2019北京初三数学一模汇编：几何综合一．解答题（共17小题）1．如图， 在正方形中，为边上一点， 连接，将绕点逆时针旋转得到，作点关于的对
称点， 记为点，连接．（1） 依题意在图 1 中补全图形；（2） 连接，，判断与的位置关系并在图 2 中加以证明；（3） 当点为线
段的中点时， 直接写出的正切值 ．2．（2019?丰台区一模）在中，，，为的中点，点为延长线上一点，连接，过点作交的延长线于点．（
1）求证：；（2）若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．3．正方形的边长为3，点，分别在射线，上运动，且．连接，作所在直线于点，
连接．（1）如图1，若点是的中点，与之间的数量关系是 ；（2）如图2，当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立
给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点，分别在射线，上运动时，连接，过点作直线的垂线，交直线于点，连接，请直接写出线段长
的最大值．4．（2019?朝阳区一模）如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，且．（1）依题意补全图形；（2）求满足条件的
的值；（3）若，求的长．5．（2019?大兴区一模）在中，，．点为线段上一个动点（点不与点，重合），连接，点在射线上，连接，使得．
作点关于直线的对称点，连接，．（1）依题意补全图形；（2）求证：；（3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．6．（2019?
西城区一模）如图，在中，，．将线段绕点逆时针旋转得到线段，是边上的一动点，连接交于点，连接．（1）求证：；（2）点在边上，且，连接
交于点．①判断与的位置关系，并证明你的结论；②连接．若，请直接写出线段长度的最小值．7．（2019?怀柔区一模）如图，等边中，是上
一点，过点作于点，作于点，是的中点，连接，．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段，与的数量关系，并加以证明；（3）求证：．8
．（2019?海淀区一模）如图，在等腰直角中，，是线段上一点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．（1）依题意补全
图形；（2）若，求的大小（用含的式子表示）；（3）若点在线段上，，连接．①判断与的位置关系并证明；②用等式表示、、之间的数量关系为
．9．如图1，在菱形中，对角线与相交于点，，，在菱形的外部以为边作等边三角形．点是对角线上一动点（点不与点重合），将线段绕点顺时
针方向旋转得到线段，连接．（1）求的长；（2）如图2，当点在线段上，且点，，三点在同一条直线上时，求证：；（3）连接，若的面积为4
0，请直接写出的周长．10．（1）问题发现如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．填空：①的度数为 ；②线段，之间的数
量关系为 ．（2）拓展探究如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量
关系，并说明理由．11．（2019?通州区一模）如图，在等边中，点是线段上一点．作射线，点关于射线的对称点为．连接并延长，交射线于
点．（1）设，用表示的度数；（2）用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．12．（2019?房山区一模）已知：中，，．（1）如图
1，点是边上一点（不与点，重合），连接，过点作，交的延长线于点，连接．若，求的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，点在线段的延长
线上时，连接，过点作，垂足在线段上，连接．①依题意补全图2；②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明．13．（2019?门头沟区
一模）如图，，为的平分线，点为上一个动点，过点作射线交于点．以点为旋转中心，将射线沿逆时针方向旋转，交于点．（1）根据题意补全图1
，并证明；（2）如图1，如果点在边上，用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明；（3）如图2，如果点在边的反向延长线上，直接写出线
段，和之间的数量关系．14．（2019?延庆区一模）已知：四边形中，，，，对角线、相交于点，且平分，过点作，垂足为．（1）求证：；
（2）判断线段、、之间的数量关系，并证明．15．（2019?平谷区一模）在中，，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于．（1）若，
直接写出的度数（用含的代数式表示）；（2）求，，之间的数量关系；（3）当时，直接写出，的关系．16．（2019?石景山区一模）如图
，在等边中，为边的延长线上一点，平移线段，使点移动到点，得到线段，为的中点，过点作的垂线，交于点，交于点．（1）依题意补全图形；（
2）求证：；（3）连接并延长交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．17．（2019?顺义区一模）已知：如图，在中，，，点是边
上一点，且，过点作于点，与交于点．（1）若，求的大小（用含的式子表示）；（2）求证：；（3）用等式直接表示线段与的数量关系．201
9北京初三数学一模汇编：几何综合参考答案一．解答题（共17小题）1．【分析】（1） 根据对称画出图形即可；（2） 先利用旋转判断出
点，，在一条直线上， 进而利用轴对称得出即可；（3） 先构造出直角三角形， 再利用勾股定理即可表示出，即可得出结论 ．【解答】解：
（1） 依题意补全图形如图（2） 结论：．证明： 如图 2 ，，交于，正方形，，，由旋转可得，，，点，，在一条直线上 ．点与点关
于的对称，，，，于．（3） 如图 3 ，过作于，由 （2） 知，，设，，，在中，，，在中，，设，，在中，，，在中，，，，在中，．即
：的正切值为．【点评】本题考查了正方形的性质， 全等三角形的判定定理和性质定理以及对称的性质， 解决本题的关键是利用正方形的性质得
到相等的边和相等的角， 证明三角形全等， 作出辅助线也是解决本题的关键 ．2．【分析】（1）连接，由等腰直角的中线得；等腰直角顶角
平分线和底角，与互为邻补角，由，，计算出；；等量代换得，从而证明，最后根据全等三角形的性质求．（2）连接，在中，点和分别是和的中点
，得到，在（1）基础上易证，．计算出线段的长度与线段的关系，即求出线段与线段的关系．【解答】解：（1）如图1所示：连接，与相交于点
，在中，为中点，，又，，，，，，，，，，，，又；，，在和中，，．（2）如图2所示线段与的数量关系：．连接，设，则．，．，，，又，，
，，，在中，由勾股定理得：，，，．即．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，两角互余（余角的性质），等腰直角三角形的性质，三
角形的中线和中位线，勾股定理等知识，重点是掌握证明三角形全等的方法，难点是作辅助线构建并证明全等三角形，构建直角三角形求线段长度找
等量关系，3．【分析】（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；然后根据，，可得、两点都在以为直径的圆上，判断出，即
可判断出，最后根据，判断出即可．（2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；然后根据，，可得、两点都在以为直径的圆上，
判断出，即可判断出，最后根据，判断出即可．（3）首先根据三角形三边的关系，可得，据此判断出当、、三点共线时，的长最大；然后根据全等
三角形判定的方法，判断出，即可判断出，再根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；最后根据，求出线段长的最大值是多少即可．【解
答】解：（1）如图1，连接，，在正方形中，，，点是的中点，，点是的中点，，在和中，，，，，、两点都在以为直径的圆上，，，，，，，又
，．故答案为：．（2）当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论仍然成立．如图2，连接，，在正方形中，，，，，，在和中，，，，，、两
点都在以为直径的圆上，，，，，，，又，．（3）如图3，，，当、、三点共线时，的长最大，，，，，，，在和中，，，在和中，，又，，，，
，，即线段长的最大值是．【点评】（1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．（2）
此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及正方形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了线段长度的最大值的求法，要熟练掌握
．4．【分析】（1）根据要求好像图形即可．（2）分两种情形分别求解即可．（3）解直角三角形求出，即可解决问题．【解答】解：（1）满
足条件的点和如图所示．（2）作于，于．则四边形是矩形．，，，，，，，，，，，，满足条件的的值为或．（3）由题意，，，，，．【点评】
本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．，属于中考常考题型
．5．【分析】（1）根据题意作图即可；（2）由，知，结合知，根据是的一个外角得，，由点关于直线的对称点知，从而得出答案；（3）的平
行线交于点，由，知，得出，再证，得，据此知，结合可得答案．【解答】解：（1）如图所示：（2）证明：，，，，，，是的一个外角，，，点
关于直线的对称点，，；（3）线段，，之间的数量关系是，证明：过点作的平行线交于点，，，，，，点关于直线的对称点，，，，，，，，，，
，又，．【点评】本题主要是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角性质、全等三角形的判定与性质及轴
对称的性质等知识点．6．【分析】（1）证明即可解决问题．（2）①首先证明四边形是正方形，再证明即可解决问题．②如图3中，取的中点，
连接，．理由三角形的三边关系解决问题即可．【解答】（1）证明：如图1中，，，，线段绕点逆时针旋转得到线段，，，，，，．（2）①解：
结论：．理由：如图2中，连接．，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，．②如图3中
，取的中点，连接，．，，，在中，，，，的最小值为．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质
，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．7．【分析
】（1）根据题目要求，依据垂线和中点的概念作图即可得；（2）由是等边三角形知．结合，得，据此知，，再根据可得答案；（3）取中点，连
接．知，．据此得．从而知，，．根据得．据此知．即可证得出答案．【解答】解：（1）补全图形如图：（2）线段， 与 的数量关系是：，是
等边三角形，．，，，，．；（3）取中点，连接．．．．．，，．，．．．．【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形和
直角三角形的性质、中位线定理及全等三角形的判定与性质等知识点．8．【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；（2）根据等腰直角三角形
的性质进行解答即可；（3）①根据全等三角形的判定和性质以及垂直的判定解答即可；②根据勾股定理解答即可．【解答】解：（1）补全图形，
如图所示：（2），，，，，交的延长线于点，，，，；（3）①与的位置关系：，证明如下：连接交于点，延长交于点，如图2，，，，，，，，
，，，，，；②，，由勾股定理可得：，，，，、、之间的数量关系为：，故答案为：，【点评】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的
判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．9．【分析】（1）在中，利用勾股定理求解，（2）由四边形是菱形，求出为等
边三角形，，再求出，在中，求出．（3）求出，利用的面积为40求出，在利用勾股定理，得出的周长为．【解答】解：（1）四边形是菱形，，
，，，在中，，．（2）如图2，四边形是菱形，垂直平分，，，由已知，，为等边三角形，，点，，三点在同一条直线上，，，，在中，，．（3
）如图，连接，是等边三角形，，，由（2）知为等边三角形，，，，在和中，，，的面积为40，的高为，，，的周长为．【点评】本题主要考查
四边形的综合题，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质及菱形的性质．10．【分析】（1）易证，即可求证，根据全等三角形对应边相等可求
得，根据全等三角形对应角相等即可求得的大小；（2）易证，可得，进而可以求得，即可求得，即可解题．【解答】解：（1），，，在和中，，
，，，；（2），，理由：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，．在和中，，，，．为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，．，．，，．
，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键．11．【分析】（1
）连接．根据，求出，即可．（2）结论：．如图，作交于点，连接．证明即可解决问题．【解答】解：（1）连接．点关于射线的对称点为，，，
是等边三角形，，，，，，．（2）结论：．证明：如图，作交于点，连接．，，，是等边三角形，，是等边三角形，，，，在和中，，．，点关于
射线的对称点为，，，．【点评】本题考查作图轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造全等三角形解决问题．12．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，求出．再根据三角形内角和定理得出即可；（2）①依题意补
全图形即可；②猜想：当在边的延长线上时，；过点作，交的延长线于点，证出，，由证明，得出，．得出是等腰直角三角形，由勾股定理得出，即
可得出结论．【解答】解：（1），，，，．，，，；（2）①补全图形，如图2所示：②猜想：当在边的延长线上时，；理由如下：过点作，交的
延长线于点，如图3所示：则，，，，即，，，，在和中，，，，．，是等腰直角三角形，，即．．【点评】本题是三角形综合题目，考查了等腰直
角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，通过作辅助线证
明三角形全等是解题关键．13．【分析】（1）根据题意画出图形，证明即可．（2）结论：线段，和之间的数量关系是．利用等腰直角三角形以
及全等三角形的性质即可解决问题．（3）结论；线段，和之间的数量关系是．证明方法类似．【解答】解：（1）补全图形（如图；理由：如图1
中，作交于，又平分，，，又，，，．，，（2）结论：线段，和之间的数量关系是．理由：如图1中，，．又，又，．（3）结论：线段，和之间
的数量关系是．理由：如图1中，作交于，又平分，，，又，，，，，，，．又，又，．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判
定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．14．【分析】（1）
先证明是等边三角形，再证明，最后根据三角形内角和定理证明；（2）如图，在上截取．先证明，得出，，再证明，得出，即可解决问题．【解答
】证明：（1），，是等边三角形，，，，平分，，，，，，，．（2）结论：．证明：如图，在上截取．，，，，，，，，，，，，，，．【点评
】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，构造全等三角形解决问题．15．【分析】（1）证是等边三角形，由三角形内角和可得出结论；（2）如图1，延长使，连接．可证，得出
；（3）如图2，当时，，，则垂直平分，可得．【解答】解：（1）线段绕点逆时针旋转得到线段，是等边三角形，，，，，即．（2）．如图1
，延长使，连接．由（1）知是等边三角形，．，．．．．（3）如图2，，的数量关系是：；位置关系是：于点．理由如下：，，，，，垂直平分
，，，，．【点评】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．16．【分析】（1
）补全的图形如图1所示；（2）根据直角三角形30度角的性质得：，得，可得结论；（3）作辅助线，证明四边形是平行四边形和，可得结论．
【解答】解：（1）补全的图形如图1所示．（2）证明：是等边三角形，．．由平移可知，．．，如图1，．，．．（3）线段与的数量关系：．证明：如图2，连接，．，，四边形是平行四边形．，．垂直平分，．．，，．．，．．，．【点评】本题考查平移变换、等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键灵活应用所学知识解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．17．【分析】（1）过点作于点，由等腰三角形的性质得出，求出，即可得出结论；（2）由直角三角形的性质得出，证出，即可得出结论；（3）过点作于点，则，是等腰直角三角形，得出，证明，得出，即可得出结论．【解答】（1）解：过点作于点，如图1所示：，，，于点，，，即；（2）证明：，，，，，，，，；（3）解：；理由如下：过点作于点，如图2所示：则，是等腰直角三角形，，在和中，，，，，．【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 1 / 1 |
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