2018北京初三一模数学汇编二次函数一、单选题1．（2018·北京东城·一模）当函数y=（x-1）2-2的函数值y随着x的增大而减小时，x的
取值范围是（ ）A．B．C．D．x为任意实数二、解答题2．（2018·北京西城·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交
于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣），顶点为P．（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的
面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F
为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．3．（2018·北京顺义·一模）已知二次函数
y=a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），且过点A（﹣2，﹣）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点B（2，﹣2）在这个函数图
象上吗？（3）你能通过左，右平移函数图象，使它过点B吗？若能，请写出平移方案．4．（2018·北京东城·一模）在平面直角坐标系 x
Oy 中，抛物线 y=ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）与 x轴交于 A，B 两（点 A 在点 B 左侧）．（1）当抛物线过原点时
，求实数 a 的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含 a 的代数式表示）；（3）当 AB≤4 时，求实数
a 的取值范围．5．（2018·北京门头沟·一模）在正方形ABCD中，AB＝4cm，AC为对角线，AC上有一动点P，M是AB边的中
点，连接PM、PB，设A、P两点间的距离为xcm，PM＋PB长度为ycm.小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的
规律进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：x/cm012345y/
cm6.04.84.56.07.4（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为
坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：PM＋PB的长度最小值约为______cm.6．（2018·北京丰
台·一模）已知抛物线经过点，求该抛物线的函数表达式；将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
7．（2018·北京丰台·一模）问题情境：课堂上，同学们研究几何变量之间的函数关系问题：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于
点O，AC=4，BD=2．点P是AC上的一个动点，过点P作MN⊥AC，垂足为点P（点M在边AD、DC上，点N在边AB、BC上）．设
AP的长为x（0≤x≤4），△AMN的面积为y．建立模型：（1）y与x的函数关系式为：，解决问题：（2）为进一步研究y随x变化的规
律，小明想画出此函数的图象．请你补充列表，并在如图的坐标系中画出此函数的图象：x01234y0 0（3）观察所画的图象，写出该
函数的两条性质： ．8．（2018·北京海淀·一模）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的
对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．9．（2018·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线（m≠0）向右
平移个单位长度后得到抛物线G2，点A是抛物线G2的顶点．（1）直接写出点A的坐标；（2）过点（0，）且平行于x轴的直线l与抛物线G
2交于B，C两点．①当∠BAC＝90°时．求抛物线G2的表达式；②若60°＜∠BAC＜120°，直接写出m的取值范围．10．（20
18·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数y＝mx2＋4mx＋4m＋1的图象的顶点，一次函数y＝x＋4的图象与
x轴、y轴分别交于点A、B．（1）请你求出点A、B、C的坐标；（2）若二次函数y＝mx2＋4mx＋4m＋1与线段AB恰有一个公共点
，求m的取值范围．11．（2018·北京房山·一模）已知是的函数，自变量的取值范围是的全体实数，如表是与的几组对应值．小华根据学习
函数的经验，利用上述表格所反映出的与之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）从表格
中读出，当自变量是﹣2时，函数值是 ；（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数
的图象；（3）在画出的函数图象上标出时所对应的点，并写出 ．（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ．参考答案1．B【详解】
分析：利用二次函数的增减性求解即可，画出图形，可直接看出答案．详解：对称轴是：x=1，且开口向上，如图所示，?∴当x＜1时，函数值
y随着x的增大而减小；?故选B．点睛：本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．2．（1）y=x2+x﹣（2）
存在，（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）（3）点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为 8【分
析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（﹣3，0），（1，0），（0，）代入求出a、b、c的值即可；（2）根据抛物线解
析式可知顶点P的坐标，由两个三角形的底相同可得要使两个三角形面积相等则高相等，根据P点坐标可知E点纵坐标，代入解析式求出x的值即可
；（3）分别讨论AB为边、AB为对角线两种情况求出F点坐标并求出面积即可；【详解】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将（
﹣3，0），（1，0），（0，）代入抛物线解析式得，解得：a=，b=1，c=﹣∴抛物线解析式：y=x2+x﹣（2）存在．∵y=x2
+x﹣=（x+1）2﹣2∴P点坐标为（﹣1，﹣2）∵△ABP的面积等于△ABE的面积，∴点E到AB的距离等于2，设E（a，2），∴
a2+a﹣=2解得a1=﹣1﹣2，a2=﹣1+2∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）（3）∵点A（﹣3，0）
，点B（1，0），∴AB=4若AB为边，且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB∥PF，AB=PF=4∵点P坐标（﹣1，
﹣2）∴点F坐标为（3，﹣2），（﹣5，﹣2）∴平行四边形的面积=4×2=8若AB为对角线，以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四
边形∴AB与PF互相平分设点F（x，y）且点A（﹣3，0），点B（1，0），点P（﹣1，﹣2）∴ ，∴x=﹣1，y=2∴点F（﹣1
，2）∴平行四边形的面积=×4×4=8综上所述：点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为8．【
点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的几何应用，分类讨论并熟练掌握数形结合的数学思想方法是解题关键.3．（1）y=﹣
（x+1）2；（2）点B（2，﹣2）不在这个函数的图象上；（3）抛物线向右平移1个单位或平移5个单位函数，即可过点B；【分析】（1
）根据待定系数法即可得出二次函数的解析式；（2）代入B（2，-2）即可判断；（3）根据题意设平移后的解析式为y=-（x+1+m）2
，代入B的坐标，求得m的植即可．【详解】解：（1）∵二次函数y=a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），∴m=1，∴二次函数y=a
（x+1）2，把点A（﹣2，﹣）代入得a=﹣，则抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2．（2）把x=2代入y=﹣（x+1）2得y=﹣
≠﹣2，所以，点B（2，﹣2）不在这个函数的图象上；（3）根据题意设平移后的解析式为y=﹣（x+1+m）2，把B（2，﹣2）代入得
﹣2=﹣（2+1+m）2，解得m=﹣1或﹣5，所以抛物线向右平移1个单位或平移5个单位函数，即可过点B．【点睛】本题考查了待定系数
法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及图象与几何变换．4．（1）a=；（2）①x=2；②抛物线的顶点
的纵坐标为﹣a﹣2；（3）a 的范围为 a＜﹣2 或 a≥．【分析】（1）把原点坐标代入 y=ax2﹣4ax+3a﹣2即可求得a的
值；（2）①②把抛物线解析式配成顶点式，即可得到抛物线的对称轴和抛物线的顶点的纵坐标；（3）设 A（m，0），B（n，0），利用抛
物线与 x 轴的交点问题，则 m、n 为方程 ax2﹣4ax+3a﹣2=0 的两根，利用判别式的意义解得 a＞0 或 a＜﹣2，再
利用根与系数的关系得到 m+n=4，mn= ，然后根据完全平方公式利用 n﹣m≤4 得到（m+n）2﹣4mn≤16，所以 42﹣4
?≤16，接着解关于a 的不等式，最后确定a的范围．【详解】（1）把（0，0）代入 y=ax2﹣4ax+3a﹣2 得 3a﹣2=0
，解得 a=；（2）①y=a（x﹣2）2﹣a﹣2， 抛物线的对称轴为直线 x=2；②抛物线的顶点的纵坐标为﹣a﹣2；（3）设 A（
m，0），B（n，0），∵m、n 为方程 ax2﹣4ax+3a﹣2=0 的两根，∴△=16a2﹣4a（3a﹣2）＞0，解得 a＞0
或 a＜﹣2，∴m+n=4，mn=， 而 n﹣m≤4，∴（n﹣m）2≤16，即（m+n）2﹣4mn≤16，∴42﹣4? ≤16，
即≥0，解得 a≥或 a＜0．∴a 的范围为 a＜﹣2 或 a≥．【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax
2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．5．（
1）5.0；（2）见解析；（3）x＝2时，函数有最小值y＝4.5【分析】（1）通过作辅助线，应用三角函数可求得HM+HN的值即为x
=2时，y的值；（2）可在网格图中直接画出函数图象；（3）由函数图象可知函数的最小值．【详解】（1）当点P运动到点H时，AH=3，
作HN⊥AB于点N．∵在正方形ABCD中，AB=4cm，AC为对角线，AC上有一动点P，M是AB边的中点，∴∠HAN=45°，∴A
N=HN=AH?sin45°=3，∴HM，HB，∴HM+HN==≈≈2.125+2.834≈5.0．故答案为5.0；（2）（3）根
据函数图象可知，当x=2时，函数有最小值y=4.5．故答案为4.5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找
出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．6．抛物线解析式为；具体见解析.【详解】【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b
与c的值即可；指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．【详解】把，代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为；抛物线
解析式为，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函
数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．7．(1) ①y=;②;(2)见解析；（
3）见解析【分析】（1）根据线段相似的关系得出函数关系式（2）代入①中函数表达式即可填表（3）画图像，分析即可.【详解】（1）设A
P=x①当0≤x≤2时∵MN∥BD∴△APM∽△AOD∴∴MP=∵AC垂直平分MN∴PN=PM=x∴MN=x∴y=AP?MN=②当
2＜x≤4时，P在线段OC上，∴CP=4﹣x∴△CPM∽△COD∴∴PM=∴MN=2PM=4﹣x∴y==﹣∴y=（2）由（1）当x
=1时，y=当x=2时，y=2当x=3时，y=（3）根据（1）画出函数图象示意图可知1、当0≤x≤2时，y随x的增大而增大2、当2
＜x≤4时，y随x的增大而减小【点睛】本题考查函数，解题的关键是数形结合思想.8．（1）x=-1；（2）﹣6≤y≤3；【分析】（1
）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得．【详解】（1）把点（1，﹣2）代入y=x2﹣2mx+5m中
，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=，（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+
1）2﹣6，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．9．（1）（，2）；（2）
①y＝（x－）2＋2；②【分析】(1)先求出平移后是抛物线G2的函数解析式，即可求得点A的坐标；(2)①由(1)可知G2的表达式，
首先求出AD的值，利用等腰直角的性质得出BD=AD=，从而求出点B的坐标，代入即可得解；②分别求出当∠BAC=60°时，当∠BAC
=120°时m的值，即可得出m的取值范围．【详解】（1）∵将抛物线G1：y＝mx2＋2（m≠0）向右平移个单位长度后得到抛物线G2
，∴抛物线G2：y＝m（x－）2＋2，∵点A是抛物线G2的顶点.∴点A的坐标为（，2）．（2）①设抛物线对称轴与直线l交于点D，如
图1所示．∵点A是抛物线顶点，∴AB＝AC．∵∠BAC＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴CD＝AD＝，∴点C的坐标为（2，）
．∵点C在抛物线G2上，∴＝m（2－）2＋2，解得：．②依照题意画出图形，如图2所示．同理：当∠BAC＝60°时，点C的坐标为（＋
1，）；当∠BAC＝120°时，点C的坐标为（＋3，）．∵60°＜∠BAC＜120°，∴点（＋1，）在抛物线G2下方，点（＋3，）
在抛物线G2上方，∴，解得：．【点睛】此题考查平移中的坐标变换，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定
和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握坐标系中交点坐标的计算方法是解本题的关键，利用参数顶点坐标和交点坐标是解本题的难点.10．
（1）A（－4，0）和B（0，4）；（2）或【分析】（1）抛物线解析式配方后，确定出顶点C坐标，对于一次函数解析式，分别令x与y为
0求出对应y与x的值，确定出A与B坐标；（2）分m＞0与m＜0两种情况求出m的范围即可．【详解】解：（1）y＝mx2＋4mx＋4m
＋1＝m（x＋2）2＋1，∴抛物线顶点坐标为C（－2，1），对于y＝x＋4，令x＝0，得到y＝4；y＝0，得到x＝－4，直线y＝x
＋4与x轴、y轴交点坐标分别为A（－4，0）和B（0，4）；（2）把x＝－4代入抛物线解析式得：y＝4m＋1，①当m＞0时，y＝4
m＋1＞0，说明抛物线的对称轴左侧总与线段AB有交点，∴只需要抛物线右侧与线段AB无交点即可，如图1所示，只需要当x＝0时，抛物线
的函数值y＝4m＋1＜4，即，则当时，抛物线与线段AB只有一个交点；②当m＜0时，如图2所示，只需y＝4m＋1≥0即可，解得：，综
上，当或时，抛物线与线段AB只有一个交点．【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．11．（1）；（2）见解析；（3）；（4）当时，随的增大而减小．【分析】（1）根据表中，的对应值即可得到结论；（2）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可；（3）在所画的函数图象上找出自变量为7所对应的函数值即可；（4）利用函数图象的图象求解．【详解】解：（1）当自变量是﹣2时，函数值是；故答案为.（2）该函数的图象如图所示；（3）当时所对应的点 如图所示，且；故答案为；（4）函数的性质：当时，随的增大而减小．故答案为当时，随的增大而减小．【点睛】本题考查了函数值，函数的定义：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应． 1 / 1 |
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