挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用) 专题31三角形与新定义综合问题【例1】(2022?淮安区模拟)我们定义：等腰三角形
中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)，如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一
个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：(1)can30°＝ ，若canB＝1，则∠B＝
°．(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．【例2】(2022?柯城区校级三模
)定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△A
BC为标准三角形．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．(1)等腰直角三角形是标准三角形． (2)顶角为30°的等腰
三角形是标准三角形． 【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为 ．【概念应用】(1)如图，若
△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．(2)若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小
角的正弦值．【例3】(2020?五华区校级三模)爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线
互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图(1)、图(2)、图(3)中，AM、BN是ABC的中线，AM⊥BN于点P，像ABC这样的三
角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．【特例探究】(1)如图1，当∠PAB＝45°，c＝时，a＝ ，b＝
；如图2，当∠PAB＝30°，c＝2时，a2+b2＝ ；【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2、b2、c2三
者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】(3)如图4，在?ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，
且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF的长．【例4】
(2020?岳麓区校级二模)定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△ABC为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△
ABC的方周长，记作L，即L＝AB2+BC2+CA2．(1)如图1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线
，若AC＝BC，求证：△AOB是等腰直角三角形；(2)如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥
BD于点O，试探究△ABC的方周长L与AB2之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，已知抛物线y＝与x轴正半轴相交于点A，与y轴
相交于点B，经过点B的直线与该抛物线相交于点C，与x轴负半轴相交于点D，且BD＝CD，连接AC交y轴于点E．①求证：△ABC是中垂
三角形；②若△ABC为直角三角形，求△ABC的方周长L的值．【例5】(2020?安徽模拟)通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角
形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边
角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)，如图(1)在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作ca
nB，这时canB＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：(1)can30°＝
；(2)如图(2)，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．一．解答题(共20题)1．
(2022秋?如皋市期中)定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．(1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有
(只填写序号)．①顶角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是30°的直角三角形．(2)如图1，在△ABC中，A
B＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE．①若BC＝BE，求证：
△ABE是“倍角三角形”；②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“
倍角三角形”，请直接写出∠E的度数．2．(2022秋?义乌市校级月考)【概念认识】如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝
∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线“，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】(1)如图②所示
．在△ABC中．∠A＝80°，∠ABC＝45°．若∠ABC的三分线BD交AC于点D．求∠BDC的度数．(2)如图③所示，在△ABC
中．BP，CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACB的邻BC三分线，且∠BPC＝140°．求∠A的度数．【延伸推广】(3)在△AB
C中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P，若∠A＝m°(m＞54)，∠ABC
＝54°．求出∠BPC的度数．(用含m的式子表示)3．(2022春?石嘴山校级期末)[问题情境]我们知道：在平面直角坐标系中有不重
合的两点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥
x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|．[拓展]现在，若规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M(x1，y1)、N(x2，y2)之
间的折线距离为d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：图中，点M(﹣1，1)与点N(1，﹣2)．之间的折线距离d(M，
N)＝|﹣1﹣1|+|1﹣(﹣2)|＝2+3＝5，[应用]解决下列问题：(1)已知点E(3，2)，点F(1．﹣2)，求d(E，F)
的值；(2)已知点E(3，1)，H(﹣1，n)，若d(E，H)＝6，求n的值；(3)已知点P(3，4)，点Q在y轴上，O为坐标系原
点，且△OPQ的面积是4.5，求d(P，Q)的值．4．(2022春?镇江期末)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，
我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心
角”，△ABC为“开心三角形”．【理解】(1)若△ABC为开心三角形，∠A＝144°，则这个三角形中最小的内角为 °；(2)
若△ABC为开心三角形，∠A＝70°，则这个三角形中最小的内角为 °；(3)已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的
一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；【应用】如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠
BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE＝∠α，求∠α的度数．5．(2
022春?崇川区期末)定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．(1)如图1
，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“奇妙三角形”(2)若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．
求证：△ABC是直角三角形；(3)如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的
度数．6．(2022春?亭湖区校级月考)定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平
方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD?CD，则称点D是△ABC中
BC边上的“好点”．(1)如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出(或在图中直接描出)AB边上的所有“好点”点D
；(2)△ABC中，BC＝7，，tanC＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；(3)如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，
点H在AB上，连结CH并延长交⊙O于点D．若点H是△BCD中CD边上的“好点”．①求证：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半径为r
，且r＝3OH，求的值．7．(2021秋?如皋市期末)【了解概念】定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则
称这个三角形为半线三角形，这条中线叫这条边的半线．【理解运用】(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，试判断△
ABC是否为半线三角形，并说明理由；【拓展提升】(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，M为△ABC外一点，连接M
B，MC，若△ABC和△MBC均为半线三角形，且AD和MD分别为这两个三角形BC边的半线，求∠AMC的度数；(3)在(2)的条件下
，若MD＝，AM＝1，直接写出BM的长．8．(2021秋?顺义区期末)我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．
如图1，在△ABC中，AB＝AC，的值为△ABC的正度．已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点(D与A，B，C不
重合)．(1)若∠A＝90°，则△ABC的正度为 ；(2)在图1，当点D在腰AB上(D与A、B不重合)时，请用尺规作出等腰△
ACD，保留作图痕迹；若△ACD的正度是，求∠A的度数．(3)若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为，△ABC的周长为22，是否存
在点D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．9．(2021秋?丹阳市期末)梅涅劳斯(Menelau
s)是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图(1)，如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线
交于F、D、E三点，那么一定有＝1．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图(2)，过点A作AG∥BC，交D
F的延长线于点G，则有，，∴＝1．请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图(3)，△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交
直线l于X，Y，Z三点，证明：＝1．请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：(2)如图(4)，等边△ABC的边长为2，点D为BC
的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，则AE的长为 ．(3)如图(5)，△ABC的面积为2，F为AB中点
，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为 ．10．(2021秋?洪江市期末)从三角形(不是
等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰
三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在△ABC中，∠A＝44°，CD是△ABC的
完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数；(2)如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△
ABC的完美分割线；(3)如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，
求完美分割线CD的长．11．(2021秋?石景山区期末)在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，点P是线段CB上的一个
动点(不与点B，C重合)，过点P作直线l⊥CB交AB于点Q．给出如下定义：若在AC边上存在一点M，使得点M关于直线l的对称点N恰好
在△ACB的边上，则称点M是△ACB的关于直线l的“反称点”．例如，图1中的点M是△ACB的关于直线l的“反称点”．(1)如图2，
若CP＝1，点M1，M2，M3，M4在AC边上且AM1＝1，AM2＝2，AM3＝4，AM4＝6．在点M1，M2，M3，M4中，是△
ACB的关于直线l的“反称点”为 ；(2)若点M是△ACB的关于直线l的“反称点”，恰好使得△ACN是等腰三角形，求AM的长
；(3)存在直线l及点M，使得点M是△ACB的关于直线l的“反称点”，直接写出线段CP的取值范围．12．(2021秋?鄞州区期末)
【问题提出】如图1，△ABC中，线段DE的端点D，E分别在边AB和AC上，若位于DE上方的两条线段AD和AE之积等于DE下方的两条
线段BD和CE之积，即AD×AE＝BD×CE，则称DE是△ABC的“友好分割”线段．(1)如图1，若DE是△ABC的“友好分割”线
段，AD＝2CE，AB＝8，求AC的长；【发现证明】(2)如图2，△ABC中，点F在BC边上，FD∥AC交AB于D，FE∥AB交A
C于E，连结DE，求证：DE是△ABC的“友好分割”线段；【综合运用】(3)如图3，DE是△ABC的“友好分割”线段，连结DE并延
长交BC的延长线于F，过点A画AG∥DE交△ADE的外接圆于点G，连结GE，设＝x，＝y．①求y关于x的函数表达式；②连结BG，C
G，当y＝时，求的值．13．(2021秋?鼓楼区校级期末)定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、
NH，满足∠1＝∠2，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；定义2：如图2，在△ABC中，△PQR的三个顶点P、Q、R分别在B
C，AC、AB上，若RP和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，则
称△PQR为△ABC的光线三角形．阅读以上定义，并探究问题：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，△DEF三个顶点D、E、F分别
在BC、AC，AB上．(1)如图3，若FE∥BC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求∠EDC的度数；(2)如图4，在△ABC中
，作CF⊥AB于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D．①证明：△DEF为△ABC的光线三角形；②证明：△ABC的光线三角
形是唯一的．14．(2021秋?丰台区期末)对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：若点P满足PA＝PB，则称P
为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB＜180°时，称P为线段AB
的“近轴点”．(1)如图1，点A，B的坐标分别为(﹣2，0)，(2，0)，则在P1(﹣1，3)，P2(0，2)，P3(0，﹣1)，
P4(0，4)中，线段AB的“轴点”是 ；线段AB的“近轴点”是 ．(2)如图2，点A的坐标为(3，0)，点B在y轴正
半轴上，∠OAB＝30°．若P为线段AB的“远轴点”，请直接写出点P的横坐标t的取值范围 ．15．(2022秋?长沙期中)概
念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形(不是等腰三角形)一
个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个
与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念：(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝9
0°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用：(2)如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．
求证：CD为△ABC的等角分割线．动手操作：(3)在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的∠AC
B的度数．16．(2022春?华州区期末)阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三
角形叫做奇异三角形．(1)理解并填空：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ (填“是”或“不是”)
②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形 (填“是”或“不是”)奇异三角形．(2)探究：在Rt△ABC，两边长分别是a
、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．17．(2022?任城区三模)我们定义：等腰三角形中底
边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图①在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小
与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝ ．(2)sad90°＝ ．(3
)如图②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．18．(2021?柯城区模拟)定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相
等，则称这个三角形为“等底高三角形”，这条边叫做等底线，这条边上的高叫做等高线．如图：在△ABC，CD⊥AB于点D，且AB＝CD，
则△ABC为等底高三角形，AB叫等底线，CD叫等高线．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．(1)等边三角形不可能是等底高
三角形． (2)等底高三角形不可能是钝角三角形． 【概念理解】若一个等腰三角形为等底高三角形，则此三角形的三边长之比为
．【概念应用】(1)若△ABC为等底高三角形，等底线长为2，求三角形的周长的最小值．(2)若一个等底高三角形的其中一边是另
一边的倍，求最小角的正弦值．19．(2021?宁波模拟)在三角形的三边中，若其中两条边的积恰好等于第三边的平方，我们把这样的三角形
叫做有趣三角形，这两条边的商叫正度，记为k(0＜k≤1)．(1)求证：正度为1的有趣三角形必是等边三角形．(2)如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠ACD＝∠ABC，求证：△ABC是有趣三角形．(3)如图②，菱形ABCD中，点E，F是对角线BD的三等分点，DE＝DC．延长BD到P，使DP＝BE．求证：△BCE，△FCP，△BCP是具有相同正度的有趣三角形．20．(2021?临海市一模)在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差．(1)概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为 ；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为 ；(2)性质探究：如图1，CD是△ABC的中线，AC＝b，BC＝a，AB＝2c，CD＝d，记△ACD中∠ADC的勾股差为m，△BCD中∠BDC的勾股差为n；①求m，n的值(用含a，b，c，d的代数式表示)；②试说明m与n互为相反数；(3)性质应用：如图2，在四边形ABCD中，点E与F分别是AB与BC的中点，连接BD，DE，DF，若＝，且CD⊥BD，CD＝AD，求的值． |
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