专题09 在网格背景下的面积和周长计算1．如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，E，F在同一条圆弧上，且点C，E，F在格
点(小正方形的顶点)上，若，则阴影部分的面积为_________．【答案】【分析】根据网格的特点找到过点的圆的圆心，进而根据已知条
件与圆周角定理求得，关于阴影部分面积面积等于即可求解．【详解】如图，根据网格的特点找到的垂直平分线与的垂直平分线，交于点，连接，，
，，阴影部分面积面积等于．故答案为：．【我思故我在】本题考查了圆周角定理，求扇形面积公式，确定圆心是解题的关键．2．如图是由相同的
小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为1，上的点A，B，C，D均为格点，上有一点E，且，则图中阴影部分的面积为______．【答
案】【分析】线段AB和线段BC的垂直平分线相交于点O，则点O即为所在的圆得的圆心，连接OC，OE，由圆周角定理得∠COE＝2∠CA
E＝30°，过点C作CH⊥OE于点H，则∠OHC＝90°，在Rt△OCH 中，求得CH＝OC＝，利用即可求出图中阴影部分的面积．【
详解】解：如图，线段AB和线段BC的垂直平分线相交于点O，则点O即为所在的圆得的圆心，连接OC，OE， ∵，∴∠COE＝2∠CAE
＝30°，过点C作CH⊥OE于点H，则∠OHC＝90°，由勾股定理得OC＝OE＝，在Rt△OCH 中，∠OHC＝90°，∠COH＝
30°，OC＝，∴CH＝OC＝，∴ ＝＝故答案为：【我思故我在】此题考查了圆周角定理、判断三角形外接圆的圆心位置、扇形的面积公式、
勾股定理、直角三角形的性质等知识，利用圆周角定理得到∠COE＝2∠CAE＝30°是解题的关键．3．如图所示的网格中，每个小正方形的
边长均为1，的三个顶点均在格点上，点D是边AB的中点，格点E在上，则图中阴影部分的面积为_______．【答案】【分析】取BC中点
F，连接DF，由中位线的性质得到，，利用勾股定理分别解得AC，BC，AB的长，证明为等腰直角三角形，继而得到也是等腰直角三角形，解
得的面积及扇形CDF的面积即可解答．【详解】解：如图，连接DFD是边AB的中点，F是边BC的中点，是等腰直角三角形，也是等腰直角三
角形， 故答案为：．【我思故我在】本题考查网格与勾股定理、扇形的面积、中位线性质、勾股定理的逆定理等知识，是重要考点，掌握相关知识
是解题关键．4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均为小正方形的顶点，且点B在上，则阴影部分的面积为__．【答
案】##【分析】点O为过B点的纵轴和过C点的横轴的交点，连接OA，根据题意求出OA，OB，OC的长，确定圆心和半径，从而求出弓形B
C的面积，进而解答；【详解】解：如图，点O为过B点的纵轴和过C点的横轴的交点，连接OA，D点为小正方形的顶点， 根据题意由图可得：
OA=，OB=OC=5，∴O为的外接圆的圆心，AD为底边，则的面积=，∵OC⊥OB，圆的半径为5，则扇形BC的面积为外接圆的面积，
∴弓形BC的面积=，∴阴影部分的面积为：10＋=，故答案为：．【我思故我在】本题考查了求不规则图形的面积，勾股定理，三角形外接圆的
性质，扇形面积的计算；找出圆心的位置是解题的关键．5．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点(网格线的交点)A，
B，D，点C为弧BD上一点．若，则弧CD的长为__________．【答案】【分析】作线段AD和线段AC的垂直平分线交于点O，即格
点O为弧AD所在圆的圆心，连接OC、OD，根据题意，结合勾股定理，得出的长，再根据圆周角定理，得出，再根据弧长公式进行计算即可．【
详解】解：如图，作线段AD和线段AC的垂直平分线交于点O，即格点O为弧AD所在圆的圆心，连接OC、OD，根据题意，可得：，，∴弧C
D的长为：．故答案为：【我思故我在】本题考查了线段的垂直平分线、勾股定理、圆周角定理、弧长公式，根据题意并结合图形添加适当的辅助线
是解本题的关键．圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；弧长公式：(为弧所对的圆心角的度数；为半径)6．如图，平面
直角坐标系中有一段弧，弧上三点A，B，C均在格点上．则的长为______．【答案】【分析】直接利用圆的性质得出圆心位置进而利用勾股
定理以及勾股定理逆定理得出；再利用弧长公式计算得出答案．【详解】解：如图所示：圆心P的坐标为：(-2，1)，∵AP=PC=，AC=
2，∴AP2+PC2=AC2，∴△APC是等腰直角三角形，∴∠APC=90°，的长度为：．故答案为【我思故我在】此题主要考查了弧长
的计算以及勾股定理以及勾股定理逆定理，正确得出圆心位置是解题关键．7．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D
、E、F均在小正方形的顶点上，且弦BG上有4个正方形的格点(包括端点)，则阴影部分的面积为_____________．【答案】【分
析】连接BE、CF交于点O，连接OG，由圆周角定理可得BE，CF是圆的直径，O为圆的圆心，由勾股定理可得圆的半径为，由∠CBM=4
5°可得扇形圆心角为90°，再由阴影面积=扇形COG面积-△COG面积计算求值即可；【详解】解：如图，连接BE、CF交于点O，连接
OG，设BG、CE交于格点M，B、C、E、F均在小正方形的顶点上，则ECBF是矩形，∵∠BCE=90°，∠CBF=90°，∴BE，
CF是圆的直径，O为圆的圆心，BC= 3，BF=4，则FC==5，圆的半径为，∵BC=CM=3，∠BCM=90°，∴∠CBM=45
°，即∠CBG=45°，∴∠COG=90°，∴阴影面积=扇形COG面积-△COG面积=-OC?OG=，故答案为：；【我思故我在】本
题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积计算等知识；正确作出辅助线是解题关键．8．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1．点A，
B，C均在小正方形的顶点上，且点A，B，C在同一条弧上，则阴影部分的周长为_____．【答案】【分析】设的圆心为O，的中点为M，O
M与BC的交点为N，根据表格得出BC=6，MN=1，CN=，设圆O的半径为R，利用勾股定理得出R=5，由勾股定理逆定理得出?AOC
为直角三角形，∠COA=90°，结合图形应用弧长公式及勾股定理即可得出结果．【详解】解：设的圆心为O，的中点为M，OM与BC的交点
为N，由图可知，BC=6，MN=1，CN=，设圆O的半径为R，由图可得：，即，解得：R=5，∴OC=OA=5，∵，∴，∴?AOC为
直角三角形，∠COA=90°，阴影部分的周长为：，故答案为：．【我思故我在】题目主要考查不规则图形的周长，包括扇形弧长、勾股定理及
其逆定理，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．9．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，
D的连线交圆弧于点E，则图中阴影部分面积为____．【答案】【分析】连接AC，取AC中点F，连接EF，可得AC为直径，F为圆心，再
由勾股定理逆定理可得，△ACD是等腰直角三角形，且∠ACD=90°，从而得到，结合图形利用三角形面积与扇形面积之间的关系求解即可．
【详解】解：如图，连接AC，取AC中点F，连接EF，∵∠ABC=90°，∴AC为直径，F为圆心，∴，∴∠FAE=∠FEA，即∠CA
D=∠FEA，网格中，由勾股定理得：，，，∴，，∴，△ACD是等腰直角三角形，且∠ACD=90°，∴∠CAD=45°，∴∠CAD=
∠FEA=45°，∴，∴，故答案为：．【我思故我在】本题主要考查了圆周角定理，求扇形面积，勾股定理逆定理的应用，熟练掌握圆周角定理
，扇形面积，勾股定理逆定理是解题的关键．10．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C均在小正方形的顶点上，点B在弧A
C上，且∠ACB＝15°，则阴影部分的周长为______．【答案】【分析】先确定出圆心位置根据弧长公式求出弧AB的长度，根据等边三
角形性质得BC的长度，再利用勾股定理求出线段AC的长度，即得答案．【详解】解：由题意知圆心O位置如图所示，∵∠ACB＝15°，∴∠
AOB=30°，∴∠BOC=60°，即△BOC为等边三角形，OC=BC=OB=6，∴弧AB的长度为：，由勾股定理得：AC=，阴影部
分的周长为，故答案为：．【我思故我在】本题考查了弧长的计算公式、勾股定理求格点中线段的长度、等边三角形的判定等知识点．解题关键是：
确定出弧所在圆的圆心位置．11．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上，且点C在上，与交
于点，则的长为______．【答案】【分析】连接AC、BC、AB、BD、取AB的中点O，连接OH，首先利用△ABD求出∠BAD=4
5°，结合△OAH求出圆心角的度数和半径长，再求出∠BOH=90°，继而利用弧长公式即可求出弧长．【详解】解：连接AC、BC、AB
、BD、取AB的中点O，连接OH，∵∠ACB=90°，∴AB为圆O的直径，O是圆心，∵AB= ,同理BD=5，AD= ，∴AB2+
BD2=AD2，∴∠ABD=90°，又∵AB=BD，∴∠BAD=45°，又∵OA=OH，∴∠AOH=90°，∴∠BOH=90°，∴
的长为 ，故答案为 ．【我思故我在】本题考查弧长公式、圆周角定理以及勾股定理以及逆定理，解决问题的关键是求出圆心角和半径．12．如
图，在5×4的网格图中，每个小正方形的边长均为1点A，B，C，D均在格点上，点D在上线段BC与交于点E，则图中阴影部分的周长为__
_____．(结果保留)【答案】【分析】先连接AC，AE，可说明△ABC是等腰直角三角形，进而得出∠BDA=90°，得出AB是圆的
直径及△ABE是等腰直角三角形，然后根据特殊角三角函数求出BE，再根据弧长公式求出弧长，即可得出答案．【详解】连接AC，AE，如图
所示，∵，，∴，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∵∠BDA=90°，∴AB是直径，∴∠BEA=90°，∴
△ABE为等腰直角三角形，∴，∠BAE=45°，∴所对的圆心角度数为90°，∴的长为，∴阴影部分的周长是．故答案为：．【我思故我在
】本题主要考查了圆周角定理及推论，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，弧长公式等，构造直角三角形是解题的关键．13．如图所示的网
格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、D均在小正方形的顶点上，且点B、C在AD上，∠BAC=25°，则的长为______．(结
果保留)【答案】##【分析】如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．利用弧长公式求解即可．【详解】解：如图，圆心为O，连接OA
，OB，OC，OD．∵OA=OB=OD=5，∠BOC=2∠BAC=50°，∴的长=．故答案为：．【我思故我在】本题考查弧长公式，解
题的关键是正确寻找圆心O的位置，属于中考常考题型．14．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点，，三点都在格点上，线段与
交于点，则图中的长度为________．(结果保留)【答案】【分析】连接，由网格图得到和长，再利用圆周角定理得到所对的圆心角，最后
利用弧长公式代值求解即可．【详解】解：连接，如图所示：由图可知和均是的网格构成的矩形的对角线，则，是半圆的直径，由圆周角定理可知，
是等腰直角三角形，，，由圆周角定理可知所对的圆心角为，的长度为，在网格中，，的长度为，故答案为：．【我思故我在】本题考查网格中线段
长求解及弧长求解，通过网格找到线段关系及相应线段长度、角度是解决问题的关键．15．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A
，B，C均在小正方形的顶点上，且点D在上，，则的长为_________．【答案】【分析】连接AC，确定弧所对的圆心O，可知AC为直
径，连接OB、OD，利用勾股定理求得，，则，根据圆周角定理可得，从而求得，即可求解．【详解】解：连接AC，确定弧所对的圆心O，连接
OB、OD，如下图：由勾股定理可得：，，∴∴为直角三角形，∴AC为直径，，，∴∵∴，∴，所以的长为故答案为：【我思故我在】此题考查
了弧长的计算，涉及了勾股定理，圆周角定理等性质，解题的关键是确定圆心的位置，正确求得半径以及圆心角，熟记弧长公式．16．如图，△A
BC的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点
A′、C′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积是 ___________．【答案】【分析】首先求得扇形的半径和圆心角，然后根据扇形面
积公式求得扇形的面积，然后计算出的面积，相减即可得出阴影部分面积．【详解】解：由题意得，，旋转角，，∵，．故答案为：．【我思故我在
】本题主要考查了扇形面积的计算、勾股定理等，牢固掌握扇形面积公式是做出本题的关键．17．如图，在4×5的网格图中，每个小正方形的边
长均为1，点A，C，B三点都在格点上，线段AC与交于D，则图中的长度为___．(结果保留π)【答案】【分析】连接BC，由题意可得，
∠ABC=90°，，推出所对的圆心角的度数和圆的半径，根据弧长公式即可得到结论．【详解】解：连接BC，由图可得：，，，，是直角三角
形，∠ABC=90°，，∴∠BAD=45°，∴所对的圆心角是90°，所在圆的半径是，∴的长度为：故答案为：．【我思故我在】本题考查
了弧长的计算，勾股定理及其逆定理，正确的作出辅助线并熟记弧长公式是解题的关键．18．如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点、、是格点，则图中扇形中阴影部分的面积是___． 【答案】【分析】证明△ACO≌△ODB，根据全等三角形的性质得到∠AOB＝90°，根据勾股定理求出OA、OB，根据扇形面积公式计算，得到答案．【详解】解:在△ACO和△ODB中，，∴△ACO≌△ODB(SAS)，∴∠CAO＝∠BOD，∵∠ACO＝90°，∴∠CAO+∠AOC＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠AOB＝90°，由勾股定理得，OA＝OB＝＝，∴扇形OAB中阴影部分的面积＝﹣××＝﹣，故答案为：．【我思故我在】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质，掌握扇形面积公式，利用全等三角形求出圆心角度数是解题的关键． |
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