2018北京顺义初三二模数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）2022年
冬奥会，北京、延庆、张家口三个赛区共25个场馆，北京共12个，其中11个为2008年奥运会遗留场馆，唯一一个新建的场馆是国家速滑馆
，可容纳12000人观赛，将12000用科学记数法表示应为（ ）A．12×103B．1.2×104C．1.2×105D．0.12
×1052．（2分）用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（ ）之间．A．B与CB．C与DC．E与FD
．A与B3．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．等边三角形B．菱形C．平行四边形D．正五边形4．（2
分）小明要去超市买甲、乙两种糖果，然后混合成5千克混合糖果，已知甲种糖果的单价为a元/千克，乙种糖果的单价为b元/千克，且a＞b．
根据需要小明列出以下三种混合方案：（单位：千克）甲种糖果乙种糖果混合糖果方案1235方案2325方案32.52.55则最省钱的方案
为（ ）A．方案1B．方案2C．方案3D．三个方案费用相同5．（2分）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，若A（0，2），B
（1，1），则点C的坐标为（ ）A．（1，﹣2）B．（1，﹣1）C．（2，﹣1）D．（2，1）6．（2分）随机掷一枚均匀的硬币两
次，至少有一次正面朝上的概率为（ ）A．B．C．D．7．（2分）根据北京市统计局发布的统计数据显示，北京市近五年国民生产总值数据
如图1所示，2017年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示，根据以上信息，下列判断错误的是（ ）A．20
13年至2017年北京市国民生产总值逐年增加B．2017年第二产业生产总值为5 320亿元C．2017年比2016年的国民生产总值
增加了10%D．若从2018年开始，每一年的国民生产总值比前一年均增长10%，到2019年的国民生产总值将达到33 880亿元8．
（2分）已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/
s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大
致是（ ）A．B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）如图，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角，且∠1+∠2＝210°，则∠A+∠D＝ 度．11．（2分）已知关于x
的方程x2+mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．12．（2分）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝40°，
EF平分∠AED交AB于点F，则∠AFE＝ 度．13．（2分）方程﹣＝1的解是 ．14．（2分）如图，A，B两点被池塘隔开
，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200m，
则A，B间的距离为 m．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC可以看作是△DEF经过若干次图形的变化（平移、旋
转、轴对称）得到的，写出一种由△DEF得到△ABC的过程 ．16．（2分）同学们设计了一个重复抛掷的实验：全班48人分为8个小
组，每组抛掷同一型号的一枚瓶盖300次，并记录盖面朝上的次数，下表是依次累计各小组的实验结果．1组1～2组1～3组1～4组1～5组
1～6组1～7组1～8组盖面朝上次数16533548363280194911221276盖面朝上频率0.5500.5580.537
0.5270.5340.5270.5340.532根据实验，你认为这一型号的瓶盖盖面朝上的概率为 ，理由是： ．三、解答题
（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证
明过程．17．（5分）计算：（π﹣2018）0+|﹣4|﹣3tan30°﹣（）﹣1．18．（5分）先化简，再求值：?（1﹣），其中
m＝2．19．（5分）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，DF⊥AE于点F，求证：∠AEB＝∠CDF．20．（5分）如图，在平
面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝2x+1交于点A（1，m）．（1）求k、m的值；（2）已知点P（n，0）（
n≥1），过点P作平行于y轴的直线，交直线y＝2x+1于点B，交函数y＝（x＞0）的图象于点C．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①
当n＝3时，求线段AB上的整点个数；②若y＝（x＞0）的图象在点A、C之间的部分与线段AB、BC所围成的区域内（包括边界）恰有5个
整点，直接写出n的取值范围．21．（5分）2018年4月12日上午，新中国历史上最大规模的海上阅兵在南海海域隆重举行，中国人民解放
军海军多艘战舰、多架战机和1万余名官兵参加了海上阅兵式，已知战舰和战机总数是124，战舰数的3倍比战机数的2倍少8．问有多少艘战舰
和多少架战机参加了此次阅兵．22．（5分）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．（1）求
证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长．23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点
，且＝，过点O作OE⊥AC于点E，⊙O的切线AF交OE的延长线于点F，弦AC、BD的延长线交于点G．（1）求证：∠F＝∠B；（2）
若AB＝12，BG＝10，求AF的长．24．（6分）某商场甲、乙、丙三名业务员2018年前5个月的销售额（单位：万元）如下表：月份
销售额人员第1月第2月第3月第4月第5月甲691088乙57899丙5910511（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：统计值数
值人员平均数（万元）众数（万元）中位数（万元）方差甲 881.76乙7.6 82.24丙85 （2）甲、乙、丙三
名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由．25．（6分）根据函数学习中积累的知识与经验，李老师要求学生探究函数y＝
+1的图象．同学们通过列表、描点、画图象，发现它的图象特征，请你补充完整．（1）函数y＝+1的图象可以由我们熟悉的函数 的图象
向上平移 个单位得到；（2）函数y＝+1的图象与x轴、y轴交点的情况是： ；（3）请你构造一个函数，使其图象与x轴的交点为
（2，0），且与y轴无交点，这个函数表达式可以是 ．26．（6分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+ax+2a+1的图象经
过点M（2，﹣3）．（1）求二次函数的表达式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与二次函数y＝x2+ax+2a+1的图象
经过x轴上同一点，探究实数k，b满足的关系式；（3）将二次函数y＝x2+ax+2a+1的图象向右平移2个单位，若点P（x0，m）和
Q（2，n）在平移后的图象上，且m＞n，结合图象求x0的取值范围．27．（7分）在等边△ABC外侧作直线AM，点C关于AM的对称点
为D，连接BD交AM于点E，连接CE，CD，AD．（1）依题意补全图1，并求∠BEC的度数；（2）如图2，当∠MAC＝30°时，判
断线段BE与DE之间的数量关系，并加以证明；（3）若0°＜∠MAC＜120°，当线段DE＝2BE时，直接写出∠MAC的度数．28．
（7分）已知边长为2a的正方形ABCD，对角线AC、BD交于点Q，对于平面内的点P与正方形ABCD，给出如下定义：如果a≤PQ≤a
，则称点P为正方形ABCD的“关联点”．在平面直角坐标系xOy中，若A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）
．（1）在P1（﹣，0），P2（，），P3（0，）中，正方形ABCD的“关联点”有 ；（2）已知点E的横坐标是m，若点E在直线
y＝x上，并且E是正方形ABCD的“关联点”，求m的取值范围；（3）若将正方形ABCD沿x轴平移，设该正方形对角线交点Q的横坐标是
n，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于M、N两点．如果线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，求n的取值范围．201
8北京顺义初三二模数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】科
学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝
对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：数据12000用科学记数法表
示为1.2×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．【分析】此题实际是求﹣的值．【解答】解：在计算器上依次按键转化为算式为﹣＝；计
算可得结果介于﹣2与﹣1之间．故选：A．【点评】本题主要考查了利用计算器计算结果，要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键
的功能．3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合菱形、平行四边形、等边三角形、正五边形的性质求解．【解答】解：A、等边三
角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、平行四边形不是轴对称图
形，是中心对称图形，故此选项错误；D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．【点评】此题考查了轴对称图形
和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原
图形重合．4．【分析】求出三种方案混合糖果的单价，比较后即可得出结论．【解答】解：方案1混合糖果的单价为，方案2混合糖果的单价为，
方案3混合糖果的单价为＝．∵a＞b，∴＜＜，∴方案1最省钱．故选：A．【点评】本题考查了加权平均数，求出各方案混合糖果的单价是解题
的关键．5．【分析】根据A点坐标即可建立平面直角坐标．【解答】解：由A（0，2），B（1，1）可知原点的位置，建立平面直角坐标系，
如图，∴C（2，﹣1）故选：C．【点评】本题考查平面直角坐标系，解题的关键是建立直角坐标系，本题属于基础题型．6．【分析】先求出两
次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解．【解答】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：至少有一次正面朝上
的概率是，故选：D．【点评】本题考查了随机事件的概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那
么事件A的概率P（A）＝．7．【分析】由条形图与扇形图中的数据及增长率的定义逐一判断即可得．【解答】解：A、由条形图知2013年至
2017年北京市国民生产总值逐年增加，此选项正确；B、2017年第二产业生产总值为28000×19%＝5 320亿元，此选项正确；
C、2017年比2016年的国民生产总值增加了×100%＝9.08%，此选项错误；D、若从2018年开始，每一年的国民生产总值比前
一年均增长10%，到2019年的国民生产总值将达到2800×（1+10%）2＝33 880亿元，此选项正确；故选：C．【点评】本题
主要考查条形统计图与扇形统计图，解题的关键是根据条形统计图与扇形统计图得出具体数据．8．【分析】根据题意，Q点分别在BC、CD上运
动时，形成不同的三角形，分别用x表示即可．【解答】解：（1）当0≤x≤2时，BQ＝2xy＝当2≤x≤4时，如下图y＝（4﹣x+4）
×4﹣×（4﹣x）（8﹣2x）﹣×4×（2x﹣4）＝﹣x2+2x+8由上可知故选：B．【点评】本题是双动点问题，解答时要注意讨论动
点在临界两侧时形成的不同图形，并要根据图形列出函数关系式．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9．【分析】根据分母不为零
分式有意义，可得答案．【解答】解：由题意，得x+5≠0，解得x≠﹣5，故答案是：x≠﹣5．【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用
分母不为零分式有意义得出不等式是解题关键．10．【分析】利用邻补角的定义求出∠ABC+∠BCD，再利用四边形内角和定理求得∠A+∠
D．【解答】解：∵∠1+∠2＝210°，∴∠ABC+∠BCD＝180°×2﹣210°＝150°，∴∠A+∠D＝360°﹣150°＝
210°．故答案为：210．【点评】本题考查了四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用邻补角的定义求出∠ABC+∠BCD是关键．1
1．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：∵已知关于x的方程x
2+mx+4＝0有两个相等的实数根，∴△＝m2﹣4×1×4＝0，解得：m＝±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了根的判别式，牢记
“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．12．【分析】由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行
线的性质即可求出∠AFE的度数．【解答】解：∵∠AEC＝40°，∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝140°，∵EF平分∠AED，∴∠
DEF＝∠AED＝70°，又∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠DEF＝70°．故答案为：70【点评】本题考查的是平行线的性质以及角平分线
的定义．熟练掌握平行线的性质，求出∠DEF的度数是解决问题的关键．13．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到
x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3+2x＝x﹣1，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解．【点评】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AM＝AC
，BN＝BC，∴AB是△CMN的中位线，∴AB＝MN＝100m，故答案为：100．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌
握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．15．【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△DEF得到△AB
C的过程．【解答】解：由题可得，由△DEF得到△ABC的过程为：先以点O为旋转中心，逆时针旋转90°，再将得到的三角形沿x轴翻折．
（答案不唯一）故答案为：先以点O为旋转中心，逆时针旋转90°，再将得到的三角形沿x轴翻折．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，
平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大
小．16．【分析】根据用频率估计概率解答即可．【解答】解：∵在用频率估计概率时，试验次数越多越接近，所以取1﹣8组的频率值，∴这一
型号的瓶盖盖面朝上的概率为0.532，故答案为：0.532，在用频率估计概率时，试验次数越多越接近，所以取1﹣8组的频率值．【点评
】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．三、解答题（本题共
68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+4﹣3×﹣2＝5
﹣﹣2＝3﹣．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计
算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝?＝﹣，当m＝2时，原式＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，
熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．【分析】利用矩形的性质结合平行线的性质得出∠CDF+∠ADF＝90°，进而得出∠CDF＝∠D
AF，由AD∥BC，得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AD∥BC，∴∠CDF+∠ADF＝90°，
∵DF⊥AE于点F，∴∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠CDF＝∠DAF．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB，∴∠AEB＝∠CDF．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及平行线的性质，正确得出∠CDF＝∠DAF是解题关键．20．【分析】（1）将A点代入直线解析式可
求m，再代入y＝，可求k．（2）①根据题意先求B，C两点，可得线段AB上的整点的横坐标的范围1≤x≤3，且x为整数，所以x取1，2
，3．再代入可求整点，即求出整点个数．②根据图象可以直接判断2≤n＜3．【解答】解：（1）∵点A（1，m）在y＝2x+1上，∴m＝
2×1+1＝3．∴A（1，3）．∵点A（1，3）在函数的图象上，∴k＝3．（2）①当n＝3时，B、C两点的坐标为B（3，7）、C（
3，1）．∵整点在线段AB上∴1≤x≤3且x为整数∴x＝1，2，3∴当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝5，当x＝3时，y＝7，∴
线段AB上有（1，3）、（2，5）、（3，7）共3个整点．②由图象可得当2≤n＜3时，有五个整点．【点评】本题考查反比例函数和一次
函数的交点问题，待定系数法，以及函数图象的性质．关键是能利用函数图象有关解决问题．21．【分析】设有x艘战舰，y架战机参加了此次阅
兵，根据题意列出方程组解答即可．【解答】解：设有x艘战舰，y架战机参加了此次阅兵，根据题意，得，解这个方程组，得 ，答：有48艘战
舰和76架战机参加了此次阅兵．【点评】此题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出等量关系进行解答．22．【分析】（1）直接利
用直角三角形的性质得出DE＝BE＝AB，再利用DE∥BC，得出∠2＝∠3，进而得出答案；（2）利用已知得出在Rt△BCD中，∠3＝
60°，DC＝，得出DB的长，进而得出EC的长．【解答】（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，∴DE＝BE＝AB．∴∠1＝∠
2．∵DE∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴BD平分∠ABC． （2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，∴∠1＝60°．∴∠3＝
∠2＝60°．∵∠BCD＝90°，∴∠4＝30°．∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°．在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC＝，∴DB＝
2．∵DE＝BE，∠1＝60°，∴DE＝DB＝2．∴EC＝＝＝．【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，正确得出
DB，DE的长是解题关键．23．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠GAB＝∠B，根据切线的性质得到∠GAB+∠GAF＝90°，证明
∠F＝∠GAB，等量代换即可证明；（2）连接OG，根据勾股定理求出OG，证明△FAO∽△BOG，根据相似三角形的性质列出比例式，计
算即可．【解答】（1）证明：∵＝，∴＝．∴∠GAB＝∠B，∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AO．∴∠GAB+∠GAF＝90°．∵OE⊥
AC，∴∠F+∠GAF＝90°．∴∠F＝∠GAB，∴∠F＝∠B；（2）解：连接OG．∵∠GAB＝∠B，∴AG＝BG．∵OA＝OB＝
6，∴OG⊥AB．∴，∵∠FAO＝∠BOG＝90°，∠F＝∠B，∴△FAO∽△BOG，∴．∴．【点评】本题考查的是切线的性质、相似
三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．24．【分析】（1）利用平均数、众数、中位数的定义和方差的计算公
式求解；（2）利用甲的平均数大得到总营业额高，方差小，营业额稳定进行判断．【解答】解：（1）甲的平均数＝（6+9+10+8+8）＝
8.2；乙的众数为9；丙的中位数为9，丙的方差＝[（5﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（5﹣8）2+（11﹣8）2]＝6.
4；故答案为8.2；9；9；6.4；（2）赞同甲的说法．理由是：甲的平均数高，总营业额比乙、丙都高，每月的营业额比较稳定．【点评】
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小．记住方差的计算公式．也考查了
平均数、众数和中位数．25．【分析】（1）根据函数图象的平移规律，可得答案；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根
据点的坐标满足函数解析式，可得答案．【解答】解：（1）函数的图象可以由我们熟悉的函数的图象向上平移1个单位得到，故答案为：，1；（
2）函数的图象与x轴、y轴交点的情况是：与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点，故答案为：与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点；（3
）请你构造一个函数，使其图象与x轴的交点为（2，0），且与y轴无交点，这个函数表达式可以是 答案不唯一，如：y＝﹣+1，故答案为：
y＝﹣+1．【点评】本题考查了反比例函数图象，利用函数图象的平移规律是解题关键．26．【分析】（1）将点M的坐标代入函数解析式，利
用方程求得a的值即可；（2）y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点是：（3，0），（﹣1，0）．分类求得实数k，b满足的关系式；（3）结合
图象解答．【解答】解：（1）把M（2，﹣3）代入y＝x2+ax+2a+1，可以得到4+2a+2a+1＝﹣3，a＝﹣2因此，二次函数
的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点是：（3，0），（﹣1，0）．当y＝kx+b（k≠0）经过（
3，0）时，3k+b＝0；当y＝kx+b（k≠0）经过（﹣1，0）时，k＝b．（3）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向右平移2个
单位得到y＝x2﹣6x+5，对称轴是直线x＝3，因此Q（2，n）在图象上的对称点是（4，n），若点P（x0，m）使得m＞n，结合图
象可以得出x0＜2或x0＞4．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的
坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．27．【分析】（1）根据轴对称作出图形，先判断出∠A
BD＝∠ADB＝y，再利用三角形的内角和得出x+y即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出四边形ABCD是菱形，进而得出∠CBD＝
30°，进而得出∠BCD＝90°，即可得出结论；（3）先作出EF＝2BE，进而判断出EF＝CE，再判断出∠CBE＝90°，进而得出
∠BCE＝30°，得出∠AEC＝60°，即可得出结论．【解答】解：（1）补全图形如图1所示，根据轴对称得，AD＝AC，∠DAE＝∠
CAE＝x，∠DEM＝∠CEM．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°．∴AB＝AD．∴∠ABD＝∠ADB＝y．在
△ABD中，2x+2y+60°＝180°，∴x+y＝60°．∴∠DEM＝∠CEM＝x+y＝60°．∴∠BEC＝60°；（2）BE＝
2DE，证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，由对称知，AD＝AC，∠CAD＝2∠CAM＝60°，∴△ACD是等边三角
形，∴CD＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝2∠CAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠AB
D＝∠DBC＝30°，由（1）知，∠BEC＝60°，∴∠ECB＝90°．∴BE＝2CE．∵CE＝DE，∴BE＝2DE．（3）如图3
，（本身点C，A，D在同一条直线上，为了说明∠CBD＝90°，画图时，没画在一条直线上）延长EB至F使BE＝BF，∴EF＝2BE，
由轴对称得，DE＝CE，∵DE＝2BE，∴CE＝2BE，∴EF＝CE，连接CF，同（1）的方法得，∠BEC＝60°，∴△CEF是等
边三角形，∵BE＝BF，∴∠CBE＝90°，∴∠BCE＝30°，∴∠ACE＝30°，∵∠AED＝∠AEC，∠BEC＝60°，∴∠A
EC＝60°，∴∠MAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝90°．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，轴对
称的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，作出图形是解本题的关键．28．【分析】（1）正方形ABCD的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），由此画出图形即可判断；（2）因为E是正方形ABCD的“关联点”，所以E在正方形ABCD的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），因为E在直线上，推出点E在线段FG上，求出点F、G的横坐标，再根据对称性即可解决问题；（3）因为线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，分两种情形：①如图3中，MN与小⊙Q相切于点F，求出此时点Q的横坐标；②M如图4中，落在大⊙Q上，求出点Q的横坐标即可解决问题；【解答】解：（1）由题意正方形ABCD的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），观察图象可知：正方形ABCD的“关联点”为P2，P3；（2）作正方形ABCD的内切圆和外接圆，∴OF＝1，OG＝，．∵E是正方形ABCD的“关联点”，∴E在正方形ABCD的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），∵点E在直线上，∴点E在线段FG上．分别作FF’⊥x轴，GG’⊥x轴，∵OF＝1，，∴，．∴．根据对称性，可以得出．∴或．（3）∵、N（0，1），∴，ON＝1．∴∠OMN＝60°．∵线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，①MN与小⊙Q相切于点F，如图3中，∵QF＝1，∠OMN＝60°，∴．∵，∴．∴．②M落在大⊙Q上，如图4中，∵，，∴．∴．综上：．【点评】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 1 / 1 |
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