2019北京八中初三（上）期中
数 学
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣1的对称轴是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2
2．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB＝70°，则∠ACB的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
3．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＞0
4．（3分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
5．（3分）将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+1 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3
6．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≠0 B．k≥﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
7．（3分）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的半径是（ ）
A．3cm B．3cm C．6cm D．6cm
8．（3分）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表
x …… ﹣1 0 2 4 5 …… y1 …… 0 1 3 5 6 …… y2 …… 0 ﹣1 0 5 9 …… 当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞5 D．x＜﹣1或x＞4
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是（ ）
A．点P和Q B．点P和M C．点P和N D．点M和N
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
二、填空题（每题2分，共16分）
11．（2分）老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：抛物线开口向下；
已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 ．
12．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为 ．
13．（2分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为 °．
14．（2分）如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
15．（2分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是 ．
16．（2分）如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为 ．
17．（2分）某商店销售一种商品，经市场调査发现，该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 50 60 80 周销售量y（件） 100 80 40 周销售利润w（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数解析式 ；
（2）当售价是 元/件时，周销售利润最大．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．
三、解答题（19-25每题5分，26、27每题6分，28题7分）
19．（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
③连接并延长BA与⊙A交于点C；
④作直线PC；
则直线PC即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（ ）（填推理的依据）．
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
20．（5分）关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
21．（5分）函数y＝mx2﹣2mx﹣3m是二次函数．
（1）二次函数的对称轴 ；
（2）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝ ．
（3）在给定的坐标系中画出（2）中二次函数的图象．
x … … y … …
22．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．
23．（5分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．三角形ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的弧EF与BC相切于格点D，分别交AB，AC于点E，F．
（1）直接写出三角形ABC边长AB＝ ；AC＝ ；BC＝ ．
（2）求图中由线段EB，BC，CF及弧FE所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
24．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作?GDEC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．
25．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4cm．动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E．设AE长为xcm，BD长为ycm（当D与A重合时，y＝4；当D与B重合时y＝0）．
小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小云的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 y/cm 4 3.5 3.2 t 2.8 2.1 1.4 0.7 0 补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈ ．
（2）在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DB＝AE时，AE的长度约为 cm．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝nx2﹣4nx+4n﹣1（n≠0），与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），与y轴交于点A．
（1）求抛物线顶点M的坐标；
（2）若点A的坐标为（0，3），AB∥x轴，交抛物线于点B，求点B的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线在B，C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G，若直线y＝x+m与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围．
27．（6分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．
（1）在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y''），给出如下定义：
若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点“
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的”可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为 ；
（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y''是7，求“可控变点”Q的横坐标：
（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y''的取值范围是﹣16≤y''≤16，直接写出实数a的值．
2019北京八中初三（上）期中数学
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决．
【解答】解：抛物线y＝（x+2）2﹣1的对称轴是直线x＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB，即可计算出∠ACB．
【解答】解：∵∠AOB＝70°，
∴∠ACB＝∠AOB＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
3．【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
5．【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣4x+1
＝（x2﹣4x+4）+1﹣4
＝（x﹣2）2﹣3．
所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
6．【分析】由原方程有两个实数根可得出△≥0且二次项系数非0，由此即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，
∴，即，
解得：k≥﹣1且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是依照题意得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
7．【分析】先画图，根据题意求出∠OAB＝60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的半径．
【解答】解：设圆心为O，
∵∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴∠OAB＝∠CAB＝60°，
∵AB＝3cm，
∴OA＝6cm，
∴由勾股定理得OB＝3cm，
∴光盘的半径是3cm．
故选：B．
【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
8．【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），﹣1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．
【解答】解：∵当x＝0时，y1＝y2＝0；当x＝4时，y1＝y2＝5；
∴直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），
而﹣1＜x＜4时，y1＞y2，
∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
9．【分析】分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，即可得到满足到点O和点A的距离都小于2的点．
【解答】解：如图，分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，
可得满足到点O和点A的距离都小于2的点是点M与点N，
故选：D．
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系以及点的坐标，解题时注意：当点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径．
10．【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．
【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0，有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），
∴方程的另一个根为x＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．
二、填空题（每题2分，共16分）
11．【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式形为y＝a（x﹣h）2，且a＜0，h≠0，据此可得．
【解答】解：根据题意知，满足上述所有性质的二次函数可以是：y＝﹣（x﹣1）2，
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及及其解析式．
12．【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可．
【解答】解：连接OD，
∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，
∴DE＝CE＝CD＝×8＝4，∠OED＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝5，
即⊙O的半径为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键．
13．【分析】先根据AB＝CD．C是的中点，得到＝＝，再由圆周角定理得到∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣50°×2）＝40°，最后根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵C是的中点，AB＝CD．
∴＝＝，
∵∠ODC＝50°，
∴∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣2∠ODC）＝×（180°﹣50°×2）＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°．
故答案为：100．
【点评】本题考查了圆的有关性质．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．【分析】根据图象得出取值范围即可．
【解答】解：因为直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，
所以当y1＞y2时，﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2
【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．
15．【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO＝DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．
【解答】解：∵∠AOC的度数为105°，
由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°，
∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，
∵△AOD中，AO＝DO，
∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，
∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，
由旋转可得，∠C＝∠B＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．
16．【分析】线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，根据切线的性质得OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，利用直角三角形30度的判定或三角函数求出∠OAC′＝30°，从而得到∠BAB′＝60°，同理可得∠OAC″＝30°，则∠BAB″＝120°．
【解答】解：线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，
则OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，
在Rt△OAC′中，∵OC′＝1，OA＝2，
∴∠OAC′＝30°，
∴∠BAB′＝60°，
同理可得∠OAC″＝30°，
∴∠BAB″＝120°，
综上所述，α的值为60°或120°．
故答案为60°或120°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质和直角三角形的性质．
17．【分析】（1）根据表格中的数据代入一次函数解析式即可；
（2）根据销售问题的关系式列出二次函数即可求解．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
，解得
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200．
故答案为y＝﹣2x+200．
（2）进价为50﹣（1000÷100）＝40元每件，
所以w＝（﹣2x+200）（x﹣40）
＝﹣2（x﹣70）2+1800
所以当x＝70元时，周销售利润最大．
故答案为70．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解决本题的关键是掌握函数相关问题．
18．【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ＝，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．
【解答】解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ＝＝，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为＝．
故答案为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
三、解答题（19-25每题5分，26、27每题6分，28题7分）
19．【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠BPC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC＝90°（圆周角定理），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．
故答案为：圆周角定理，切线的判定．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
20．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于k的不等式，解之可得；
（2）由所得k的范围，结合k为负整数得出k的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）由题意知，△＞0，
则（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
解得：k＞﹣；
（2）∵k为负整数，
∴k＝﹣1，
则方程为x2﹣x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△＝4k+5＞0；（2）将k＝﹣1代入原方程，利用因式分解法解方程．
21．【分析】（1）根据x＝﹣，计算即可；
（2）将（0，3）代入y＝mx2﹣2mx﹣3m，解方程即可；
（3）列表计算，然后画图即可．
【解答】解：（1）二次函数的对称轴为x＝﹣＝1
故答案为：x＝1；
（2）将（0，3）代入y＝mx2﹣2mx﹣3m得：﹣3m＝3
∴m＝﹣1
故答案为：﹣1；
（3）列表如下：
画图如下：
【点评】本题考查了二次函数的性质，明确二次函数的性质、数形结合是解题的关键．
22．【分析】（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM＝CM＝2，根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC＝∠MCO＝45°，求得∠AOC＝90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，
∵AC＝4，
∴AM＝CM＝2，
∵OC＝4，
∴OM＝＝2；
（2）连接OA，
∵OM＝MC，∠OMC＝90°，
∴∠MOC＝∠MCO＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAM＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝135°．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．【分析】（1）根据勾股定理即可求得；
（2）根据勾股定理求得AD，由（1）得，AB2+AC2＝BC2，则∠BAC＝90°，根据S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF即可求得．
【解答】解：（1）AB＝＝2，
AC＝＝2，
BC＝＝4；
故答案为：2，2，4；
（2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
连接AD，AD＝＝2，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF＝AB?AC﹣π?AD2＝20﹣5π．
【点评】本题考查了勾股定理和扇形面积的计算，证得△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．
24．【分析】（1）连接OD，求得∠ABC＝45°，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠ABC＝90°，根据平行四边形的性质得到DE∥CG，得到∠EDO+∠COD＝180°，推出OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接OB，由点B是的中点，得到＝，求得∠BOC＝∠BOD，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）DE是⊙O的切线；
理由：连接OD，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠ABC＝45°，
∴∠COD＝2∠ABC＝90°，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴DE∥CG，
∴∠EDO+∠COD＝180°，
∴∠EDO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接OB，
∵点B是的中点，
∴＝，
∴∠BOC＝∠BOD，
∵∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，
∴的长＝＝π．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
25．【分析】（1）按题意，认真测量即可；
（2）利用数据描点、连线；
（3）当DB＝AE时，y＝x，画图形测量交点横坐标即可．
【解答】解：（1）根据题意量取数据为2.9
故答案为：2.9
（2）根据已知数据描点连线得：
（3）当DB＝AE时，y与x满足y＝x，在（2）图中，画y＝x图象，测量交点横坐标为2.3．
故答案为：2.3
【点评】本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．
26．【分析】（1）利用配方法将已知函数解析式转化为顶点式方程，可以直接得到答案．．
（2）根据抛物线的对称性质解答；
（3）利用待定系数法求得抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3．根据题意作出图象G，结合图象求得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝nx2﹣4nx+4n﹣1＝n（x2﹣2）2﹣1，
∴该抛物线的顶点M的坐标为（2，﹣1）；
（2）由（1）知，该抛物线的顶点M的坐标为（2，﹣1）；
∴该抛物线的对称轴直线是x＝2，
∵点A的坐标为（0，3），AB∥x轴，交抛物线于点B，
∴点A与点B关于直线x＝2对称，
∴B（4，3）；
（3）∵抛物线y＝nx2﹣4nx+4n﹣1与y轴交于点A（0，3），
∴4n﹣1＝3．
∴n＝1．
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3．
∴抛物线G的解析式为：y＝x2+4x+3
由x+m＝x2+4x+3．
由△＝0，得：m＝﹣
∵抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴的交点C的坐标为（1，0），
∴点C关于y轴的对称点C1的坐标为（﹣1，0）．
把（﹣1，0）代入y＝x+m，得：m＝．
把（﹣4，3）代入y＝x+m，得：m＝5．
∴所求m的取值范围是m＝﹣或＜m≤5．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，画出函数G的图象是解题的关键．
27．【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．
②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2＝AD2﹣DM2，计算即可，当∠ADM＝90°时，根据AM2＝AD2+DM2，计算即可．
（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2＝CD1即可．
【解答】解：（1）①AM＝AD+DM＝40，或AM＝AD﹣DM＝20．
②显然∠MAD不能为直角．
当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800，
∴AM＝20或（﹣20舍弃）．
当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000，
∴AM＝10或（﹣10舍弃）．
综上所述，满足条件的AM的值为20或10．
（2）如图2中，连接CD．
由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，
∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30，
∵∠AD2C＝135°，
∴∠CD2D1＝90°，
∴CD1＝＝30，
∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2，
∴∠BAD2＝∠CAD1，
∵AB＝AC，AD2＝AD1，
∴△BAD2≌△CAD1（SAS），
∴BD2＝CD1＝30．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．【分析】（1）根据可控变点的定义，可得答案
（2）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案
（3）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案
【解答】解（1）∵﹣5＜0
∴y''＝﹣y＝2
即点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2）
（2）由题意得y＝﹣x2+16的图象上的点P的“可控变点”必在函数
y′＝的图象上，
∵“可控变点”Q的纵坐标y′的是7
∴当﹣x2+16＝7时，解得x＝3，
当x2﹣16＝7时，解得x＝﹣
故答案为：3或﹣
（3）由题意得∵﹣16≤y′≤16，
∴﹣16＝﹣x2+16
∴x＝4
观察图象可知，实数a＝4．
【点评】本题是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案
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