2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：新定义1．（2019秋?北京期末）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：将点沿向右或向
上的方向平移一次，平移距离为个长度单位，平移后的点记为，若点在图形上，则称点为图形的“达成点”．特别地，当点在图形上时，点是图形的
“达成点”．例如，点是直线的“达成点”．已知的半径为1，直线．（1）当时，①在，，三点中，是直线的“达成点”的是： ；②若直线上的
点是的“达成点”，求的取值范围；（2）点在直线上，且点是的“达成点”．若所有满足条件的点构成一条长度不为0的线段，请直接写出的取值
范围．2．（2019秋?丰台区期末）平面直角坐标系中有点和某一函数图象，过点作轴的垂线，交图象于点，设点，的纵坐标分别为，．如果，
那么称点为图象的上位点；如果，那么称点为图象的图上点；如果，那么称点为图象的下位点．（1）已知抛物线．①在点，，中，是抛物线的上位
点的是 ；②如果点是直线的图上点，且为抛物线的上位点，求点的横坐标的取值范围；（2）将直线在直线下方的部分沿直线翻折，直线的其余部
分保持不变，得到一个新的图象，记作图象．的圆心在轴上，半径为1．如果在图象和上分别存在点和点，使得线段上同时存在图象的上位点，图上
点和下位点，求圆心的横坐标的取值范围．3．（2019秋?顺义区期末）在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，点和点关于直线对称，则
称点是点关于轴，直线的二次对称点．（1）如图1，点．①若点是点关于轴，直线的二次对称点，则点的坐标为 ；②点是点关于轴，直线的二次
对称点，则的值为 ；③点是点关于轴，直线的二次对称点，则直线的表达式为 ；（2）如图2，的半径为2．若上存在点，使得点是点关于轴，
直线的二次对称点，且点在射线上，的取值范围是 ；（3）是轴上的动点，的半径为2，若上存在点，使得点是点关于轴，直线的二次对称点，且
点在轴上，求的取值范围．4．在平面直角坐标系中，的半径为．给出如下定义：若平面上一点到圆心的距离，满足，则称点为的“随心点”．（1
）当的半径时，，，，，，中，的“随心点”是 ；（2）若点是的“随心点”，求的半径的取值范围；（3）当的半径时，直线与轴交于点，与轴
交于点，若线段上存在的“随心点”，直接写出的取值范围．5．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：如果点为图形上任意一点，点为
图形上任意一点，那么称线段长度的最小值为图形，的“近距离”，记作．若图形，的“近距离”小于或等于1，则称图形，互为“可及图形”．（
1）当的半径为2时，①如果点，，那么 ， ；②如果直线与互为“可及图形”，求的取值范围；（2）的圆心在轴上，半径为1，直线与轴交于
点，与轴交于点，如果和互为“可及图形”，直接写出圆心的横坐标的取值范围．6．（2019秋?通州区期末）如图，在平面内，点为线段上任
意一点，对于该平面内任意的点，若满足小于等于，则称点为线段的“限距点”．（1）在平面直角坐标系中，若点，．①在的点，，中，是线段的
“限距点”的是 ；②点是直线上一点，若点是线段的“限距点”，请求出点横坐标的取值范围．（2）在平面直角坐标系中，若点，．若直线上存
在线段的“限距点”，请直接写出的取值范围7．（2019秋?昌平区期末）对于平面直角坐标系中，已知点和点，线段和线段外的一点，给出如
下定义：若时，则称点为线段的可视点，且当时，称点为线段的正可视点．（1）①如图1，在点，，中，线段的可视点是 ；②若点在轴正半轴上
，写出一个满足条件的点的坐标： ．（2）在直线上存在线段的可视点，求的取值范围；（3）在直线上存在线段的正可视点，直接写出的取值范
围．8．（2019秋?大兴区期末）在平面直角坐标系中，已知，两点，且，，若过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两平行线交于一点，连
接，则称为点，，的“坐标轴三角形”．若过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两平行线交于一点，连接，则称为点，，的“坐标轴三角形”．
右图为点，，的“坐标轴三角形”的示意图．（1）已知点，点，若是点，，的“坐标轴三角形”，则点的坐标为 ；（2）已知点，点，若点，，
的“坐标轴三角形”的面积为3，求的值．（3）若的半径为，点．若在上存在一点，使得点，，的“坐标轴三角形”为等腰三角形，求的取值范围
．9．（2019秋?朝阳区期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上，以为直径作，点在轴上，且在点上方，过点作的切线，为切点，如果
点在第一象限，则称为点的离点．例如，图1中的为点的一个离点．（1）已知点，为的离点．①如图2，若，则圆心的坐标为 ，线段的长为 ；
②若，求线段的长；（2）已知，直线．①当时，若直线上存在的离点，则点纵坐标的最大值为 ；②记直线在的部分为图形，如果图形上存在的离
点，直接写出的取值范围．10．（2019秋?东城区期末）如图，在平面直角坐标系中，过外一点引它的两条切线，切点分别为，，若，则称为
的环绕点．（1）当半径为1时，①在，，中，的环绕点是 ；②直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上存在的环绕点，求的取值范围；（2）的
半径为1，圆心为，以，为圆心，为半径的所有圆构成图形，若在图形上存在的环绕点，直接写出的取值范围．11．对于给定的，我们给出如下定
义：若点是边上的一个定点，且以为圆心的半圆上的所有点都在的内部或边上，则称这样的半圆为边上的点关于的内半圆，并将半径最大的内半圆称
为点关于的最大内半圆．若点是边上的一个动点不与，重合），则在所有的点关于的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为关于的内半圆．（1）
在中，，，①如图1，点在边上，且，直接写出点关于的最大内半圆的半径长 ；②如图2，画出关于的内半圆，并直接写出它的半径长 ；（2）
在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动不与重合），将关于的内半圆半径记为，当时，求点的横坐标的取值范围．12．（2019秋
?石景山区期末）在中，是边上一点，以点为圆心，长为半径作弧，如果与边有交点（不与点重合），那么称为的外截弧．例如，右图中是的一条外
截弧．在平面直角坐标系中，已知存在外截弧，其中点的坐标为，点与坐标原点重合．（1）在点，，，中，满足条件的点是 ；（2）若点在直线
上，①求点的纵坐标的取值范围；②直接写出的外截弧所在圆的半径的取值范围．13．（2019秋?房山区期末）如图1，已知线段与点，若在
线段上存在点，满足，则称点为线段的“限距点”．（1）如图2，在平面直角坐标系（2）中，若点，①在，，中，是线段的“限距点”的是 ；
②点是直线上一点，若点是线段的“限距点”，请求出点横坐标的取值范围．（2）在平面直角坐标系中，点，，直线与轴交于点，与轴交于点．若
线段上存在线段的“限距点”，请求出的取值范围．14．（2019秋?平谷区期末）在平面直角坐标系中，有任意三角形，当这个三角形的一条
边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．（1）已知，，，，这
个点中，能与点组成“和谐三角形”的点是 ，“和谐距离”是 ；（2）连接，点，是上任意两个动点（点，不重合），点是平面内任意一点，是
以为“和谐边”的“和谐三角形”，求点的横坐标的取值范围；（3）已知的半径为2，点是上的一动点，点是平面内任意一点，是“和谐三角形”
，且“和谐距离”是2，请描述出点所在位置．15．（2018秋?房山区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接．若对于平面内一
点，线段上都存在点，使得，则称点是线段的“临近点”．（1）在点，，中，线段的“临近点”是 ；（2）若点在直线上，且是线段的“临近点
”，求的取值范围；（3）若直线上存在线段的“临近点”，求的取值范围．16．（2018秋?丰台区期末）对于平面直角坐标系中的点和，给
出如下定义：若上存在一个点，使得，则称点为的“等径点”，已知点，，，，．（1）当的半径为1时，①在点，，中，的“等径点”是 ；②作
直线，若直线上的点是的“等径点”，求的取值范围．（2）过点作交轴于点，若各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径的取值
范围．17．（2018秋?平谷区期末）顺次连接平面直角坐标系中，任意的三个点，，．如果，那么称为“黄金角”．已知：点，，，．（1）
在，，，四个点中能够围成“黄金角”的点是 ；（2）当时，直线与以为直径的圆交于点（点与点，不重合），当是“黄金角”时，求的取值范围
；（3）当时，以为直径的圆与的任一边交于点，当是“黄金角”时，求的取值范围．18．（2018秋?西城区期末）在平面直角坐标系中，对
于点和图形，如果以为端点的任意一条射线与图形最多只有一个公共点，那么称点独立于图形．（1）如图1，已知点，以原点为圆心，长为半径画
弧交轴正半轴于点．在，，，这四个点中，独立于的点是 ；（2）如图2，已知点，，，点是直线上的一个动点．若点独立于折线，求点的横坐标
的取值范围；（3）如图3，是以点为圆心，半径为1的圆．点在轴上且，以点为中心的正方形的顶点的坐标为，将正方形在轴及轴上方的部分记为
图形．若上的所有点都独立于图形，直接写出的取值范围．19．（2018秋?大兴区期末）对于平面内任意一个角的“夹线圆”，给出如下定义
：如果一个圆与这个角的两边都相切，则称这个圆为这个角的“夹线圆”．例如：在平面直角坐标系中，以点为圆心，1为半径的圆是轴与轴所构成
的直角的“夹线圆”．（1）下列各点中，可以作为轴与轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点是 ；，，，（2）若为轴和直线所构成的锐角的
“夹线圆”，且的半径为1，求点的坐标．（3）若为轴和直线所构成的锐角的“夹线圆”，且的半径，直接写出点横坐标的取值范围．20．（2
018秋?怀柔区期末）在平面直角坐标系中，点，，若线段上存在一点满足，则称点是线段的“倍分点”．（1）若点，，点是线段的“倍分点”
．①求点的坐标；②若点关于直线的对称点为，当点在第一象限时，求；（2）的圆心，半径为2，点在直线上，上存在点，使点是线段的“倍分点
”，直接写出的取值范围．21．（2018秋?通州区期末）在平面直角坐标系中，的半径为，点与圆心不重合，给出如下定义：若在上存在一点
，使，则称点为的特征点．（1）当的半径为1时，如图1①在点，，中，的特征点是 ．②点在直线上，若点为的特征点，求的取值范围．（2）
如图2，的圆心在轴上，半径为2，点，，．若线段上的所有点都是的特征点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．22．（2018秋?北京期末
）对于平面直角坐标系中的点，和图形，给出如下定义：点，都在图形上，且将点的横坐标与纵坐标互换后得到点，则称点，是图形的一对“关联点
”．例如，点和点是直线的一对关联点．（1）请写出反比例函数的图象上的一对关联点的坐标： ；（2）抛物线的对称轴为直线，与轴交于点．
点，是抛物线的一对关联点，直线与轴交于点．求，两点坐标．（3）的半径为3，点，是的一对关联点，且点的坐标为，，请直接写出的取值范围
．23．（2019?海淀区校级模拟）对于平面直角坐标系中的点和，给出如下定义：连接交于点，若点关于点的对称点在的内部，则称点是的外
应点．（1）当的半径为1时，①在点，，中，的外应点是 ；②若点为的外应点，且线段交于点，求的取值范围；（2）的圆心为，半径为1，直
线过点，与轴交于点．若线段上的所有点都是的外应点，直接写出的取值范围．24．（2018秋?东城区期末）对于平面直角坐标系中的图形及
以原点为圆心，1为半径的，给出如下定义：为图形上任意一点，为上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形到的“圆
距离”，记作（1）记线段为图形，其中，，求；（2）记函数的图象为图形，且，直接写出的取值范围；（3）记为图形，其中，，，，，且，直
接写出的值．25．（2018秋?海淀区期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，给出如下定义：以为边，按照逆时针方向排列，，，四个顶点
，作正方形，则称正方形为点，的逆序正方形．例如，当，时，点，的逆序正方形如图1所示．（1）图1中点的坐标为 ；（2）改变图1中的点
的位置，其余条件不变，则点的 坐标不变（填“横”或“纵” ，它的值为 ；（3）已知正方形为点，的逆序正方形．①判断：结论“点落在轴
上，则点落在第一象限内．” （填“正确”或“错误” ，若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；②的圆心为，半径
为1．若，，且点恰好落在上，直接写出的取值范围26．（2018秋?朝阳区期末）在平面直角坐标系中，点和图形的中间点的定义如下：是图
形上一点，若为线段的中点，则称为点和图形的中间点．，，，（1）点，①点和原点的中间点的坐标为 ；②求点和线段的中间点的横坐标的取值
范围；（2）点为直线上一点，在四边形的边上存在点和四边形的中间点，直接写出点的横坐标的取值范围．27．（2018秋?门头沟区期末）
对于平面直角坐标系中的和点，给出如下定义：如果在上存在一个动点，使得是以为底的等腰三角形，且满足底角，那么就称点为的“关联点”．（
1）当的半径为2时，①在点，，中，的“关联点”是 ；②如果点在射线上，且是的“关联点”，求点的横坐标的取值范围．（2）的圆心在轴上
，半径为4，直线与两坐标轴交于和，如果线段上的点都是的“关联点”，直接写出圆心的横坐标的取值范围．28．（2018秋?昌平区期末）
在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点在图形上，点在图形上，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，的“近距离”，记为．
特别地，当图形与图形有公共点时，．已知，，，（1）（点，点 ，（点，线段 ；（2）半径为，①当时，求与线段的“近距离” ；②若，则
．（3）为轴上一点，的半径为1，点关于轴的对称点为点，与的“近距离” ，请直接写出圆心的横坐标的取值范围．29．（2018秋?密
云区期末）在平面直角坐标系中，、分别是图形和图形上两点．若两点间有最大值，则称为图形，的“最远距离”，记作．（1）已知，，半径为2
，求．（2）半径为1，点是直线上一动点，若，求点横坐标的取值范围．（3）已知点在轴上，的半径为1，，，，若，直接写出点横坐标的取值
范围．2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：新定义参考答案一．解答题（共29小题）1．【分析】（1）①根据“达成点”的定义
即可解决问题．②过点和点作轴的平行线分别交直线于，，过点和点作轴的平行线分别交直线于，，由此即可判断．（2）当与重合，坐标为时，，
可得；当直线与相切时，设切点为，交轴于，求出点的坐标，即可判断．【解答】解：（1）①时，直线，直线与轴的交点为：，直线与轴的交点为
：，在直线的上方，不是直线的“达成点”，当时，，点在直线上，点是直线的“达成点”，点在直线的下方，把点向上平移2个长度单位为，点是
直线的“达成点”，故答案为：，；②设直线，分别与直线、、、依次交于点、、、，如图1所示：则点，，，的横坐标分别为、、、1，线段上的
点向右的方向平移与能相交，线段上的点向上的方向平移与能相交，线段和线段上的点是的“达成点”，的取值范围是或；（2）如图2所示：当与
重合，坐标为时，，；②当直线与相切时，设切点为，交轴于．由题意，在中，，，，是等腰直角三角形，；观察图象可知满足条件的的值为．【点
评】本题是圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，点为图形的“达成点”的定义、等腰直角三角形的判定与性质、切线的性质等知识，解题的关
键是理解题意，属于中考压轴题．2．【分析】（1）①过点、、分别作轴的垂线，与图象的交点分别为，，，由题意分别比较即可；②点在上，点
是的上位点，可知：点在与的交点之间运动，两图象的交点分别为，，则有；（2）当与重合时，与相切于点，，时满足条件；当与重合时，与相切
于点，时满足条件．【解答】解：（1）①过点、、分别作轴的垂线，与图象的交点分别为，，，，是上位点；，是图上点；，是上位点；故答案为
，；②点是直线的图上点，点在上． 又点是的上位点，点在与的交点之间运动．或交点分别为，，；（2）当与重合时，与相切于点，，时满足条
件；当与重合时，与相切于点，时满足条件；或．【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合；理解题意，结合所学函数知识，数形结合解题是关
键．3．【分析】（1）①根据题目中二次对称点的定义，可以求得点的坐标；②根据题目中二次对称点的定义，可以求得的值；③根据题目中二次
对称点的定义，可以求得直线的表达式；（2）根据题意可以画出相应的图形，利用分类讨论的方法即可解答本题；（3）根据题意和对称的二次对
称点的定义，根据题目中的图形，可以求得的取值范围，本题得以解决．【解答】解：（1）①点关于轴的对称点是，点关于直线的对称点是，点的
坐标为，故答案为：；②点关于轴的对称点是，点是点关于轴，直线的二次对称点，，解得，，即的值是，故答案为：；③点关于轴的对称点是，点
是点关于轴，直线的二次对称点，直线的函数解析式为，故答案为：；（2）如图2，设与轴的两个交点为，，与射线 的交点为，则的坐标为，关
于轴的对称点为，当点在的位置时，，当点在的位置时，，当点在的位置时，，当点在劣弧上时，，当点在劣弧上时，的值比1大，当到劣弧的中点
时，达到最大值（如图，，此时点对应的函数解析式为，点的坐标为，，点关于直线的对称点的坐标为，，，即的最大值为．由上可得，的取值范围
是，故答案为：；（3）轴和直线关于直线对称，如图4所示，直线和直线关于轴对称，只要与直线和有交点即可，当恰好与直线相切时，，同理可
得，当恰好与直线相切时，， 的取值范围是：．【点评】本题是一道一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、和圆有关的计算、对称变换，解
答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的方法解答．4．【分析】（1）由条件求
出的范围：，再根据各点距离点的距离，从而判断是否在此范围内即可，满足条件的即为随心点；（2）由点是的“随心点”，可根据，求出，再求
出的范围即可；（3）如图，，的半径，随心点范围可求出，分两种情况，当点在轴正半轴时，当点在轴负半轴时，求出答案即可．【解答】解：（
1）的半径，，，，，，在范围内点是的“随心点”，，，而，不在范围内，是不是的“随心点”，，，，在范围内，点是的“随心点”，，，，不
在范围内，点不是的“随心点”， 故答案为：，．（2）点是的“随心点”，即若，，若，，；（3）如图，的半径，随心点范围，，直线的解析
式为，，①点在轴正半轴时，当点是的“随心点”，此时，点，将代入直线的解析式中，解得，，即：的最小值为1，过点作于，当点是的“随心点
”时，此时，在△中，，在’中，，的最大值为，，②当点在轴负半轴时，同①的方法得出．综上所述，的取值范围是：或．【点评】本题是圆的综
合题，考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，圆的性质，解直角三角形等知识，理解“随心点”的概念是解题的关键．5．【分析】（1）
①如图1中，设交轴于，连接交于．根据图形，的“近距离”的定义计算即可．②如图2中，作于，交于．求出两种特殊位置的值即可判断．（2）
分三种情形求出经过特殊位置的的坐标即可判断．【解答】解：（1）①如图1中，设交轴于，连接交于．由题意，．故答案为1，3．②如图2中
，作于，交于．当时，，直线的解析式为，，，，，，，，根据对称性可知当时，直线与互为“可及图形”．（2）如图3中，当在轴的左侧，时，
，当在轴的右侧，作于，当时，直线交轴于，交轴于，，，，，，，，，，当点在直线的右侧时，同法可得，，观察图象可知满足条件的的值为：或
．【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置
解决数学问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6．【分析】（1）①、到的最短距离2，，、不是线段的“限距点”；当时，
到的最短距离，则是线段的“限距点”；②以为圆心，2为半径做圆，以为圆心，2为半径做圆，两圆与直线的交点为，结合图象可得；（2）如图
，以为圆心，2为半径做圆，以为圆心，2为半径做圆，两圆与直线的交点为，结合图象可求．【解答】解：（1）①当时，到的最短距离2，，不
是线段的“限距点”；当时，到的最短距离2，，不是线段的“限距点”；当时，到的最短距离，，是线段的“限距点”；故答案为；②如图：以为
圆心，2为半径做圆，以为圆心，2为半径做圆，两圆与直线的交点为，；（2）如图，以为圆心，2为半径做圆，以为圆心，2为半径做圆，两圆
与直线的交点为，．【点评】本题考查一次函数的图象及性质，新定义；理解题意，根据所给定义，结合一次函数的图象及性质，以及圆的性质解题
是关键．7．【分析】（1）①如图1，以为直径作圆，则点在圆上，则，若点在圆内，则，以，为圆心，为半径作圆，在点优弧上时，，点在优弧
内，圆外时，；以，为圆心，为半径作圆，在点优弧上时，，点在优弧内，圆外时，；分别判断点，，的位置即可求解；②观察图象可求解；（2）
分别求出直线与圆，圆相切时，的值，即可求解；（3）线段的正可视点的定义，可得线段和线段上的点为线段的正可视点，将点的坐标代入可求解
．【解答】解：（1）①如图1，以为直径作圆，则点在圆上，则，若点在圆内，则，以，为圆心，为半径作圆，在点优弧上时，，点在优弧内，圆
外时，；以，为圆心，为半径作圆，在点优弧上时，，点在优弧内，圆外时，；点，，，则点在圆外，则，，则点在圆上，则，，点在圆上，则，线
段的可视点是，，故答案为：，；②由图1可得，点的坐标：（答案不唯一，纵坐标范围：．（2）如图2，设直线与圆相切于点，交轴于点，连接
，，，，且是切线，是直径，，，，点，，当直线与圆相切同理可求：（3）如图3，作的中垂线，交于点，交于点，直线上存在线段的正可视点，
线段和线段上的点为线段的正可视点．点，，点，，点，，点，分别代入解析式可得：，，，，的取值范围：或．【点评】本题是一次函数综合题，
考查了一次函数的性质，圆的有关知识，理解线段的可视点和线段的正可视点的定义是本题的关键，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．8．
【分析】（1）由“坐标轴三角形”的定义可得出答案；（2）由条件可得，解方程即可得出的值；（3）可得直线为或，①当直线为时，当直线平
移至与相切，且切点在第四象限时，取得最小值，求出的最小值为，的最大值为，当直线平移至与相切，且切点在第二象限时，取得最大值，的最大
值为3，的最小值为，可求出范围，②当直线为时．同理可得，，当时，，当时，，可求出的取值范围是．【解答】解：（1）点，点，，，是点，
，的“坐标轴三角形”，，故答案为：．（2）点，点，点，，的“坐标三角形”的面积为3，，，或，（3）由点，，的“坐标轴三角形”为等腰
三角形可得直线为或，①当直线为时，由于点的坐标为，可得，由图可知，当直线平移至与相切，且切点在第四象限时，取得最小值．此时直线记为
，其中为切点，为直线 与轴的交点．△ 为等腰直角三角形，，的最小值为，的最大值为．当直线平移至与相切，且切点在第二象限时，取得最
大值．此时直线记为 ，其中为切点，为直线 与轴的交点．△为等腰直角三角形，．的最大值为3，的最小值为，的取值范围是，②当直线为时．
同理可得，，当时，，当时，，的取值范围是．综上所述，的取值范围是或．【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形面积，直线与圆相切，等
腰直角三角形的性质，勾股定理，“坐标轴三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用数形结合思想解决问题．9．【分析】（1）①
如图可知：，在中，，；②如图，过作轴于点，连接，，．在中，由勾股定理可得，．在中，由勾股定理可得．在中，由勾股定理可得．（2）①当
时，，，的纵坐标为4时，与圆相切，设，则圆心为，，由，可求的解析式为，点横坐标为，则，再由，得到或；②经过定点，是圆的切线，是圆的
弦，则有，当时，点的在端点和之间运动，当时，，以为圆心，长为半径的圆与轴交于点，此时，当时，，，，所以；当时，当时，，以为圆心，长
为半径的圆与轴交于点，此时，当时，，，，所以．【解答】解：（1）①如图可知：，在中，，，，故答案为；；②如图，过作轴于点，连接，．
，，．．在中，由勾股定理可得．．，，．在中，由勾股定理可得．在中，由勾股定理可得．（2）①如图1：当时，，，，的纵坐标为4时，与圆
相切，设，，，，的解析式为，点横坐标为，，，，，，或，的最大值为6；故答案为6．②，经过定点，是圆的切线，是圆的弦，，当时，点的在
端点和之间运动，当时，，以为圆心，长为半径的圆与轴交于点，此时，当时，，，，，，；当时，当时，，以为圆心，长为半径的圆与轴交于点，
此时，当时，，，，，，．【点评】本题考查圆的综合；熟练掌握圆的切线的性质，构造直角三角形，结合直线与圆的位置关系解题是关键．10．
【分析】（1）①如图，，是的两条切线，，为切点，连接，．当时，可证，以为圆心，为半径作，首先说明：当时，的环绕点在图中的圆环内部（
包括大圆设的点不包括小圆上的点）．利用这个结论解决问题即可．②如图2中，设小圆交轴的正半轴与于．求出两种特殊位置的值，结合图形根据
对称性解决问题即可．（2）如图3中，不妨设，则点在直线时，以，为圆心，为半径的与轴相切，作的切线，观察图象可知，以，为圆心，为半径
的所有圆构成图形，图形即为的内部，包括射线，上．利用（1）中结论，画出圆环，当圆环与的内部有交点时，满足条件，求出两种特殊位置的值
即可解决问题．【解答】解：（1）①如图，，是的两条切线，，为切点，连接，．当时，平分，，，，，，以为圆心，为半径作，观察图象可知：
当时，的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点）．如图1中，以为圆心2为半径作，观察图象可知，，是的环绕点，故答案
为，．②如图2中，设小圆交轴的正半轴与于．当直线经过点时，．当直线与大圆相切于（在第二象限）时，连接，由题意，，，，，，，，，解得
，观察图象可知，当时，线段上存在的环绕点，根据对称性可知：当时，线段上存在的环绕点，综上所述，满足条件的的值为或．（2）如图3中，
不妨设，则点在直线时，，点在射线上运动，作轴，，，，以，为圆心，为半径的与轴相切，作的切线，观察图象可知，以，为圆心，为半径的所有
圆构成图形，图形即为的内部，包括射线，上．当的圆心在轴的正半轴上时，假设以为圆心，2为半径的圆与射线相切于，连接．，，，是的切线，
，，，，当的圆心在轴的负半轴上时，且经过点时，，观察图象可知，当时，在图形上存在的环绕点．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线长定
理，直线与圆的位置关系，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压
轴题．11．【分析】（1）①与相切时，半径最大，所以过作于，根据等腰直角三角形可计算半径的长；②当为的中点时，关于的内半圆为，如图
2，根据等腰直角三角形可计算半径的长；（2）先根据直线确定与轴交角为，分三种情况：当点在线段上运动时不与重合），关于的内半圆是以为
圆心，分别与，相切的半圆，如图3，计算边界和1时的值；当点在的延长线上运动时，关于的内半圆是以为圆心，经过点且与相切的半圆，如图5
．当点 在的反向延长上运动时不与重合），关于的内半圆是以为圆心，经过点且与相切的半圆，先确定半径都是小于1，再计算当时，如图6，此
时对应的值，可解答．【解答】解：（1）①如图1，过作于，中，，，，，，到的距离小于到的距离，是等腰直角三角形，，即点关于的最大内半
圆的半径长是；②当为的中点时，关于的内半圆为，如图2，，同理可得：关于的内半圆半径．（2）过点作，与直线交于点，设点是上的动点，当
点在线段上运动时不与重合），关于的内半圆是以为圆心，分别与，相切的半圆，如图3，连接，直线由（1）可知：当为线段中点时，存在关于的
内半圆，当时，如图3，，此时轴，的横坐标；如图4，当与重合时，在的角平分线上，分别与，相切，此时，的横坐标；当时，的取值范围是．当
点在的延长线上运动时，关于的内半圆是以为圆心，经过点且与相切的半圆，如图5．当 时，的取值范围是．当点 在的反向延长上运动时不与重
合），关于的内半圆是以为圆心，经过点且与相切的半圆，如图6．，，，当时，如图6，过作轴于，是切点，连接，，此时，，，中，，，，，，
，，即解得：，当时，的取值范围是．综上，点在直线上运动时不与重合），当时，的取值范围是或．【点评】此题是一道一次函数和新定义的综合
题，考查了一次函数的性质，圆的切线的性质，三角形相似的性质和判定，直角三角形性质等，给出了“边上的点关于的内半圆”和“关于的内半圆
”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．12．【分析】（1）由题意得：点，点，存在外截弧，则点向作垂线时，垂足在线
段上，即可求解；（2）①设点，当时，过点作轴于点，，，即，即可求解；②如上图，当点时，；当点在直线和轴交点处时，；即可求解．【解答
】解：（1）由题意得：点，点，存在外截弧，则点向作垂线时，垂足在线段上，当点在时，点在线段上，符合条件的点还有点，故答案为：、；（
2）①点在直线上，设点，当时，过点作轴于点，如图．，，即，解得：或，故点或，，又直线与轴交于点，结合图形，可得点的纵坐标的取值范围
是：或；②如上图，当点时，；当点在直线和轴交点处时，；综上，．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相
似、新定义等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．13．【分析】（1）分别求出点，点，点到线段的最短距离，即可求解；（2）找出线
段的“限距点”的范围所形成的图形，求出直线与该图形的交点，即可求解；（3）利用数形结合思想解决问题．【解答】解：（1）①点，，，点
到线段的最短距离是，点是线段的“限距点”，点到线段的最短距离，点不是线段的“限距点”，点到线段的最短距离是，点是线段的“限距点”，
故答案为：，；②点，点为线段的“限距点”的范围是平行于且到距离为2两条线段和以点，点为圆心，2为半径的两个半圆围成的封闭式图形，如
图所示：如图3，直线与该封闭式图形的交点为，，点坐标设点，点横坐标的取值范围为：；（2）直线与轴交于点，与轴交于点．点，，点如图3
，线段的“限距点”的范围所形成的图形与线段交于点，点是线段的“限距点”，，，若线段的“限距点”的范围所形成的图形与线段相切于点，延
长交于，，，的取值范围为．【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“限距点”的定义，并能运用新定义是本题的难点．1
4．【分析】（1）根据题意利用“和谐三角形”和“和谐距离”求解；（2）根据题意画出图形即可得到结论；（3）根据题意画出图形进行分析
即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得，当，与原点构成三角形时，满足圆周角定理，即点、能与点组成“和谐三角形”，和谐距离”是，故
答案为：，；；（2）根据题意作图如图1，以为直径，线段的中点为圆心，当点在如图的所示的位置时，求得的值为：或，点的横坐标的取值范围
为：；（3）如图3，当为“和谐边”时，点在以点为圆心，为半径的圆上；当为“和谐边”时，点在以点为圆心，4为半径的圆上．【点评】本题
考查了直角三角形斜边上的中线，坐标与图形性质，正确的作出图形是解题的关键．15．【分析】（1）根据、的坐标得出轴，根据点到直线的距
离，求出当横坐标纵坐标范围内时，点是线段的“临近点”，看点的纵坐标是否在的范围内即可以及在点的左边到点的距离，或在点的右边到点的距
离，点是线段的“临近点”；（2）如图，设与轴交于，与交于，结合图形和一次函数图象上点的坐标特征来求的范围；（3）当直线与半圆相切、
与半圆相切来求的最值，从而得到的取值范围．【解答】解：（1），是线段的“临近点”．理由是：点到直线的距离，、的纵坐标都是2，轴，，
，当横坐标纵坐标范围内时，该点是线段的“临近点”，，是线段的“临近点”；，，，是线段的“临近点”．故答案为：和．（2）如图，设与轴
交于，与交于，易知，，易知的纵坐标为1，代入，可求横坐标为，．（3）当直线与半圆相切时，．当直线与半圆相切时，．．【点评】本题考查
了一次函数综合题，涉及两点间的距离公式，待定系数法求直线解析式，通过做此题培养了学生的阅读能力和计算能力，此题是一道非常好、比较典
型的题目．16．【分析】（1）①根据“等径点”的定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2倍，由此即可判定；②如图2中，
设直线交半径为2的于点，连接，作于．当点在线段上时，点是“等径点”，求出点的坐标即可解决问题；（2）因为各边上所有的点都是某个圆的
“等径点”，所以这个圆的圆心是线段的中点，易知，设这个圆的半径为．根据，构建不等式即可解决问题；【解答】解：（1）根据“等径点”的
定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2倍．即半径为1的的“等径点”在以为圆心2为半径的圆内或圆上．如图1中，观察图象
可知：在点，，中，的“等径点”是，．故答案为，；②如图2中，设直线交半径为2的于点，连接，作于．，，，，，是等边三角形，，，，，，
当点在线段上时，点是“等径点”，．（2）如图3中，是直角三角形，，，，，，由题意各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，这个圆的圆心
是线段的中点，，设这个圆的半径为．由题意：，，即这个圆的半径的取值范围为．【点评】本题属于圆综合题，考查了“等径点”的定义，解直角
三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．17．【分
析】（1）画出图形，根据“黄金角”的定义即可判断；（2）如图2中，求出直线与相切时，的值即可判断；（3）如图3中，设以为直径的圆的
圆心为．由题意可知当以为直径的圆与的边有交点时，是“黄金角”，求出两种特殊位置的值即可判断．【解答】解：（1）观察图象可知：，在，
，，四个点中能够围成“黄金角”的点是，，；故答案为，，．（2）如图2中，当直线与相切时，设直线交轴于点，交轴于点，切点为，连接．，
是切线，，，，，，，，，，把，代入，得到，观察图象可知：当直线与有交点时，是“黄金角”（点与点，不重合），．（3）如图3中，设以为
直径的圆的圆心为．由题意可知当以为直径的圆与的边有交点时，是“黄金角”，当与的边相切时，．此时，．当经过等时，连接，．设，在中，，
解得，，，，观察图象可知：当时，是“黄金角”．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用，“黄金角”的定义等知识，
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题，属于中考压轴题．18．【分析】（1）根据点独立于图形
的定义即可判断；（2）求出直线，直线与直线的交点坐标即可判断；（3）求出三种特殊位置时的值，结合图象即可解决问题；【解答】解：（1
）由题意可知：在，，，这四个点中，独立于的点是，．故答案为，．（2），，，直线的解析式为，直线的解析式为，由，解得，可得直线与直线
的交点的横坐标为，由，解得，可得直线与直线的交点的横坐标为，满足条件的点的横坐标的取值范围为：或．（3）如图中，当直线与相切于点时
，连接，则，，，，此时，当时，上的所有点都独立于图形．如图中，当线段与相切于点时，连接．，，此时，如图中，当线段与相切于点时，连接
．，，此时，当时，上的所有点都独立于图形．综上所述，满足条件的的值为或．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用
，点独立于图形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题，属于中考压轴题．19．【
分析】（1）由点的横纵坐标相等及点的横纵坐标的绝对值相等，可得出点，能作为轴与轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心；（2）过点作轴于点
，直线于点，连，设直线与轴夹角为，由直线的解析式可得出及，由与轴及直线均相切可得出，结合可求出，进而可得出点的坐标；（3）过点作轴
于点，直线于点，延长交直线于点，设直线与轴交于点，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，由，可得出，结合可得出的取值范围，
再将其代入或即可得出点横坐标的取值范围．【解答】解：（1），，点，能作为轴与轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心．（2）如图1，过点作
轴于点，直线于点，连．设直线与轴夹角为．直线的解析式为，，，．又与轴及直线均相切，平分，，又，，点坐标为；同理，当点在第三象限时，
点坐标为．（3）如图2，过点作轴于点，直线于点，延长交直线于点，设直线与轴交于点．当时，有，解得：，点的坐标为．，，，，的半径，，
，，点横坐标的取值范围为：或．【点评】本题考查了切线的性质、特殊角的三角函数值、一次函数图象点的坐标特征及解直角三角形，解题的关键
是：（1）根据“夹线圆”的定义确定可以作为“夹线圆”圆心的点；（2）利用特殊角的三角函数值求出的长度；（3）通过解直角三角形求出的
长度．20．【分析】（1）利用两点间的距离公式求出点的两个坐标，再根据比例关系即可得出结论；（2）根据对称得出的坐标，进而得出，进
而解答即可；（3）分两种情况考虑，①当在轴上方时，由“倍分点”的定义可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值；②当在轴下方时，由“
倍分点”的定义可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值．综上即可得出的取值范围．【解答】解：（1）如图1，，或或（2）直线的解析式
为，，点关于直线的对称点在轴上，，，由对称得，，点关于直线的对称点为，如图1，，（3）①当在轴上方时，的半径为2，点，，点在直线上
，点的坐标为，，点的坐标为，连接，作，，，，，，，，同理可得：②当在轴下方时，，综上所述：的取值范围为．【点评】本题考查了圆的综合
题，解题的关键是：（1）利用两点间的距离公式求出点的两个坐标；（2）根据对称得出的坐标；（3）分过点与上只有一个点的“倍分点”两种
情况找出圆心的坐标．21．【分析】（1）①根据的特征点的定义，如果为的半径），则点是的特征点；②分两种情形考虑问题：如图1中，当时
，设直线与2为半径的相切于点，与轴交于点，与轴交于点．解直角三角形求出即可，当时，根据对称性可得结论；（2）如图2中，取点，连接．
由题意满足条件点到点的距离小于等于4且点到点的距离小于等于4（点除外），由此即可解决问题；【解答】解：（1）①由题意当为的半径），
则点是的特征点，，，，，是特征点，故答案为，．①如图1中，当时，设直线与2为半径的相切于点，与轴交于点，与轴交于点．则有：，，，，
，，，，，，当时，根据对称性可知：，满足条件的的范围：．（3）如图2中，取点，连接．易知是边长为4的等边三角形，线段上的所有点都是
的特征点，点到点的距离小于等于4且点到点的距离小于等于4（点除外），点在线段上（点除外），满足条件的的值为．【点评】本题属于圆综合
题，考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，的特征点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活
运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．22．【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，即可找出结论；（2）由
抛物线的对称轴为直线及与轴交点的坐标，可求出抛物线的解析式，由关联点的定义可得出点，关于直线对称，结合点的坐标即可得出直线的解析式
，联立直线及抛物线解析式成方程组，通过解方程组即可求出点，的坐标；（3）依照题意画出图形，利用极限值法求出的取值范围．【解答】解：
（1），点，是反比例函数的图象上的一对关联点．故答案为：，．（2）抛物线的对称轴为直线，，解得：．抛物线与轴交于点，，抛物线的解析
式为．由关联点定义，可知：点，关于直线对称．又直线与轴交于点，直线的解析式为．联立直线及抛物线解析式成方程组，得：，解得：，，，两
点坐标为和．（3）由关联点定义，可知：点，关于直线对称，的圆心在直线上．的半径为3，，的取值范围为．【点评】本题考查了反比例函数图
象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解方程组以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上
点的坐标特征结合关联点的定义，找出反比例函数图象上的一对关联点；（2）联立直线与抛物线解析式成方程组，通过解方程组求出点，的坐标；
（3）依照题意画出图形，利用数形结合找出的取值范围．23．【分析】（1）①根据的外应点的定义，画出图形即可判断；②作射线，交于点，
，作点关于点的对称点，，由点为的外应点，推出点在线段上（不与，重合），由此即可解决问题；（2）求出四种特殊位置的值即可判断；【解答
】解：（1）①如图1中，根据点是的外应点定义，观察图象可知，的外应点是，．故答案为，．②作射线，交于点，，作点关于点的对称点，，点
为的外应点，点在线段上（不与，重合）．．（2）由题意，直线过点，，可得如图3中，当半径为3的经过点时，如图4中，当半径为1的与相切
于时，易知，，，，观察图象可知：当时，线段上的所有点都是的外应点如图5中，当半径为1的经过点时，如图6中，当半径为3的经过点时，易
知，观察图象可知：当时，线段上的所有点都是的外应点综上所述，满足条件的的值为：或．【点评】本题属于圆综合题，考查了圆的有关知识，点
与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．24．【分析】（1）如下图所示
，由题意得：点、点关于轴对称，即可求解；（2）如下图所示，当时，过点作，交圆于点，则：，则，即可求解；（3）分、、三种情况，求解即
可．【解答】解：（1）如下图所示由题意得：点、点关于轴对称，则：，即：；（2）如下图所示，当时，过点作，交圆于点，由题意得：，即：
，则，，即：，则，点的坐标为，，把点的坐标代入直线表达式得：，解得：，而，故：；（3）①当时，如下图所示，过点作交于点，过点作轴的
垂线交于点、交于点，则，，，即：，，由题意得：，，则：，，，解得：，②当时，同理可得：，③当时，，即当时，的值为0或或．【点评】本
题为圆的综合题，属于阅读理解型题目，关键是通过正确画图，确定图形间的位置关系．25．【分析】（1）过点作垂直轴，垂足为，证明即可；
（2）运用全等分析不变即可；（3）①举个反例即可；②先分析点的轨迹，在分析圆与其有交点即可；【解答】解：（1）如图1，过点作垂直轴
，垂足为，，，正方形，，，，，，，，，故答案为；（2），，改变图1中的点的位置，其余条件不变时，点的纵坐标总是3，故答案为：不变，
3；（3）①错误反例如图2；点在轴上，当点在第三象限；②如图3，若，时，与（1）同理可证，，，点，点在直线上，，作直线，交坐标轴与
，两点，作圆与直线相切于点，如图3，，当时，，当时，，，，，，与圆相切，，，，此时点，，当在点左侧时，，此时点，综上所述的取值范围
是．【点评】此题主要考查圆的综合问题，会构造全等三角形分析问题，会分析点的运动轨迹并运用切线求出直线与圆有交点的条件是解题的关键．
26．【分析】（1）①根据点，的坐标，利用中点坐标公式即可求出结论；②依照题意画出图形，观察图形可知点和线段的中间点所组成的图形是
线段，根据点，，的坐标，利用中点坐标公式可求出点，的坐标，进而可得出的取值范围；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标
为，依照题意画出图形，观察图形可知：点和四边形的中间点只能在边和上，当点和四边形的中间点在边上时，利用四边形的纵坐标的范围，可得出
关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围；当点和四边形的中间点在边上时，由四边形的横、纵坐标的范围，可得出关于的一元一次不等
式组，解之即可得出的取值范围．综上，此题得解．【解答】解：（1）①点的坐标为，点和原点的中间点的坐标为，，即．故答案为：．②如图1
，点和线段的中间点所组成的图形是线段．由题意可知：点为线段的中点，点为线段的中点．点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，，点和线段的中间点的横坐标的取值范围为．（2）点的横坐标为，点的坐标为．当点和四边形的中间点在边上时，有，解得：；当点
和四边形的中间点在边上时，有，解得：．综上所述：点的横坐标的取值范围为或．【点评】本题考查了中点坐标公式、一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）①利用中点坐标公式求出结论；②通过画图找出点和线段的中间点所组成的图形是线段；（2）分点和四边形的中间点在边上及点和四边形的中间点在边上两种情况，找出关于的一元一次不等式组．27．【分析】（1）①由题意可知：的“关联点”在以为圆心半径分别为1和2的圆环内部（包括大圆上的点，不包括小圆上的点），由此即可判断；②由题意可知：的“关联点”在以为圆心半径分别为1和2的圆环内部（包括大圆上的点，不包括小圆上的点），射线与该圆环交于点和，由题意易知，，，，由此即可判断；（2）求出四个特殊位置的点的坐标即可判断；【解答】解：（1）①如图1中，由题意可知：的“关联点”在以为圆心半径分别为1和2的圆环内部（包括大圆上的点，不包括小圆上的点），在点，，中，的“关联点”是和．故答案为和．②如图2中，由题意可知：的“关联点”在以为圆心半径分别为1和2的圆环内部（包括大圆上的点，不包括小圆上的点），射线与该圆环交于点和，由题意易知，，，，．（2）如图3中，当时，，此时，，当时，此时，当时，线段上的点都是的“关联点”，当点到直线的距离为2时，易知，，当时，，当时，线段上的点都是的“关联点”，综上所述，满足条件的的值的范围为：或．【点评】本题属于圆综合题，考查了的“关联点”的定义，点与圆的位置关系，一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．28．【分析】（1）图形，的“近距离”的定义可求解；（2）①过点作于点，由三角形面积公式可求的长，即可求解；②分在外，在内两种情况讨论，当在外时，由三角形面积公式可求的长，由的值，可求的值；，在内时，，可求的值；（3）由题意可求，分在内部，在外部两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解．【解答】解：（1），，（点，点（点，线段，故答案为：，2；（2）①如图，过点作于点，，，，，②，与各边都不相交，若在外，如图，过点作于点，，，，，若在内，，故答案为：（3），且点关于轴的对称点为点，点，若在内部，如图，过点作，，，，点，点若在外部，，点，点综上所述：【点评】本题属于圆的综合题，考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，一次函数的应用，图形，间的“距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．29．【分析】（1）因为，，所以，因为半径为2，所以；（2）因为，半径为1，所以，在直线上求出时对应的横坐标，结合图形，即可得出的取值范围；（3）当点在左侧时，时，即，求出的值，当点在右侧时，时，即，求出的值，结合图形，即可得出的取值范围．【解答】解：（1），，，半径为2，；（2），半径为1，，如图1，设直线与轴交于点，与轴交于点，则，，，，，设点是直线上的点，且，则为等边三角形，作于，则，结合图形，可得；（3）如图2，当点在左侧时，时，即，作轴于，，此时，点在右侧时，时，即，，此时，结合图形，可得或．【点评】本题考查新定义问题，解题的关键是正确理解“最远距离” 的概念． 1 / 1 |
|
