y x? ? ?? ? ?，
.
4） 微分法在几何上的应用 ： ① 求曲线 si n , 1 c o s 4 si n 2tx t t y t z? ? ? ? ?，在点 2t ??
处的切线和法平面方程 ；
② 求曲线 2 lnxy e z x??， 在点 2(1, ,0)e 处的切线和法平面方程 ；
③ 求曲线 2 2 2 6
0x y zx y z? ? ? ?? ? ? ??
在点 (1, 2,1)? 处的切线和法平面方程 ；
④ 求 曲面 2 2 22 3 21x y z? ? ?在点 (1,2, 2)? 处的切平面 和法线 方程 ；
⑤ 求曲面 221z x y? ? ? 在点 (2,1,4) 处的切平面 和法线 方程 .
5） 方向导数 ：① 函数 22z x y??在点 (1,2) 处从点 (1,2) 到点 (2,2 3)? 的方向导数 ；
②求 函数 2 2 2u xy yz zx? ? ? 在点 (1,2, 1)P ? 处沿着点 P 到
(2,4,1)Q 方向的方向导数 .
6） 极值与 条件极值 ： ① 求 226( )z x y x y? ? ? ?的极值 ；
② 要建一个表面积为 2192m 的长方体敞口水池，问：水池的尺寸如何设计，
才能使得水池容量最大？
③ 要建一个 无盖 的长方体， 其体积为 2 立方米，底面每平方米造价为 1 元，
侧面每平方米造价为 2 元，为使其造价最低，其长、宽、高各应为多少米？
第十章： 重积分
1）交换积分次序： ① 224
20 ( , )xd x f x y d y????
；
② ln
10 ( , )eydy f x y dx??
；
2） 转化成极坐标系下的二次积分：① 224 22
20 ()
xd x f x y d y?
? ???
；
② 222 22
00 ()
xxd x f x y d y? ??? ；
③ 222
00 ( , )
yyd y f x y d x??? .
3） 计算积分： ① 4
D xydxdy??
， : , 2 , 2D y x y x y? ? ?所围成的区域 ；
② 211
0 yxdx e dy???
；
③ xy
D
ed??? ， :D y x? 和 yx? 所围成的区域 ；
④ 2zdv
????
，其中 22: z x y? ? ? 和 4z? 所围立体 区域 ；
⑤ 22()x y dv
? ????
其中 22: z x y? ? ? 和 1z? 所围立体 区域 .
第十一章： 曲线 曲面 积分
1）计算 曲线积分 ： ① 22( 2 )
L x y y d s? ? ???
， L 是 2 2 2x y R??；
② 22(3 4 )
L x y x y ds? ? ???
， L 是 22143xy??；
③
L yds?
， L 是 2yx? 上从 点 (0,0) 到 11( , )24 的 一段弧 ；
④ ? ?22
L x y dx??
， 其中 L ： 11yx? ? ? 从 (0,0) 到 (2,0) 的 折线段 ；
⑤
2(2 ) ( )
L x y y d x x x d y? ? ???
= ,其中 L ： 圆周 2 2 2x y R??的逆时针方向 ；
⑥ 确定 ? 的值，使曲线积分 ? ?3 3 1 2 44 ( 6 5 )
AB x x y d x x y y d y? ?? ? ??
与路径无关，
并求 ,AB分别为 (0,0),(4,1) 的积分值 .
2）计算曲面积分： ① ? ： 2 2 2 2x y z R? ? ? ，则
2 2 2 =____ ____ ____x y z d S
? ?????
；
② ??
? ?? dSzyx )(
， ? 为平面 4x y z? ? ? 在第一卦限的部分 ；
③ dS
???
， ? 为曲面 221 ( )z x y? ? ? 在 xoy 面上方部分 ；
④ x d y d z y d z d x z d x d y
? ?????
，其中 ? ： 2 2 2 2x y z? ? ? 及 22z x y??所围
曲面的外侧；
⑤ ( 1)x d y d z y d z d x z d x d y
? ? ? ???
，其中 ? 为曲面 22z x y??介于 0z? 和 1z?
之间部分的 上侧 ；
⑥
2 2 2( ) ( ) ( )y x d y d z z y d z d x x z d x d y
? ? ? ? ? ???
，其中 ? 为曲面 22z x y??介于
0z? 和 1z? 之间部分的 上侧 .
第七章： 微分方程：
1） 23( 1) =0dyyxdx??
；
2）
3( 2 ) 2 ( 2 )dyx y xdx? ? ? ?
；
3） 005 4 0 , 5 , 8xxy y y y y???? ? ?? ? ? ? ?；
4） 5 6 2 xy y y e?? ?? ? ?；
5）写出下列通解所对应的二阶常系数齐次线性微分方程 .
① 12()xy C C x e?? ；② 2 12( c os 3 si n 3 )xy e C x C x??； ③ 212xxy C e C e??? .
|
|
