2019北京房山初三（上）期末数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（ ）A. （1
，3）B. （﹣1，3）C. （1，﹣3）D. （﹣1，﹣3）2. 如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．则△CMN与
△CAB的面积之比是( )A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 1:93. 如图，在⊙O中，A，B，D为⊙O上的点，∠AO
B＝52°，则∠ADB的度数是（ ）A. 104°B. 52°C. 38°D. 26°4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若，
AE＝1，则EC等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，则△PAO的面
积为( )A. 1B. 2C. 4D. 66. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2,BD=3,则AC长为( )
A. B. C. D. 67. 抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围为（ ）A. m＞1B. m＝1C. m
＜1D. m＜48. 已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数y2＝kx＋n(k≠0)的图象如图所示，下面有四个推断
:①二次函数y1有最大值②二次函数y1的图象关于直线对称③当时，二次函数y1的值大于0④过动点P(m，0)且垂直于x轴的直线与y1
，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜-3或m＞-1．其中正确是( ) A. ①③B. ①
④C. ②③D. ②④二、填空题(本题共16分，每小题2分)9. 已知点A(1，a)在反比例函数的图象上，则a的值为_______
．10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式：_______．11. 如图，在中，半径垂直于，则的半径
是_____．12. 把二次函数化为的形式，那么=_____.13. 如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：_________
_______，使△ABC∽△ADE．14. 若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为_______．15. 为
测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上
．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高
度为_____米．16. 如图1，将一个量角器与一张等边三角形(△ABC)纸片放置成轴对称图形，CD⊥AB,垂足为D，半圆(量角器
)的圆心与点D重合，此时，测得顶点C到量角器最高点的距离CE＝2cm，将量角器沿DC方向平移1cm，半圆(量角器)恰与△ABC的边
AC，BC相切，如图2,则AB的长为__________cm. 三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－2
6题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17. 计算：.18. 下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过
程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于
点A，B；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直
线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵QA
＝ ，PA＝ ，∴PQ⊥l （ ）（填推理依据）．19. 如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△A
BC，且A，B，C三点均在小正方形的顶点上，试在这个网格上画一个与△ABC相似的△A1B1C1，要求：A1，B1，C1三点都在小正
方形的顶点上，并直接写出△A1B1C1的面积．20. 如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC．已知A(﹣2，0)，B(6
，0)，D(0，3)，函数y＝(x＞0)的图象G经过点C．(1)求点C的坐标和函数y＝(x＞0)的表达式；(2)将四边形ABCD向
上平移2个单位得到四边形A''B''C''D''，问点B''否落在图象G上？21. 小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x
(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．（1）请直接写
出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?22. 如图，
在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．(1)求cos∠ADE的值；(2)当DE=
DC时，求AD长． 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别交于M，N两点，已知点M(-2，m). (1)求反比例函数表
达式；(2)点P为y轴上的一点，当∠MPN为直角时，直接写出点P的坐标．24. 如图，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C为切点，连
接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接BE，连接AO．（1）求证：AO∥BE；（2）若DE＝2，tan∠BEO＝，求DO的长
．25. 如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cosA=．（1）求线
段CD的长；（2）求sin∠DBE的值．26. 在平面直角坐标系中，点，将点A向右平移6个单位长度，得到点B.(1)直接写出点B的
坐标；(2)若抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B，求抛物线的表达式；(3)若抛物线y=-x2+bx+c的顶点在直线y=x+2上
移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标的取值范围．27. 如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AD
平分∠BAC， 作AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC于点H．(1)依题意补全图形；(2)
求证：∠BAD=∠BFG；(3)试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明．28. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，2
)，B(3，2)，连接AB. 若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“临近点”． (1)在点
C(0，2)，D(2，)，E(4，1)中，线段AB的“临近点”是__________；(2)若点M(m，n)在直线上，且是线段AB
的“临近点”，求m的取值范围；(3)若直线上存在线段AB的“临近点”，求b的取值范围.参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分
）1. 二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（ ）A. （1，3）B. （﹣1，3）C. （1，﹣3）D. （﹣1，﹣3）【
答案】C【解析】【分析】根据抛物线y=a(x?h)2+k的顶点坐标是(h,k)直接写出即可．【详解】抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的顶
点坐标是(1,?3) 故答案为：C【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握抛物线的顶点求解方法，既会运用顶点式，又要会用公
式法．2. 如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．则△CMN与△CAB的面积之比是( )A. 1:2B. 1:3C
. 1:4D. 1:9【答案】C【解析】【分析】由M、N分别为AC、BC的中点可得出MN∥AB，AB＝2MN，进而可得出△ABC∽
△MNC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵M、N分别为AC、BC的中点，∴MN∥AB，且AB＝2MN，∴△ABC∽△M
NC，∴（）2＝．故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定
理找出△ABC∽△MNC是解题的关键．3. 如图，在⊙O中，A，B，D为⊙O上的点，∠AOB＝52°，则∠ADB的度数是（ ）A
. 104°B. 52°C. 38°D. 26°【答案】D【解析】【分析】根据圆周角定理求解即可．【详解】由圆周角定理可得：∠AD
B=∠AOB＝×52°＝26°．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理的内容是解题的关键．4. 如图，在△ABC中，
DE∥BC，若，AE＝1，则EC等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得
到比例式，代入计算即可．【详解】∵DE∥BC，∴，即，解得：AC＝3，∴EC=AC－AE=3-1=2．故选B．【点睛】本题考查了平
行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5. 如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，则△PAO的
面积为( )A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，△PAO的面积|k|，
即可得出结论．【详解】依据比例系数k的几何意义可得：△PAO的面积|k|==1．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数y中k的几何意
义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|．6. 如图，在△ABC中，∠AC
D=∠B，若AD=2,BD=3,则AC长为( )A. B. C. D. 6【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成
比例得出AC：AB＝AD：AC，即AC2＝AB?AD，将数值代入计算即可求出AC的长．【详解】在△ADC和△ACB中，∵∠ACD＝
∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB（两角对应相等，两三角形相似）；∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AB?AD．∵AD＝2，
AB＝AD+BD＝2+3＝5，∴AC2＝5×2＝10，∴AC．故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：①
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）；②相似三角形的对应
边成比例．7. 抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围为（ ）A. m＞1B. m＝1C. m＜1D. m＜4
【答案】C【解析】【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数与△的关系求出即可．【详解】∵抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，∴b
2﹣4ac＝4﹣4m＞0，解得：m＜1．故选C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点，正确把握抛物线与x轴交点个数与△的关系是解题的
关键．8. 已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数y2＝kx＋n(k≠0)的图象如图所示，下面有四个推断:①二次函
数y1有最大值②二次函数y1的图象关于直线对称③当时，二次函数y1的值大于0④过动点P(m，0)且垂直于x轴的直线与y1，y2的图
象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜-3或m＞-1．其中正确的是( ) A. ①③B. ①④C.
②③D. ②④【答案】D【解析】【详解】解：∵二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口向上，∴二次函数y1有最小值，故
①错误；观察函数图象可知二次函数y1的图象关于直线x=﹣1对称，故②正确；当x=﹣2时，二次函数y1的值小于0，故③错误；当x＜﹣
3或x＞﹣1时，抛物线在直线的上方，∴m的取值范围为：m＜﹣3或m＞﹣1，故④正确．故选D．点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标
特征以及函数图象，熟练运用二次函数图象上点的坐标特征求出二次函数解析式是解题的关键．二、填空题(本题共16分，每小题2分)9. 已
知点A(1，a)在反比例函数的图象上，则a的值为_______．【答案】-12【解析】【分析】根据点A的横坐标，利用反比例函数图象
上点的坐标特征，即可求出a值．【详解】∵点A（1，a）在反比例函数y的图象上，∴a－12．故答案为－12．【点睛】本题考查了反比例
函数图象上点的坐标特征，将点A的横坐标代入反比例函数解析式中求出a值是解题的关键．10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交点在y轴
负半轴的抛物线的表达式：_______．【答案】y＝x2﹣2 (答案不唯一)【解析】【分析】根据二次函数的性质，开口向上，并且与y
轴交点在y轴负半轴，要求a＞0，c＜0即可．【详解】抛物线y＝x2﹣2开口向上，且与y轴的交点为（0，﹣2），（0，﹣2）在y轴负
半轴．故答案为答案不唯一：如y＝x2﹣2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a＞0，c＜0．1
1. 如图，在中，半径垂直于，则的半径是_____．【答案】5【解析】【分析】设⊙O的半径为r，则OD=r-2，根据垂径定理得到A
D=BD=AB=4，然后在Rt△AOD中根据勾股定理得到(r-2)2+42=r2，再解方程即可．【详解】设⊙O的半径为r，则OD=
r-2，∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB=4，在Rt△AOD中，∵OD2+AD2=OA2，∴（r-2）2+42=r2，解得r=5，
即⊙O的半径为5．故答案为：5．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理．注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．12
. 把二次函数化为的形式，那么=_____.【答案】3【解析】【分析】由，得 ，可求出h,k的值.【详解】由，得，所以，h=2,k
=1,所以，h+k=2+1=3.故答案为3【点睛】本题考核知识点：配方.解题关键点：掌握配方的方法.13. 如图，∠DAB=∠CA
E，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．【答案】解：∠D=∠B或∠AED=∠C．【解析】【分析
】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可．【详解】解：∵∠DAB=∠CAE∴∠DAE=∠BAC∴当∠D=∠B或∠AED=∠
C或AD：AB=AE：AC或AD?AC=AB?AE时两三角形相似．故答案为∠D=∠B（答案不唯一）．14. 若一个扇形的圆心角为4
5°，面积为6π，则这个扇形的半径为_______．【答案】【解析】【分析】已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半
径长．【详解】设扇形的半径为r．根据题意得：6π解得：r＝．故答案为．【点睛】本题考查了扇形的面积公式．熟练将公式变形是解题的关键
．15. 为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A
在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请
计算旗杆的高度为_____米．【答案】11.5【解析】【分析】根据题意证出△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长
，即可得出答案．【详解】由题意得：∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，∴△DEF∽△DCA，则，即，解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（米），即旗杆的高度为11.5米．故答案为11.5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用；
由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．16. 如图1，将一个量角器与一张等边三角形(△ABC)纸片放置成轴对称图形，CD⊥AB
,垂足为D，半圆(量角器)的圆心与点D重合，此时，测得顶点C到量角器最高点的距离CE＝2cm，将量角器沿DC方向平移1cm，半圆(
量角器)恰与△ABC的边AC，BC相切，如图2,则AB的长为__________cm. 【答案】【解析】【分析】如图，设图（2）
中半圆的圆心为O，与BC的切点为M，连接OM，根据切线的性质可以得到∠OMC＝90°，而根据已知条件可以得到∠DCB＝30°，设A
B为2xcm，根据等边三角形得到CDxcm，而CE＝2cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，由此得到半圆的半径为OM=（x﹣2）c
m，OC＝（x﹣1）cm，然后在Rt△OCM中利用三角函数可以列出关于x的方程，解方程即可求解．【详解】如图，设图（2）中半圆的圆
心为O，与BC的切点为M，连接OM，则OM⊥MC，∴∠OMC＝90°，依题意得：∠DCB＝30°，设AB为2xcm．∵△ABC是等
边三角形，∴CDxcm，而CE＝2cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，∴半圆的半径为OM=（x﹣2）cm，OC＝（x﹣1）cm，
∴sin∠DCB，∴，∴x，∴AB＝2x＝2（cm）．故答案为2．【点睛】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的
性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．三、解答题（本题共68分，第17－22题，
每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17. 计算：.【答案】.【解析】【分析】根据特殊角的三角函数
值和二次根式的性质化简即可．【详解】原式．【点睛】本题考查了实数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．18. 下面是小石
设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如
图2：①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方
交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵QA＝ ，PA＝ ，∴PQ⊥l （ ）（填推理的依据）．【答案】（1）见
解析；（2）QB，PB，等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．【解析】【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）根据等腰
三角形的性质即可完成证明．【详解】解：（1）补全的图形如图2所示：（2）证明：连接QA，QB．∵QA＝QB，PA＝PB，∴PQ⊥l
（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．故答案为：QB；PB；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．【点睛】本题考
查了作图-基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键掌握等腰三角形的性质．19. 如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格
上有一个△ABC，且A，B，C三点均在小正方形的顶点上，试在这个网格上画一个与△ABC相似的△A1B1C1，要求：A1，B1，C1
三点都在小正方形的顶点上，并直接写出△A1B1C1的面积．【答案】答案不唯一，详见解析【解析】【分析】先得出AB、BC的长以及∠A
BC=135°，然后根据BC与AB的比以及夹角的度数作图即可．最后根据三角形面积公式求出所作三角形的面积即可．【详解】如图所示．∵
AB=，BC=2，∠ABC=135°，A1B1=1，B1C1=，∠A1B1C1=135°，∴BC：AB= B1C1：A1B1=，∠
ABC=∠A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1．．【点睛】本题考查了相似变换．解题的关键是根据图形得出∠ABC=135°．20
. 如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC．已知A(﹣2，0)，B(6，0)，D(0，3)，函数y＝(x＞0)的图象G经
过点C．(1)求点C的坐标和函数y＝(x＞0)的表达式；(2)将四边形ABCD向上平移2个单位得到四边形A''B''C''D''，问点B''
是否落在图象G上？【答案】(1)C(4，3)，反比例函数的解析式y=；(2)点B′恰好落在双曲线上.【解析】【分析】（1）过C作C
E⊥AB，由题意得到四边形ABCD为等腰梯形，进而得到三角形AOD与三角形BEC全等，得到CE＝OD＝3，OA＝BE＝2，由AB﹣
AO﹣BE求出OE的长，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；（2）由平移规律确定出B′的坐标，代入反比例解析式检验即可．
【详解】（1）过C作CE⊥AB．∵DC∥AB，AD＝BC，∴四边形ABCD为等腰梯形，∴∠A＝∠B，DO＝CE＝3，CD＝OE，∴
△ADO≌△BCE，∴BE＝OA＝2．∵AB＝8，∴OE＝AB﹣OA﹣BE＝8﹣2﹣2＝4，∴C（4，3），把C（4，3）代入反比
例解析式得：k＝12，则反比例解析式为y；（2）由平移得：平移后B的坐标为（6，2），把x＝6代入反比例得：y＝2，则平移后点落在
该双曲线上．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定系数法是解答
本题的关键．21. 小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个
三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．（1）请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围
)；（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?【答案】（1）S=（2）当x为20cm时，三角形最大面积是200cm
2【解析】【详解】解：（1）S=．（2）∵a=＜0，∴S有最大值．∴当时，．∴当x为20cm时，三角形最大面积是200cm2．（1
）由长度为x的边与这条边上的高之和为40 可得x边上的高=40－x．由三角形面积公式得S=x·（40－x），化简即可．（2）根据（
1）的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可．22. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DAC上一点，DE⊥AB于点E，AC
=12，BC=5．(1)求cos∠ADE的值；(2)当DE=DC时，求AD的长． 【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根
据条件证明∠ADE=∠B，然后在Rt△ABC中，求cosB的值即可；（2）设AD为x，表示出DE=DC=，然后根据，列方程解答即可
；也可证明△∽△，利用相似三角形的对应必成比例得出，然后可求出AD的长．【详解】解：解法一：（1）如图，∵DE⊥AB，∴∠DEA=
90°．∴∠A+∠ADE=90°．∵∠ACB=，∴∠A+∠B=90°．∴∠ADE=∠B．在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，
∴AB=13．∴．∴．（2）由（1）得，设为，则．∵，∴．解得．∴．解法二：（1）∵，∴．∵，∴△∽△．∴．在Rt△中，∵，∴∴∴
（2）由（1）可知 △∽△．∴设，则．∴．解得．∴．【点睛】本题考查锐角三角函数，相似三角形的判定与性质．23. 如图，反比例函数
的图象与一次函数的图象分别交于M，N两点，已知点M(-2，m). (1)求反比例函数的表达式；(2)点P为y轴上的一点，当∠MPN
为直角时，直接写出点P的坐标．【答案】（1）；（2）（0，）或（0，）．【解析】【分析】（1）把M（﹣2，m）代入函数式y=﹣x中
，求得m的值，从而求得M的坐标，代入y=可求出函数解析式；（2）根据M的坐标求得N的坐标，设P（0，m），根据勾股定理列出关于m的
方程，解方程即可求得m进而求得P的坐标．【详解】解：（1）∵点M（﹣2，m）在正比例函数y=﹣x的图象上，∴m=﹣×（﹣2）=1，
∴M（﹣2，1），∵反比例函数y=的图象经过点M（﹣2，1），∴k=﹣2×1=﹣2．∴反比例函数的解析式为（2）∵正比例函数y=﹣
x的图象与反比例函数y=的图象分别交于M，N两点，点M（﹣2，1），∴N（2，﹣1），∵点P为y轴上的一点，∴设P（0，m），∵∠
MPN为直角，∴△MPN是直角三角形，∴（0+2）2+（m﹣1）2+（0﹣2）2+（m+1）2=（2+2）2+（﹣1﹣1）2，解得
m=±∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．2
4. 如图，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C为切点，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接BE，连接AO．（1）求证：A
O∥BE；（2）若DE＝2，tan∠BEO＝，求DO的长．【答案】(1))证明见解析；(2)DO=3.【解析】【分析】（1）由切线
长定理得到OA⊥BC，再由直径所对的圆周角等于90°，即可得到结论；（2）由平行线的性质得到∠BEO=∠AOC，设OC=r，解Rt
△AOC，得到AC，OA，cos∠AOC值，从而得到EB的值．再由△DBE∽△DAO得到对应边成比例，即可得到结论．【详解】(1)
连结BC．∵AB，AC是⊙O的两条切线，B，C为切点，∴AB=AC，OA平分∠BAC，∴OA⊥BC，∴∠CFO=90°．∵CE是⊙
O的直径，∴∠CBE=90°，∴∠CFO=∠CBE，∴ OA∥BE． (2)∵OA∥BE，∴∠BEO=∠AOC．∵tan∠BEO=
，∴tan∠AOC=．在Rt△AOC中，设OC=r，则AC=r，OA=r ，∴cos∠AOC=，∴cos∠BEC= cos∠AOC
=，∴EB=r．∵BE∥OA，∴△DBE∽△DAO，∴，∴，∴DO=3．【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质、解直角三角形以
及相似三角形的判定与性质．解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．25. 如图在Rt△ABC中，∠ACB=
90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cosA=．（1）求线段CD的长；（2）求sin∠DBE的值．【
答案】（1）CD=；（2）.【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AB的长，即可求出CD的长；（2）
由于D为AB上的中点，求出AD=BD=CD=，设DE=x，EB=y，利用勾股定理即可求出x的值，据此解答即可.【详解】解：（1）∵
在Rt△ABC中，AC=15，cosA=，∴AB=25.∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，∴CD=.（2）在Rt△ABC中
，.又AD=BD=CD=，设DE=x，EB=y，则在Rt△BDE中，①，在Rt△BCE中，②，联立①②，解得x=.∴.26. 在平
面直角坐标系中，点，将点A向右平移6个单位长度，得到点B.(1)直接写出点B的坐标；(2)若抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B
，求抛物线的表达式；(3)若抛物线y=-x2+bx+c的顶点在直线y=x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物
线顶点横坐标的取值范围．【答案】(1)；(2)抛物线表达式为；(3)或． 【解析】【分析】（1）根据点的平移规律可得点B坐标；（2
）根据A、B两点坐标，利用待定系数法可求得解析式；（3）由顶点在直线l上可设顶点坐标为（t，t+2），继而可得抛物线解析式为y＝﹣
（x﹣t）2+t+2，根据抛物线与线段AB有一个公共点，考虑抛物线过点A或点B临界情况可得t的范围．【详解】(1)根据平移的性质，
可得：；(2) ∵抛物线过点，∴，解得：，∴抛物线表达式为；(3)∵抛物线顶点在直线上 ，∴抛物线顶点坐标为 ，∴抛物线表达式可化
为．把代入表达式可得：解得：．∴．把代入表达式可得．解得：∴．综上可知：的取值范围时或．点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式
及二次函数的图象与性质，待定系数求解析式是解题的根本，将抛物线与线段AB有一个公共点转化为方程问题是解题的关键．27. 如图，Rt
△ ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC， 作AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC
于点H．(1)依题意补全图形；(2)求证：∠BAD=∠BFG；(3)试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明．【答案】(1)
补图见解析；(2)证明见解析；(3)，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意补全图形；（2）根据角平分线的定义得到∠BAD=∠
CAD．在Rt△AEH和Rt△CFH中，根据三角形内角和定理得到∠CFH=∠CAD，等量代换即可得到结论；（3）由线段垂直平分线性
质得到AF=FD，通过证明∠BAF=90°．在Rt△BAF中，利用勾股定理即可得到结论．【详解】(1)补全图形如图；(2)∵AD平
分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∵FE⊥AD，∠ACF=90°，∠AHE=∠CHF，∴∠CFH=∠CAD，∴∠BAD=∠CFH，
即∠BAD=∠BFG．(3)猜想：．证明如下：连接AF．∵EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，∴∠DAC+∠
CAF=∠B+∠BAD．∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠ B，∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=∠BAC+∠B
=90°，∴，∴．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质和勾股定理．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．28. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(3，2)，连接AB. 若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“临近点”． (1)在点C(0，2)，D(2，)，E(4，1)中，线段AB的“临近点”是__________；(2)若点M(m，n)在直线上，且是线段AB的“临近点”，求m的取值范围；(3)若直线上存在线段AB的“临近点”，求b的取值范围.【答案】(1)C、D ；(2)0≤m≤；(3).【解析】【分析】（1）根据线段AB的“临近点”的定义解答即可；(2)设与y轴交于M，与A2B2交于N，求出M的坐标和N的坐标，即可得出m的取值范围．(3)分别求出直线与半圆A相切、半圆B相切时b的值，即可得到结论．【详解】(1)∵A(1，2)，C(0，2)，∴AC=1．∵A(1，2)在线段AB上，∴点C是线段AB的“临近点”；∵点离线段AB上（2,2）点最近，2-=＜1，∴点D是线段AB的“临近点”；∵E(4，1)与线段AB上点B的距离最近，EB=＞1，∴点E不是线段AB的“临近点”．故线段AB的“临近点”是C、D ．(2)如图，设与y轴交于M，与A2B2交于N，易知M(0，2)，∴m≥0，易知N的纵坐标为1，代入，可求横坐标为，∴m≤，∴0≤m≤．(3)如图2，设直线为l，令y=0，得：x=b．当直线与半圆A相切时，过A作AF⊥直线l于F，作AH⊥x轴于H，交直线l于点R，则∠FAR=∠RGH=30°．∵A(1，2)，∴OH=1，AH=2．∵AF=1，∠FAR=30°，∴AR=，∴RH=AH-AR=2-．在Rt△RHG中，∵∠RGH=30°，∴HG=RH．∵HG=OG-OH=，∴=，解得：；当直线与半圆B相切时，类似可求：；∴．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了切线的性质以及两点间的距离公式，通过做此题培养了学生的阅读能力和计算能力，此题是一道非常好、比较典型的题目． 1 / 1 |
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