2018北京一六一中学初三（上）期中数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分
）已知，则的值是 A．B．C．D．2．（2分）抛物线的对称轴是 A．B．C．D．3．（2分）如图，在中，，，，则的值是 A．B．C
．D．4．（2分）如图，在中，，分别交，于点，．若，，则的面积与的面积的比等于 A．B．C．D．5．（2分）将抛物线平移，得到抛物
线，下列平移方式中，正确的是 A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1
个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位6．（2分）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相
似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是 A．B．C．或D．或7．（2分）如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔40海里的处，它
沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处．这时，处与灯塔的距离的长可以表示为 A．40海里B．海里C．海里D．海里8
．（2分）已知二次函数为常数），当时，函数值的最小值为，则的值是 A．B．C．或D．或二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（
2分）如果，那么锐角的度数是 ．10．（2分）请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式， ．11．（2分）如图所示，圆
的半径为5，为弦，，垂足为，如果，那么的长是 ．12．（2分）如图，在中，点，分别在，上，若，则需要增加的一个条件是 （写出一
个即可）13．（2分）如图，直线与抛物线分别交于，两点，那么当时，的取值范围是 ．14．（2分）在中，，于，，， ．15．（2分）
在中，，，，则 ．16．（2分）已知抛物线为任意实数）经过下图中两点、，其中为抛物线的顶点，为定点．下列结论：①若方程的两根为，，
则，；②当时，函数值随自变量的减小而减小．③，，．④垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，其、两点的横坐标分别为、，则．其中正确的是
（写序号即可）．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答
应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）先化简，再求值：，其中是方程的根．19．（5分）已知二次函
数．（1）用配方法将二次函数的表达式化为的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）观察图象，直接写出当时的取
值范围．20．（5分）如图，在中，，，．求的长．21．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题： “今有圆材，
埋在壁中， 不知大小， 以锯锯之， 深一寸， 锯道长一尺， 问径几何？”用现代语言表述为： 如图，为的直径， 弦于点，寸，寸， 求
直径的长 ．请你解答这个问题 ．22．（5分）如图，在平行四边形中，点为的中点，与对角线交于点．（1）求证：；（2）当且时，若，求
长．23．（6分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度，隧道的最高点到公路的距离为．（1）建立适当的平面直角坐标系，
求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是，货车的宽度是，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少，通过计算说明这辆货车能否安全通过这
条隧道．24．（6分）已知二次函数．（1）求证：无论取任何实数时，该函数图象与轴总有交点；（2）如果该函数的图象与轴交点的横坐标均
为整数，且为整数，求值．25．（6分）如图，中，，，．动点沿着的方向从点运动到点．，垂足为．设长为，长为（当与重合时，；当与重合时
．小云根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量
，得到了与的几组值，如下表：00.511.522.533.5443.53.22.82.11.40.70补全上面表格，要求结果保留一
位小数．则 ．（2）在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函
数图象，解决问题：当时，的长度约为 ．26．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．（1）求顶点的坐标；（2）过点且平行于轴的
直线，与抛物线交于，两点．①当时，求线段的长；②当线段的长不小于6时，直接写出的取值范围．27．（7分）数学课上，老师给出了如下问
题：如图，在中，点是边上一点．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，点是的中点，且，若，，求的长．小宇观察图1，发现第（1）问可
以通过证明两三角形相似得出比例式，进而化为等积式；他猜想，第（2）问是否可以构造类似图1那样的相似三角形，小宇把这个猜想与同学们交
流，通过讨论，发现可以借助点是的中点，在形内或形外构造类似图1的相似三角形的目的，进而求解．请你参考小宇的发现、猜想及与同学们的交
流内容，解答问题．28．（7分）对于平面直角坐标系中的点和图形，若在图形上存在一点，使，两点间的距离等于1，则称为图形的和睦点．（
1）当的半径为3时，在点，，，，，中，的和睦点是 ；（2）若点为的和睦点，求 的半径的取值范围；（3）点在直线上，将点向上平移
4个单位长度得到点，以为边构造正方形，且，两点都在右侧．已知点，，若线段上的所有点都是正方形的和睦点，直接写出点的横坐标的取值范围
．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【分析】根据两内项之积等于两外
项之积求出，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题考查了比例式的性质，主要利用了两内项之积等于两外
项之积，需熟记．2．【分析】直接根据抛物线顶点式即可求得．【解答】解：抛物线，对称轴为直线．故选：．【点评】本题考查的是二次函数的
性质，即二次函数的顶点坐标是，，对称轴直线．3．【分析】根据余弦的定义计算即可．【解答】解：在中，，故选：．【点评】本题考查的是锐
角三角函数的定义，掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．4．【分析】通过证明，可得．【解答】解：，，，，，，故选：．【点
评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定是本题的关键．5．【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断
是如何平移得到．【解答】解：的顶点坐标为，的顶点坐标为，将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线．故选：．【点评
】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．6．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果
位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或进行计算即可．【解答】解：点，以为位似中心，相似比为，点的
对应点的坐标为：，或，，即或，故选：．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，
那么位似图形对应点的坐标的比等于或．7．【分析】根据已知条件得出，再根据海里和正弦定理即可求出的长．【解答】解：一艘海轮位于灯塔的
南偏东方向，，海里，海里；故选：．【点评】本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海
中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．8．【分析】将二次函数配方成顶点式，分、和三种情况
，根据的最小值为，结合二次函数的性质求解可得．【解答】解：，①若，当时，，解得：；②若，当时，，解得：（舍；③若，当时，，解得：或
（舍，的值为或，故选：．【点评】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每
小题2分）9．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：，锐角的度数是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了
特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10．【分析】直接利用二次函数的性质分析其，的值进而得出答案．【解答】解：开口向下
，，抛物线过坐标原点，，答案不唯一，如．故答案为：（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确确定，的值是解题关键．
11．【分析】如图，连接；首先求出的长度；借助勾股定理求出的长度，即可解决问题．【解答】 解：如图，连接；；，；由勾股定理得：，，
，，．故答案为8．【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等的应用问题；作辅助线，构造直角三角形，灵活运用勾股定理、垂径定理来分析
、判断、解答是解题的关键．12．【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．【解
答】解：当时，．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
．13．【分析】根据图象得出取值范围即可．【解答】解：因为直线与抛物线分别交于，两点，所以当时，，故答案为：【点评】此题考查二次函
数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．14．【分析】利用同角的余角相等得出，再依据锐角三角函数即可求出答案．【解答】解：，，，，
在中，，．故答案为：3．【点评】本题考查同角的余角相等的性质和锐角三角函数的意义，理解和掌握锐角三角函数的意义是正确解答的前提．1
5．【分析】根据三角形的高的位置，分两种情形讨论即可解决问题；【解答】解：此题存在两种情况：（1）当高在内时，在中，，，，，在中，
，，（2）当高在外时，，故答案为或．【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨
论的思想思考问题，注意一题多解．16．【分析】利用函数图象条件二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：①若方程的两根为，，则，，故
①正确；②当时，函数值随自变量的减小而减小，故②错误；③，，，故③错误；④垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，其、两点的横坐标分别为
、，根据二次函数的对称性可知，故④正确；故答案是：①④．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于
中考常考题型．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应
写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】将特殊角的三角函数值带入求解．【解答】解：原式．【点评】本题考查了特殊角的三角函数
值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．18．【分析】根据分式的混合运算法则，化简后利用整体的思想代入计算即可．【解答】解
：原式，是方程的根，，即，则原式．【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则，需要注意最后结果化成最简
分式或整式．19．【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式；（2）列表、描点、连线，画出图象即可；（3）观察图象即可求解．【解
答】解：（1）；（2）列表：03003描点、连线，画出图象为： （3）观察图象可得，当时的取值范围是．【点评】本题考查了二次函数的
三种形式，二次函数的图象与性质及用描点法画二次函数的图象，利用数形结合是解此题的关键．20．【分析】如图，过点作于点．分别在，中，
求出，即可．【解答】解：如图，过点作于点．在中，，，，在中，，设，．．．，．【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于基础题．21．【分析】连接，由直径与弦垂直， 根据垂径定理得到为的中点，
由的长求出的长， 设寸， 则寸，寸， 由勾股定理得出方程， 解方程求出半径， 即可得出直径的长 ．【解答】解： 如图所示， 连接．
弦，为圆的直径，为的中点，又寸，寸，设寸， 则寸，寸，由勾股定理得：，即，解得：，寸，即直径的长为 26 寸 ．【点评】此题考查了
垂径定理， 勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点， 进而由弦长的一半， 弦心距及圆的半径构造直角三角形， 利用勾股定理
来解决问题 ．22．【分析】（1）证明，得出对应边成比例，即可得出结论；（2）求出，设，则，由勾股定理求出，，，得出，再由勾股定理
即可得出答案．【解答】（1）证明：四边形为平行四边形，，，点为的中点，，，，，（2）解：，，在中，，，设，则，，，，，，，．【点评
】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，掌握平行四边形的对边平等且相等和相似三角形的判定与性质是解题的关键
．23．【分析】（1）以所在直线为轴，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．（1）求出时的
的值，与比较即可解决问题．【解答】解：（1）本题答案不唯一，如：以所在直线为轴，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，如图所示．
，，．设这条抛物线的表达式为．抛物线经过点，．抛物线的表达式为，．（2）当时，，，这辆货车能安全通过这条隧道．【点评】本题考查二次
函数的应用、平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型．24．【分析】（1
）根据根的判别式可得结论；（2）利用求根公式表示两个根，因为该函数的图象与轴交点的横坐标均为整数，且为整数，可得．【解答】（1）证
明：△无论取任何实数时，该函数图象与轴总有交点；（2）解：当时，，，，，，该函数的图象与轴交点的横坐标均为整数，且为整数，．【点评
】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数，，是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系：△决定抛物线与轴的交点个数．△时，抛物线与轴有
2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．也考查了二次函数与一元二次方程的关系．25．【分析】（1）按题意，
认真测量即可；（2）利用数据描点、连线；（3）当时，，画图形测量交点横坐标即可．【解答】解：（1）根据题意量取数据为2.9故答案为
：2.9（2）根据已知数据描点连线得：（3）当时，与满足，在（2）图中，画图象，测量交点横坐标为2.3．故答案为：2.3【点评】本
题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．26．【分析】（1）配方得到，于是得到结论；（2）①当时，抛物线为，
如图．令得到，解方程即可得到结论；②令得到，解方程即可得到结论．【解答】解：（1），顶点的坐标为；（2）①当时，抛物线为，如图．令
，得，解得，，，线段的长为4，②令，得，解得，，，线段的长为，线段的长不小于6，，．【点评】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的
顶点坐标，正确的作出图象是解题的关键．27．【分析】（1）根据相似三角形的判定证得，再根据相似三角形的性质可证得结论；（2）延长到
点，使，连接，由三角形中位线的性质得到，由平行线的性质得到，由（1）得到，根据相似三角形的性质得到，设，则，，代入上式求解可得结论
．【解答】（1）证明：，，，，；（2）解：延长到点，使，连接，如图2．点是的中点，是的中位线，，，，，又，，，，设，则，，，．（舍
负），的长为．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，一元二次方程，综合性强，正确画出辅助线是解决问题的关
键．28．【分析】（1）分别以点，，，为圆心，1为半径画圆，若与有交点，则是，的和睦点；（2）如图2中，连接．直线交以为圆心半径为
1的圆于、．满足条件的必须与以为圆心半径为1的圆相交或相切，当时，得到的最小值为4，当时，得到的最大值为6；（3）分两种情形画出图形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，分别以点，，，为圆心，1为半径画圆，若与有交点，则是，的和睦点，观察图象可知，的和睦点是、．故答案为：、．（2）如图2中，连接．直线交以为圆心半径为1的圆于、．，，满足条件的必须与以为圆心半径为1的圆相交或相切，当时，得到的最小值为4，当时，得到的最大值为6，．（3）①如图3中，当点到的距离时，此时点的横坐标为．当点到的距离时，此时点的横坐标为，时，满足条件；②①如图3中，当点到的距离时，此时点的横坐标为1当点到的距离时，点的横坐标为，时，满足条件；综上所述，满足条件的当的横坐标的取值范围为：或．【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 1 / 1 |
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