2019-2021北京重点校初三（上）期中数学汇编实际问题与二次函数一、单选题1．（2020·北京师大附中九年级期中）城市中“打车难”一直是
人们关注的一个社会热点问题.近几年来，“互联网＋”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用
，名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置，为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等
城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似
满足函数关系（a，b，c是常数，且≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻
t是（ ）A．4.8B．5C．5.2D．5.52．（2020·北京·北师大实验中学九年级期中）心理学家发现：课堂上，学生对概念的接
受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录
了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（ ）A．8minB．
13minC．20minD．25min3．（2021·北京八中九年级期中）如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动
点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（ ）A．B．C．D．4．（2021·北京师大附中九年级期中）北京环球国际影城霸天虎过山车
是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位
：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函
数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）A．4B．5C．7D．9二、解答题5．（2019·
北京四中九年级期中）定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．（1
）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______； （2）设点 在直线上运动：①点的相伴抛物线的
顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式．②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围．6．（2019·北京市陈经纶中
学九年级期中）如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中的曲线是抛物线的一部分，要裁出一个等边三角形，使其一个顶点与抛物线的顶点重合，另外
两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长（结果精确到，）.7．（2019·北京八中九年级期中）某商店销售一种商品，经市场调查发现
，该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）50
6080周销售量y（件）1008040周销售利润w（元）100016001600注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）（1）求y
关于x的函数解析式_____；（2）当售价是_____元/件时，周销售利润最大．8．（2020·北京师大附中九年级期中）体育测试时
，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的
水平距离为6m时，达到最大高度5m的B处（如图），问该男生把实心球扔出多远？（结果保留根号）9．（2021·北京四中九年级期中）如
图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20 m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m，这时水面宽
度为10 m.(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；(2)若洪水到来时，水位以每小时0.3 m的速度上升，从正常水位开始，持
续多少小时到达警戒线？10．（2021·北京八十中九年级期中）学校要围一个矩形花圃, 其一边利用足够长的墙, 另三边用篱笆围成,
由于园艺需要, 还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示）, 总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的
一边AB的长为x米（要求AB＜AD）, 矩形花圃ABCD 的面积为S平方米．（1）求S与之间的函数关系式, 并直接写出自变量的取值
范围；（2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大, AB边的长应为多少米？11．（2021·北京师大附中九年级期中）已知二次函数y＝x
2﹣2mx+m2+m+1，顶点为D，点A（﹣2，1），B（0，1）．（1）求顶点D的坐标（用m表示）；（2）若二次函数图象与x轴有
交点，求m的取值范围；（3）若二次函数图象与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围．12．（2019·北京八十中九年级期中）要修
建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高
度为3m，水柱落地处离中心3m．（1）在给定的坐标系中画出示意图；（2）求出水管的长度．13．（2019·北京·北师大实验中学九年
级期中）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏
距离水面4m的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）．14．（2019·北京四中九年级期中）某
文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地
看作一次函数：．（1）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为
多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？15．（2021·北京八中九年级期中）体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已
知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处点距离地面的高度为，当球运行的水平距离为时，达到最大高度的处（如图），
问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）16．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6
，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的
速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．（1）①当运动停止时，t的值为 ；②设P、C之间的距离为y，则
y与t满足 关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；（2）设△PCQ的面积为S．①求S的表达式（用含t的式子表示）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？17．（2021·北京一七一中九年级期中）如图所示的抛物线型拱桥，当拱顶离水面2
m时，水面宽4m．若受气候影响，水位发生改变，当水面宽为6m时，求此时水面到拱项的距离为多少米？18．（2021·北京·北师大实验
中学九年级期中）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次
函数关系:y＝﹣2x+140（x＞40）．(1)当x＝50时，总利润为 元；(2)若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是
；(3)若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？参考答案1．C【分析】先用待定系数
法求得函数解析式，根据二次函数的性质求得y取得最大值时x的值即可得答案．【详解】将（4，0.43）、（5，1.1）、（6，0.87
）代入解析式得：，解得： ，∴y=-0.45x2+4.72x-11.25，当x=-≈5.244时，y取得最大值，故选C．【点睛】本
题主要考查二次函数的应用，理解题意掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．2．B【分析】先利用条件求出解析式，再变式求出最值即
可解答.【详解】解：已知满足函数关系s＝at2＋bt＋c（a≠0），根据图像可知经过（0,43），（20,55），（30,31），
将已知点代入解析式得s＝－0.1＋2.6t＋43,根据函数性质得t＝－＝13时，s最大，故选B.【点睛】本题主要考察求函数最值，可
利用配方法，公式法等.3．A【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角形中位线性质
可知OE=BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可.【详解】∵，∴当时，，解得：，∴A点与B点坐标分别为：(，
0)，(3，0)，即：AO=BO=3，∴O点为AB的中点，又∵圆心C坐标为(0，4)，∴OC=4，∴BC长度=，∵O点为AB的中点
，E点为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，即：OE=BD，∵D点是圆上的动点，由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，∴B
D的最小值为4，∴OE=BD=2，即OE的最小值为2，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练
掌握相关概念是解题关键.4．C【分析】根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．【详解】解答：解：设
该抛物线的对称轴为x，由图象可得，解得6＜x＜9，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴x
的取值范围．5．（1），；（2）①抛物线的解析式为：；②【分析】（1）a=b=2，故抛物线的表达式为：y=x2-2x-2，故答案为
：y=x2-2x-2；将点A、B坐标代入y=x2+ax+b并解得：a=-2，b=-10；（2）①直线AC的表达式为：y=2x+2，
设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2，顶点为：（m，m2+2m+2），即可求解；②如图所示，Ω抛物
线落在△ABC内部为EF段，即可求解．【详解】解：（1），故抛物线的表达式为：．故答案为：；将点、坐标代入得：，解得：，．故答案为
：；（2）①由点、的坐标得：直线的表达式为：，设点，则抛物线的表达式为：，顶点为：，令，则，则即抛物线的解析式为：；②如图所示，抛
物线落在内部为段，抛物线与直线的交点为点；当时，即，解得：故点；故，由①知：，故：．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一
次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解．6．5.2dm.【分析】以抛物线的顶点O为坐标原点，过点O
作直线AB的平行线和垂线分别作为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为y=ax2（a≠0），利用已知数据求出a的值，再利
用等边三角形的性质计算即可．【详解】解：以抛物线的顶点O为坐标原点，过点O作直线AB的平行线和垂线分别作为x轴和y轴，建立平面直角
坐标系．则D（3，-6）设抛物线解析式为y=ax2（a≠0），∵D（3，-6）在抛物线上代入得：a=?，∴y=?x2，∵△ABO是
等边三角形，∴OH=BH，设B(x，?x)，∴?x=?x2，∴x1=0（舍），x2=，∴BH=，AB=3≈5.2(dm)，答：等边
三角形的边长为5.2dm【点睛】本题考查二次函数的应用及等边三角形的性质，数形结合思想解题是本题的解题关键.7．（1）y＝﹣2x+
200（2）70【分析】（1）设函数解析式为y＝kx+b，再运用待定系数法解答即可;(2)先确定进价，然后再利用销售利润＝销售量×
（售价﹣进价）确定二次函数解析式，然后再确定函数解析式即可.【详解】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，根据题意，得，解得所
以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200．故答案为y＝﹣2x+200．（2）进价为50﹣（1000÷100）＝40元每件，所以w＝
（﹣2x+200）（x﹣40）＝﹣2（x﹣70）2+1800所以当x＝70元时，周销售利润最大．故答案为70．【点睛】本题考查了一
次函数解析式和二次函数的性质，解题的关键在于对待定系数法和二次函数求最值的应用.8．．【详解】试题分析：以地面所在直线为x轴，过点
A与地面的垂线作为y轴建立平面直角坐标系如图所示．由题意可知：顶点为（6，5），设抛物线解析式为，把A的坐标代入即可求出抛物线的解
析式，令y=0，解方程即可．试题解析：以地面所在直线为x轴，过点A与地面的垂线作为y轴建立平面直角坐标系如图所示．则，，设抛物线解
析式为，∵在抛物线上，∴ 代入得：，∴， 令，∴（舍），，∴．答：该同学把实心球扔出m．考点：二次函数的应用．9．（1）y=-x2
（2）从正常水位开始，持续10小时到达警戒线【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），再根据题意得到C（-5
，-1），利用待定系数法即可得到抛物线解析式；（2）根据抛物线解析式计算出A点坐标，进而得到F点坐标，然后计算出EF的长，再算出持
续时间即可．【详解】解：（1）设所求抛物线的解析式为y＝ax2.∵CD＝10 m，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m，∴C(－5，－1
)．把点C的坐标代入y＝ax2，得a＝－，故抛物线的解析式为y＝－x2.（2）∵AB宽20 m，∴可设A(－10，b)．把点A的坐
标代入抛物线的解析式y＝－x2中，解得b＝－4，∴点A的坐标为(－10，－4)．设AB与y轴交于点F，则F(0，－4)，∴EF＝3
m.∵水位以每小时0.3 m的速度上升，∴3÷0.3＝10(时)．答：从正常水位开始，持续10小时到达警戒线．【点睛】此题主要考
查了二次函数的应用，关键是正确得到C点坐标，求出抛物线解析式．10．（1）S=-3x2+36x，0 形花圃面积最大.【分析】用面积公式列出二次函数，用二次函数的性质求出最大值．【详解】（1） （2）当且仅当时，取最大值108．
答：AB为6米时，矩形花圃面积最大．【点睛】本题主要考察的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键.11．（1）（m，m+
1）；（2）m≤﹣1；（3）﹣4≤m＜﹣1或﹣1＜m≤0．【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．（2）由抛物线开口方向和顶点
坐标可得顶点纵坐标m+1≤0时满足题意．（3）根据抛物线顶点坐标可得抛物线运动规律，通过数形结合求解．【详解】解答：解：（1）∵y
＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1，∴抛物线顶点D坐标为（m，m+1）．（2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（m，m
+1），∴当m+1≤0时，抛物线与x轴有交点，解得m≤﹣1．（3）∵抛物线顶点坐标为（m，m+1），∴抛物线顶点所在图象为直线y＝
x+1，当m＜﹣2时，抛物线对称轴在点A左侧，把A（﹣2，1）代入y＝x2﹣2mx+m2+m+1得1＝4+4m+m2+m+1，解得
m＝﹣4或m＝﹣1（舍），如图，∴m增大时，抛物线与线段有交点，当m＜0时，抛物线对称轴在点B左侧，把B（0，1）代入y＝x2﹣2
mx+m2+m+1得0＝1﹣2m+m2+m+1，解得m＝﹣1或m＝2（舍）．此时抛物线同时经过点A，B，如图，∴﹣4≤m＜﹣1满足
题意．m增大，抛物线沿直线y＝x+1移动，当抛物线经过点B时m＝0，∴﹣1＜m≤0满足题意．综上所述，﹣4≤m＜﹣1或﹣1＜m≤0
．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是根据顶点坐标找出抛物线运动规律，通过数形结合求解．12．（1）详见解析；（2）水管
长为2.25m．【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系；（2）设抛物线的解析式为y＝
a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．【详解】解：（1）建立以池中心为原点，
竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系；（2）由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解
析式为：y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），代入（3，0）求得：a＝﹣．将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（
0≤x≤3），令x＝0，则y＝＝2.25．故水管长为2.25m．【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形建立合适的
直角坐标系.13．两盏景观灯之间的水平距离2m．【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐
标为（0，5），抛物线的左端点坐标为（﹣5，0），可设抛物线的顶点式求解析式，再根据两灯的纵坐标值，求横坐标，作差即可．【详解】解
：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知点A（﹣5，0）、B（5，0）、C（0，5），设抛物线解析式为y＝ax2+5，将点A（﹣5
，0）代入，得：25a+5＝0，解得：a＝﹣，则抛物线解析式为y＝﹣x2+5，当y＝4时，﹣x2+5＝4，解得：x＝，则两盏景观灯
之间的水平距离2m．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，14．（1）w=﹣5x2+2
00x﹣1500，其中10≤x≤30；（2）x=20，w最大=500元．【分析】（1）每月销售量y=﹣5x+150，乘以每件利润(
x﹣10)即可得到每月获得的利润w元的表达式；（2）转化为二次函数求出最大值即可．【详解】（1）w=(x﹣10)(﹣5x+150)
=﹣5x2+200x﹣1500．∵，∴自变量的取值范围为10≤x≤30；∴w=﹣5x2+200x﹣1500，其中10≤x≤30；（
2）w=﹣5x2+200x﹣1500=﹣5(x﹣20)2+500∵a=﹣5＜0，∴当x=20时，w有最大值，为500元．答：当销售
单价定为20元时，每月可获得最大利润，最大利润为500元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常
利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．15．米【分析】以所在直线为轴，过点作
的垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，然后设函数解析式为，进而把点A代入求解函数解析式，最后求解问题即可．【详解】解：以所在直线为轴
，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，则有，如图所示：设函数解析式为：，则把点A代入得：，解得：，∴函数解析式为，令，则有，解得
：（舍），，所以，该同学把实心球扔出米．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．（1）①
2；②一次函数；（2）①；②，面积最大为【分析】（1）①根据运动速度，以及、的长度，即可求解；②求得与的关系式，即可求解；（2）①
求得线段、的长度，即可求得S的表达式；②根据表达式可得S与t为二次函数的关系，根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）①运动
停止时，分别到达终点点和B点，故答案为②由题意可得：，，即，∴y与t满足一次函数的关系故答案为一次函数（2）①由题意可得：，△PC
Q的面积故答案为：②由二次函数的性质可得：，开口向下，对称轴为∴当时，取得最大值，最大值为【点睛】此题考查了函数与几何的综合应用，
涉及了正比例函数的性质，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质，理解题意，找到题中的等量关系．17．4.5米【分析】根
据题意建立如图所示的平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可以求得x＝3时的点的坐标，进而即可求得答案．【详解】解
：以顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴，过顶点且垂直于对称轴的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意可得，点在此抛物线上，则，解得，，当时，，∵，∴此时水面到拱项的距离为4.5米．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．18．(1)（元）；(2)；(3)销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元【分析】（1）将代入一次函数解析式可得销售量，然后根据每件的利润乘以数量即为总利润即可得；（2）根据利润=销售数量×每件的利润可得，把代入整理即可得w与x的函数关系式；（3）由每天的销售量不少于38件，可得，进而可求出；根据（2）中结论整理为顶点式，根据二次函数的基本性质可得，当时，w随x的增大而增大，所以当时，w有最大值，代入求解即可得．(1)解：当时，，∴销售量为40件，利润为：（元），故答案为：400；(2)解：由题意得：，，，∴w与x的函数关系式为，故答案为：；(3)解：∵，∴，解得：；，∵，∴当时，w随x的增大而增大，∵，∴当时，w有最大值，最大值为：（元），∴销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及二次函数求最值问题的知识，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 1 / 1 |
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