2018北京房山初三（上）期末数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 已知点（－1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值
是（ ）A. 1B. 2C. D. － 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA值为( )A. B. C
. D. 13. 如图，在△ABC中，M,N分别为AC,BC中点，若S△CMN=1,则S△ABC为（ ）A. 2B. 3C. 4D
. 54. 如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）A. 2mB. （2+ 2）mC. 4 mD.
（4+ 2）m5. 如图，点P在反比例函数y=(k≠0)的图象上，PD⊥x轴于点D,△PDO的面积为2，则k的值为（ ）A. －1
B. －2C. －4D. －66. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长（ ）A. B. 2C. D
. 67. 如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（ ）A 50°B. 45°C. 30°D. 25
°8. 小明以二次函数y=2x2－4x+8的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=
3，则杯子的高CE为( )A. 14B. 11C. 6D. 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 请写出一个开口向上，
并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______.10. 如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果C
E=2，那么AB的长是____11. 如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙
河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B,C,D．使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并且点A,E,D在
同一条直线上，若测得BE=2m,EC=1m,CD=3m,则河的宽度AB等于_____m.12. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分
别为，，则关于的方程的解为______．13. 如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半
径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为_____．14. 如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，
则∠ABC的正弦值为____．15. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为，，则此二次函
数图象的对称轴为______.16. 下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：⊙O.求作：圆的内接正方形.如图，（1）过圆
心O作直线AC,与⊙O相交于A,C两点；（2）过点O作直线BD⊥AC,交⊙O于B,D两点；（3）连接AB,BC,CD,DA．∴四边
形ABCD为所求．请回答：该尺规作图的依据是____________________________．（写出两条）三、解答题（本题
共68分，第17—25题，每小题5分，第26题7分，第27题8分，第28题8分）17. 计算：tan30°－cos60°+sin4
5°．18. 下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x,y的对应值：x…－1－0123…y…2－1－－2－－12…（1）此二次函
数图象的顶点坐标是 ；（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是 ．19. 如图，在四边形A
BCD中，AD∥BC，∠A＝∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB＝12，AD＝8，CD＝15，求DB的长．20.
如图,是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象.(1)结合图象信息,求此二次函数的表达式;(2)当y＞0时，直接写出x的取值范围
： ．21. 如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长．22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝
8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.(1)求线段CD的长；(2)求cos ∠ABE的值．23. 反比例函数y=(
k≠0)与一次函数y=－x+5的一个交点是A(1,n).(1)求反比例函数y=(k≠0)的表达式；(2)当一次函数的函数值大于反比
例函数的函数值时，直接写出自变量x的取值范围为 ．24. 中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名
片”．修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥．如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算MN两点之
间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米
，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．25. 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(－2,0).(1)填空：c=
(用含b的式子表示)．(2)若b＜4①求证：抛物线与x轴有两个交点；②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（
横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围为 ；(3)直线y=x－4经过抛物线y=x2+bx+c顶点P，求抛物线的表达式．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；（2）求证：B
C为⊙O的切线；（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．27. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，C
D⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，
求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．28. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标
y与其横坐标x的差y－x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”(1)①点A(1,3)
的“坐标差”为 ．②抛物线y=－x2+3x+3的“特征值”为 ．(2)某二次函数y=－x2+bx+c(c≠0) 的“特征值”为1，
点B(m,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m= (用含c的式子表示)②
求此二次函数的表达式．(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，以M(2,3)为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E请直接写出
⊙M的“特征值”为 ．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 已知点（－1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的
值是（ ）A. 1B. 2C. D. － 【答案】B【解析】【详解】∵点（-1，2）在二次函数的图象上，∴，解得：.故选B.2.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA的值为( )A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】根据正
弦的定义列式计算即可．【详解】∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA=，故选A．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三
角形中，锐角的正弦为对边比斜边．3. 如图，在△ABC中，M,N分别为AC,BC的中点，若S△CMN=1,则S△ABC为（ ）A.
2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【详解】∵点M、N分别是△ABC的边AC、BC的中点，∴MN∥AB，MN=AB，∴△
CMN∽△CAB，且相似比，∴，又∵S△CMN=1，∴S△ABC=4.故选C.4. 如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，
地毯的长度至少需要（ ）A. 2mB. （2+ 2）mC. 4 mD. （4+ 2）m【答案】B【解析】【详解】如图，由平移的性质
可知，楼梯表面所铺地毯的长度为：AC+BC，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2m，∴AB=2BC=4m，
∴AC=，∴AC+BC=（m）.故选B.点睛：本题的解题的要点是：每阶楼梯的水平面向下平移后刚好与AC重合，每阶楼梯的竖直面向右平
移后刚好可以与BC重合，由此可得楼梯表面所铺地毯的总长度为AC+BC.5. 如图，点P在反比例函数y=(k≠0)的图象上，PD⊥x
轴于点D,△PDO的面积为2，则k的值为（ ）A. －1B. －2C. －4D. －6【答案】C【解析】【详解】如图，∵点P在反比
例函数y=(k≠0)的图象上，PD⊥x轴于点D，△PDO的面积为2，∴，又∵反比例函数y=(k≠0)的图象在第二、四象限，∴，∴，
解得：.故选C.点睛：过反比例函数的图象上一点向x轴（或y轴）作垂线段，并连接这点和原点，所围成的直角三角形的面积=.6. 如图，
在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为（ ）A. B. 2C. D. 6【答案】A【解析】【详解】解：∵A
D=2，BD=3，∴AB=AD+BD=5，∵在△ABC和△ACD中，∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴，即AC2
=AB·AD，∴AC2=5×2=10，∴AC=．故选A．7. 如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是
（ ）A. 50°B. 45°C. 30°D. 25°【答案】D【解析】【详解】∵在⊙O中，，∴∠ADC=∠AOB，∵∠AOB=5
0°，∴∠ADC=25°.故选D.8. 小明以二次函数y=2x2－4x+8的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为
杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为( )A. 14B. 11C. 6D. 3【答案】B【解析】【详解】∵，∴
在坐标系中，该二次函数图象的顶点D的坐标为（1，6），设此时点A、B的坐标分别为，则由题意可知，AB=，而是关于x的一元二次方程的
解，∴，∴，又∵AB==4，∴，解得：，∴点A、B的纵坐标为14，∴DC=14-6=8，又∵DE=3，∴CE=DC+DE=11.故
选B.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______.【
答案】y＝x2＋1．【解析】【详解】此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1
等．10. 如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是____【答案】8【解析】【分析
】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求
AB．【详解】解：如图，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE=BE=AB，∵OC=5，CE=2，∴OE=3，在Rt△AOE中，AE=
，∴AB=2AE=8．故答案为：8．11. 如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估
算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B,C,D．使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并且点A,E
,D在同一条直线上，若测得BE=2m,EC=1m,CD=3m,则河的宽度AB等于_____m.【答案】6【解析】【详解】如图2，∵
AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE=∠DCE=90°，又∵∠AEB=∠DEC，∴△ABE∽△DCE，∴，即：，解得：AB=6（m）
.故答案为6.12. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为______．【答案】，【解析】【分析】根据二次
函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2-bx-c=0的解．【详解】解：∵抛物线与直线的两个
交点坐标分别为，，∴方程组的解为，，即关于的方程的解为，．故答案为x1=-2，x2=1．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是，对称轴直线x=-．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．13. 如图，“吃豆小
人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为_____．【答案
】5π【解析】【详解】∵∠1=60°，∴图中扇形的圆心角为300°，又∵扇形的半径为：，∴S阴影=.故答案为.14. 如图，每个小
正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为____．【答案】．【解析】【详解】解：如图，连接AC，
由题意可得：AB2=12+32=10，BC2=22+12=5，AC2=12+22=5，∴BC2+AC2=AB2，AB=，AC=，∴
∠ACB=90°，∴sin∠ABC=故答案为：．15. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标分
别为，，则此二次函数图象的对称轴为______.【答案】直线x=-2【解析】【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的
图象与x轴的两个交点的横坐标分别为，，∴该二次函数图象的对称轴为：直线x=(+)÷2=-2.故答案为：直线.【点睛】本题考察了二次
函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其对称轴是直线：；若抛物线与x轴的两个交点是A(x
1，0)，B(x2，0)，则抛物线的对称轴是：．16. 下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：⊙O.求作：圆的内接正方形
.如图，（1）过圆心O作直线AC,与⊙O相交于A,C两点；（2）过点O作直线BD⊥AC,交⊙O于B,D两点；（3）连接AB,BC,
CD,DA．∴四边形ABCD为所求．请回答：该尺规作图的依据是____________________________．（写出两条
）【答案】线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；两点确定一条直线;同圆中，等弧对等弦；直径所对的圆周角是直角；有一个角是直角的菱
形是正方形；对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；…（答案不唯一）【解析】【详解】该题答案不唯
一，可从下列依据中任选两条即可，线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；两点确定一条直线;同圆中，等弧对等弦；直径所对的圆周角是直
角；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；….故答案不唯一，从上
述依据中任选两条即可.三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题5分，第26题7分，第27题8分，第28题8分）17. 计算
：tan30°－cos60°+sin45°．【答案】【解析】【详解】试题分析：代入对应的特殊角的三角函数值，再按二次根式的相关运算
法则计算即可.试题解析：原式==.18. 下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x,y的对应值：x…－1－0123…y…2－1－
－2－－12…（1）此二次函数图象的顶点坐标是 ；（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是
．【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）观察、分析表格中的数据可知，当x=0和x=2时，y的值都是-1，由此可确
定该二次函数的图象关于直线x=1对称，而当x=1时，y=-2，由此可得抛物线的顶点坐标为（1，-2）；（2）由抛物线的顶点（1，-
2）在直线y=x+n的下方可得，在y=x+n中，当x=1时，y>-2，由此可得：1+n>-2，解此不等式即可得到n的取值范围.试题
解析：（1）观察、分析表格中的数据可知，当x=0和x=2时，y的值都是-1，∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线：x=1，
∵当x=1时，y=-2，∴二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-2）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点（1，-2
）在直线y=x+n的下方，∴在y=x+n中，当x=1时，y>-2，由此可得：1+n>-2，解得n>-3，∴n的取值范围为：n>-3
.点睛：（1）若抛物线上由两点坐标为（即两点的横坐标不等，而纵坐标相等），则该抛物线的对称轴为：；（2）点P在直线的下方的意思是：
在中，当时，.19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB＝12，A
D＝8，CD＝15，求DB的长．【答案】（1）证明见解析；（2）10.【解析】【详解】试题分析：（1）由AD//BC可得∠ADB=
∠DBC，又因为∠A=∠BDC，所以可以证明△ABD∽△DCB；（2）由（1）得：，将已知线段长度代入即可求出BD.试题解析：解：
（1）∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC， 又∵∠A=∠BDC， ∴ △ABD∽△DCB； （2）由（1）得△ABD∽△DCB，
∴， 即 ，∴BD=10点睛：（1）判定两个三角形相似，优先找两组角相等条件.20. 如图,是二次函数y=ax2+bx+c的部分
图象.(1)结合图象信息,求此二次函数的表达式;(2)当y＞0时，直接写出x的取值范围： ．【答案】（1）； （2） 或 【解析】
【详解】试题分析：（1）由图可知，该二次函数的图象的顶点坐标为（1，-4），且过点（-1，0），由此可设其解析式为：，再代入点（-
1，0）解出a的值即可；（2）根据对称性，由该函数图象与x轴的一个交点坐标为（-1，0）和对称轴为直线x=1可得图象与x轴的另一个
交点的坐标为（3，0），结合图象开口向上，即可得到当y>0时，x的取值范围是：x<-1或x>3.试题解析： （1）由图可知，该二次
函数的图象的顶点坐标为（1，-4），且过点（-1，0），∴可设其解析式为： ，将（－1，0）代入，得： ，解得： ， ∴二次函数表
达式 ； （2）由图可知：该函数图象与x轴的一个交点坐标为（-1，0）、对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，
0），又∵图象开口向上，∴当y>0时，x的取值范围是：x<-1或x>3.21. 如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长．
【答案】BC=8，AD=BD=5.【解析】【分析】根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用勾股定理可求出BC的长，
利用角平分线的定义及圆周角定理可得∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，可得△ABD是等腰直角三角形，即可求出A
D、BD的长.【详解】∵AB为直径，∠ACB是AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵AB=10，AC=6，∴BC===8，∵CD
是∠ACB的角平分线，∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=45°，∵∠ACD和∠ABD是所对的圆周角，∴∠ACD=∠ABD=45°，同
理可得：∠DAB=∠DCB=45°，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AD2=AB2，∴AD=BD=5
.【点睛】本题考查主要圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握直径所对的圆
周角是直角的性质是解题关键.22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的
垂线，垂足为点E.(1)求线段CD的长；(2)求cos ∠ABE的值．【答案】（1）5；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）利
用正弦定义很容易求得AB=10，然后由已知D为斜边AB上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos∠ABE=，
则求余弦值即求BE，BD的长，易求得BD=5.再利用等面积法求BE的长.试题解析：(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，sinA
＝，而BC＝8，∴AB＝10.∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝5.(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6.∵
D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDC＝S△ABC，即CD·BE＝·AC·BC，∴BE＝.在Rt△BDE中
，cos∠DBE＝＝ ＝，即cos∠ABE的值为.点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用
锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.23. 反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=－
x+5的一个交点是A(1,n).(1)求反比例函数y=(k≠0)的表达式；(2)当一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写
出自变量x的取值范围为 ．【答案】（1）；（2） 或 【解析】【详解】试题分析：（1）先将点A（1，n）代入y=-x+5中解得n的
值，得到点A的坐标，再将所得点A的坐标代入反比例函数求出k的值即可得到其解析式；（2）将两个函数的解析式联立得到方程组，解方程组即
可求得它们的两个交点是坐标，再结合它们的图象所处的位置即可得到当一次函数的值大于反比例函数的值时所对应的x的取值范围.试题解析：（
1）将A（1，n）代入 解得： n=4，∴点A的坐标为（1，4），将A（1，4）代入中，解得： ∴反比例函数 的表达式为 ；（2
）由 解得： ， ，∴两个函数的图象的交点坐标为（1，4）和（4，1），又∵一次函数的图象从左至右是下降的，且过第一、二、四象限；
反比例函数的图象在第一、三象限，∴当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围为： 或 .24. 中国高铁近年来用震惊世界的速
度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”．修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥．如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M
、N为山的两侧)，工程人员为了计算MN两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM
=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．【答案】MN=3000米【解析】【详
解】试题分析：由已知条件易证△ABC∽△ANM，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出MN的长.试题解析：∵ ，∴ ，又∵ ，∴
△ABC∽△ANM，∴ ，∵BC=45，∴MN=3000.答：直线隧道MN长为3000米.25. 已知抛物线y=x2+bx+c与x
轴交于点A(－2,0).(1)填空：c= (用含b的式子表示)．(2)若b＜4①求证：抛物线与x轴有两个交点；②设抛物线与x轴的另
一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围为 ；(3)直线y=x－4经过抛物线y=
x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式．【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3） 或【解析】【详解】试题分析：（1）把点A（-
2，0）代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的等式，将等式变形即可得到用含“b”表示的c；（2）①由（1）中所得结果可得：△=，
结合b<4可得△>0，由此即可得到抛物线和x轴有两个不同的交点；②根据①中所得结果可表达出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为，结合
线段AB上恰好有5个整数点，即可求得b的取值范围；（3）将抛物线配方，得到用“b”表达的顶点P的坐标，将所得坐标代入解出b的值，再
代回中即可求得二次函数的解析式.试题解析： （1）把点A（-2，0）代入y=x2+bx+c得：，∴c=2b-4；（2）① ∵中，
， ∴当时， ，即 ，∴当 时，抛物线与x轴有两个交点；②当时，有，∵当时， ，∴，∴，∴点B的坐标为 ，当点B在点A的右边时，
∵点A的坐标为（-2，0），且线段AB上恰好有5个知识点，∴这5个整数点所对应的数分别是-2，-1，0，1，2，∴，∴此时b的取值
范围是：；当点B在点A的左侧时，这5个整数点分别是：-2，-3，-4，-5，-6，∴，即，解得：，∵b<4，∴此种情况不成立；综上
所述，可得b的取值范围为：；（3）∵ ∴顶点P的坐标为： ， 将其代入 中，得，， 解得， ， ∴抛物线的表达式为 或.26.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC角平分线．（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；（2）求证：BC为⊙O的
切线；（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）由题意可知，作
线段AD的垂直平分线与AB相交，交点即为圆心O，然后以O为圆心OA为半径作圆即可；（2）连接OD，由已知易证∠ODA=∠OAD=∠
CAD，从而可得OD∥AC，由此可得∠ODB=∠C=90°，结合OD是⊙O的半径即可得到BC和⊙O相切；（3）由已知条件易得BC=
4和AB=5的长度，设⊙O的半径为r，则OD=OA=r，OB=5-r；由OD∥AC可得△BDO∽△BCA，这样由相似三角形对应边成
比例即可列出关于r的方程，解方程即可求得r的值．【小问1详解】如图所示，⊙O为所求圆；【小问2详解】连接OD．∵AD平分∠CAB∴
∠CAD=∠BAD又∵OA=OD∴∠OAD=∠ODA∴∠CAD=∠ODA∴OD//AC∴∠ODB=∠C=90°又∵OD为半径∴BC
是⊙O的切线．【小问3详解】∵在△ABC中，AC=3，tanB=，∠C=90°，∴BC=4，AB=5，设⊙O的半径为r，则OA=O
D=r，BO=5－r∵OD//AC∴△BOD∽△BAC∴ 即 解得， ，∴⊙O的半径为 ．27. 如图，在Rt△ABC中，∠AC
B=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．（1）∠
BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．【答案】（1）∠BAE=45°；（
2）2【解析】【详解】试题分析：（1）由已知易得△ABC∽△EBP，∠ABC=∠EBP=45°，从而可得： ，∠CBP=∠ABE，
由此可得：△CBP∽△ABE，从而可得∠BAE=∠BCP；而在△ACB中，由AC=BC，∠BCA=90°，CD⊥AB于D易得∠BC
P=45°，由此即可得到∠BAE=45°；（2）由题意可知，点D是定点，点E是AE上的动点，由此可知，当DE⊥AE时，DE最短，此
时，∠AED=90°，结合∠BAE=45°，可得△ADE此时是等腰直角三角形，由此即可求得此时DE的长了.试题解析：（1）∠BAE
的度数为定值，理由如下：∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45°∴ ，且∠CBP=
∠ABE∴△CBP∽△ABE∴∠BCP =∠BAE∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB∴∠BCP=45°∴∠BAE=∠BCP
=45°（2）由题意可知，点D是定点，点E是AE上的动点，∴当DE⊥AE时，DE最短，此时，∠AED=90°，又∵∠BAE=45°
，∴此时△ADE是等腰直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AB=，∵CD⊥AB于点D，∴AD=,∴
DE=2，即DE的最小值为2.点睛：解本题第2小题时，“由∠BAE=45°，点D是∠BAE边AB上的定点，点E是∠BAE边AE上的
动点，分析得到当DE⊥AE时，AE最短”，是解答本题的关键.28. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其
横坐标x的差y－x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”(1)①点A(1,3) “坐标
差”为 ．②抛物线y=－x2+3x+3的“特征值”为 ．(2)某二次函数y=－x2+bx+c(c≠0) 的“特征值”为1，点B(m
,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m= (用含c的式子表示)②求此二次
函数的表达式．(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，以M(2,3)为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E请直接写出⊙M的“
特征值”为 ．【答案】（1）① 2； ② 4； （2）① m= －c ; ②；（3）【解析】【分析】（1）①由题中所给“坐标差
”的定义即可得到点A（1，3）的坐标差；②由坐标差的定义可得：二次函数y=－x2+3x+3图象上点的坐标差为：，将此关系式配方即可
求得y-x的最大值，从而得到抛物线y=－x2+3x+3的“特征值”；（2）①由题意可得：0-m=c-0，由此可得：m=-c；②由m
=-c可得点B的坐标为（-c，0），把点B的坐标代入中可得，由可得，即；再由的特征值为1可得：，两者即可解得b何c的值，由此即可得
到二次函数的解析式；（3）如图，过点M作直线PF⊥DE，交⊙M于点P和F，由已知条件易得直线PF的解析式为y=-x+5；由直线y=x上的所有点的坐标差为0，且坐标平面内在直线y=x的右侧距离直线y=x越远的点的坐标差越大可知在⊙M上距离直线y=x最远的点是点P，设点P的坐标为（x，y）由点P到M的距离为2，可得到关于x、y的方程，和y=-x+5组合即可解得点P的坐标，这样就可得到⊙M的特征值了.【详解】（1）① ∵点A的坐标为（1，3），∴点A的坐标差为：3-1= 2； ② ∵二次函数的解析式为：y=－x2+3x+3，∴该二次函数图象上所有点的坐标差都满足：，∵，即该二次函数图象上点的坐标差的最大值为4，∴该二次函数图象的特征值为：4；（2）① 由已知易得点C的坐标为（0，c），而B的坐标为（m，0），∴点C的坐标差为：c-0，点B的坐标差为：0-m，又∵点B与点C的“坐标差”相等，∴c-0=0-m，∴m=－c；② ∵m=－c，∴B（－c，0），将其代入 中，得， ，∵c≠0，∴ ，∴ ① ，∴ 的“坐标差”为： ， ∵“特征值”为1，∴ ②，将①代入②中，得： ∴ ，∴抛物线的表达式为 ；（3）如图，过点M作直线PF⊥DE，交⊙M于点P和F，∵直线DE的解析式为：y=x，点M的坐标为（2，3），∴直线PF的解析式为y=-x+5，∵直线y=x上所有点的坐标差都等于0，而在直线y=x的右侧距离直线y=x越远的点的坐标差就越大，而⊙M上点P距离直线y=x最远，∴点P的坐标差就是⊙M的“特征值”，设点P的坐标为（x，y），∵点P到点M（2，3）的距离为2，∴有，又∵点P（x，y）在直线y=-x+5上，∴，解得：，∴对应的：，∴点P的坐标为，∴点P的坐标差为：，∴⊙M的“特征值”为：.点睛：解本题第3小题的要点有：（1）直线y=x上所有点的坐标差为0，坐标平面内，距离直线y=x越远的点的坐标差的绝对值就越大；（2）⊙M上距离直线y=x最远的点是图中的点P；（3）点P（x，y）到点M（2，3）的距离为定值2，则由两点间距离公式可得：. 1 / 1 |
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