2018北京门头沟初三（上）期末
数 学 2018.1
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 如果，那么的结果是
A． B． C． D．
2．将抛物线y = x2的图象向上平移3个单位后得到新的图象，那么新图象的表达式是
A． B． C． D．
3. 如图，是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果，那么的度数是
A． B．
C． D．
4. 在平面直角坐标系xOy中，如果射线OA与x轴正半轴的夹角为，那么的正弦值是
A． B． C． D．
5. 右图是某个几何体，它的主视图是
A B C D
6.已知，AC=3，CB=4，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是
A． B． C． D．
7. 一个不透明的盒子中装有20张卡片，其中有5张卡片上写着“三等奖”；3张卡片上写着“ 二等奖”，2张卡片上写着“一等奖”，其余卡片写着“谢谢参与”，这些卡片除写的字以外，没有其他差别，从这个盒子中随机摸出一张卡片，能中奖的概率为
A． B． C． D．
8．李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，出发后先后走了城市路、高速路、山路最终到达旅游地点，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，下面的描述错误的是
A．此车一共行驶了210公里
B．此车高速路一共用了12升油
C．此车在城市路和山路的平均速度相同
D．以此车在这三个路段的综合油耗判断
50升油可以行驶约525公里
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．二次函数的图象开口方向__________.
10.已知线段，将线段以点为旋转中心，逆时针旋转90°得到线段
则点、点的距离为__________.
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中
、、、，有一反比例函数
它的图象与此矩形没有交点，该表达式可以为_______.
12. 如图，在△ABC中， DE分别与AB、AC相交于点D、E，
且DE∥BC，如果，那么__________.
13. 如图，在△ABC中，∠A=60°，⊙O为△ABC的外接圆．
如果BC=,那么⊙O的半径为________.
14. 如图，是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是_________m .
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中
16.下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程 .
请回答：该尺规作图的依据是______________________________________________.
三、解答题（本题共68分，第17题-24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分, 第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．计算：.
18. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE.
19．已知二次函数 y = x2+2x－
（1）将y = x2x－化成y =2 + k的形式
（2）求该二次函数的图象的顶点坐标.
20. 先化简，再求值： 的根．
21.在平面直角坐标xOy中，直线与双曲 的一个交点
（ 求m的值；
（2） 过点且垂直于x轴的直线与、 的图象分别相交于点M、N，点M、N 的距离为，点M、N中的某一点与点的距离为，如果，在下图中画出示意图并且直接写出点的坐标.
22. 如图，小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东60°, 亭B在点M的北偏东30°,当小明由点M沿小道向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向.
根据以上数据，请你帮助小明写出湖中两个小亭A、B之间距离的思路.
23. 已知．
（1）求证：无论k取任何实数时，
（2）图象与轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k值
24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点 E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若=2，，求⊙O的半径．
25. 如图，⊙O中直径AB上的一个动点，过点作交⊙O于点，
⊙O于点．
已知， 设的长度为，的长度为．
小东根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探．下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，画
出该函数的图象
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当，约为__________．
26 在平面直角坐标系中，的图象如图所示．
（1）求的表达式
（2），，，结合函数图象
①当时，直接写出的值；
②当，求的取值范围.
27.如图27-1有两条长度相等的相交线段AB、CD，它们相交的锐角中有一个角为60°，为了探究AD、CB与CD(或AB)之间的关系，小亮进行了如下尝试：
（1），如图27-2，将线段AB沿AD方向平移AD的长度，得到线段DE,然后联结BE,进而利用所学知识得到AD、CB与CD(或AB)之间的关系：____________________；(直接写出结果)
（2）27-1的情况（AD与CB不平行）进行尝试，
写出AD、CB与CD(或AB)之间的关系，并进行证明；
（3）综合（1）（2） _______________________.
28．为端点竖直向下的一条射线，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线，，我们规定：为点 的“摇摆角”， 射线摇摆扫过的区域叫作点 的“摇摆区域”（含，）.
在直角坐标系xOy中，点
（1）的摇摆角为时，请判断、、、属于点的摇摆区域内的点是______________________（填写字母即可）；
（2），点的线段完全在点的摇摆区域内，那么点的摇摆角至少为_________°；
（3）的圆心坐标为，半径为，如果⊙上的所有点都在点的摇摆角为 时的摇摆区域内，求的取值范围．
备用图
参考答案
一、选择题（本题共分，每小题分）
1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B A C C A C
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
题号 9 10 11 12 13 14 答案 向下 答案不唯一满足
或或 2 4 题号 15 16 答案 答案不唯一 例：先将以点B为旋转中心顺时针旋转90°，在向左平移7个单位长度 到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上；两点确定一条直线；互相垂直的直径将圆四等分；（圆内接正多边形定义）
三、解答题（本题共68分，第17题-24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分, 第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（本小题满分5分）
解：原式 …………………………………………………………………………4分
………………………………………………………………………………………………5分
18．（本小题满分5分）
证明： AB=AC，BD=CD
, ……………………………………2分
CE⊥AB
……………………………………4分
……………………………………5分
19．（本小题满分5分）
解：（1）y=x2+2x－3
=x2+2x+1－1－3 ……………………………………………………………………………2分
=(x+1)2－4．
（2）∵y=(x+1)2－4，
∴该二次函数图象的顶点坐标是（－1，－4）．
20．（本小题满分5分）
原式=
=
=． ………………3分
∵ m是方程的根，
∴ ．
∴ ． ………………………5分
21.（本小题满分5分）
解：（1）∵反比例函数）的图象
∴, ……………………………………………………………1分
解得
∵直线的图象
∴，解得 ……………………………………………………………2分
（2）示意图：正确 ……………………………………………………………3分
…………………………………………………5分
22.（本小题满分5分）
解：
（1）可知，，∠AMQ=30°，∠BMQ=60° …1分
（2）在Rt△ADB中，由MN=60，∠AMQ=30°，根据三角函数可得
………………………………………2分
（3）过点A作 AK⊥BQ于K，可得四边形AKQN是矩形，
进而得出AK=NQ=30，KQ=AN= ………………………………………3分
（4）在Rt△BMQ中，由MQ=MN+NQ=90，∠BMQ=60°，根据三角函数可得
，进而可求出BK= ………………………………………4分
（5）在Rt△AKB中，根据勾股定理可以求出AB的长度. …………………………5分
23．（本小题满分5分）
（1）证明：令y=0，可得
∵
∴△=……………………………………………………………………………1分
= …………………………………………………………………………………2分
∵
∴此二次函数的图象与x轴总有交点．
（2）解：令y=0，得
解得 x1= ，x2=………………………………4分
∵k为整数，解为整数
∴. ………………………………………………………………………………5分
24．（本小题满分5分）
（1）证明：连接O，
AC与圆O相切，
OE⊥AC，……………
∵BC⊥AC，
OE∥BC，
又O为DB的中点，
E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，
OE=BF，
又OE=BD，
BF=BD；………………………………………
（2）设BC=3x，得：AB=5x，
又CF=2，
BF=3x+2，
由（1）得：BD=BF，
BD=3x+2，
OE=OB=，AO=AB﹣OB=
OE∥BF，
AOE=∠B，
∴cos∠AOE=cosB，即，
解得：
则圆O的半径为
25.（本小题满分6分）
（1）2.3 ……………………………………………………………………1分
（2）坐标系正确 ……………………………………………………3分
描点正确 ……………………………………………………4分
连线正确 ……………………………………………………5分
（3）2.6 ……………………………………………………………………6分
26. （本小题满分7分）
（1）选择坐标代入正确 ………………………………………………1分
得出表达式 ………………………………………………3分
（2）找到位置画出示意图
① ………………………………………………4分
②由图象易得当y=0时
由于该函数图象的对称轴为， ，
在对称轴左右两侧对称分布，所以两点到对称轴的距离相等
所以，当时即PQ=3
∴MP= MN－PN =………………………………………………5分
∴
代入，解得………………………………………6分
综上所述： ………………………………………7分
27．（本小题满分7分）
（1） ……………………………………………1分
（2）补全图形正确 ………………………………………2分
结论：………………………………………3分
理由：如图：将线段AB沿AD方向平移AD的长度，得到线段DE,
联结BE、CE，且可得且
∴四边形A、B、E、D是平行四边形………………………4分
∴
∵
∴
∵,
∴是等边三角形……………………………………5分
∴
由于AD与CB不平行，所以C、B、E构成三角形
∴……………………………………………6分
∴
（3） …………………………………………7分
28．（本小题满分8分）
解：（1）点B，点C； …………………………………………2分
（2）90°………………………………………………………3分
（3）当⊙运动到摇摆角的内部，与PF左边的射线相切时如图28-1
∵点的摇摆角为60°
∴，
在Rt△PFK中， 在
可求得
∵，
∴
在Rt△PFK中， ，
可求得
∴
当⊙运动到摇摆角的内部，与PF右边的射线相切时如图28-2
同理可求得
∴
1 / 12
已知：⊙O.
求作：⊙O的内接正方形.
作法：如图，
（1）作⊙O的直径AB；
（2）分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为
半径作弧，两弧分别相交于M、N两点；
（3）作直线MN与⊙O交于C、D两点,
顺次连接A、C、B、D.
即四边形ACBD为所求作的圆内接正方形.
图25-1
图25-2
图27-2
图27-1
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