专题07 三角形相似综合训练1．如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转得到三点恰好在同一直线上，与相交于点，连接．以下结论正确的是(?)①；；③点
是线段的黄金分割点；④A．①②③B．①③C．①②③D．①③④【答案】D【详解】证明：，∴，又∵四边形是矩形，∴，∴，即，∴，即，故
①正确；∵，∴，即是直角三角形，而不是直角三角形，∴②错误；在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴点是线段的黄金分割点，∴③正确；在线段上
作，如图所示，连接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵， ∴，∴④正确，故选：D．【我思故我在】本题
主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是对知识的掌握和运用．2．如图，在中，D
、E分别在AB边和AC边上，，M为BC边上一点(不与B、C重合)，连结AM交DE于点N，则(?)A．B．C．D．【答案】C【分析】
根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再根据相似三角形的性质即可得到答案.【详解】∵，∴△
ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，故选C.【我思故我在】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握
平行线的性质、相似三角形的判定和性质.3．如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为( )A．B．C．D．【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理得到，再由相似三角形的性质得到答案.【详解】∵，，∴，∴，即，解得，的面积为，∴的面积为：，故选C
．【我思故我在】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.4．如图，在矩形ABCD中，E
，F分别为边BC、CD中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G，H．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：①AG：GE=
2：1?②BG：GH：HD=1：1：1；③；④ 正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据相似三角形
的判定与性质和线段中点的定义得： 可判断①正确； 同理根据相似三角形的判定与性质可得：，可判断②正确； ③④设，根据相似三角形面积
的比等于相似比的平方，等底同高三角形面积的关系依次用x表示各三角形的面积，可作判断．【详解】解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴AD
=BC，， ∵E是BC的中点， ∴， ∵， ∴ ∴?故①符合题意； ②∵， ∴， 同理得：， ∴BG=GH=HD， ∴BG：GH：
HD=1：1：1； 故②符合题意； ③∵， ∴， ∴， ∵BG=GH=HD， ∴， 设，则， ∴， 同理可得：， ∴； 故③错误，
不符合题意； ④由③知： ∴， 故④符合题意； 所以本题的3个结论符合题意； 故选：C．【我思故我在】本题考查了矩形的性质，三角形
相似的性质和判定，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，等底同高三角形面积相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．5．如图，在
正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于、，连接、，与相交于点．给出以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的是(?)A．①
②③④B．②③④C．①②④D．①③④【答案】B【分析】根据等边三角形和正方形的性质得，则，可判定①错误；通过导角能得出，得，从而证
明，可判断②正确；利用，得，可说明③正确；过点作于，于，将转化为，从而判断④成立．【详解】解：是等边三角形，，，在正方形中，，，，
，故①错误；，，，，，，，，，故②正确；，，，，，故③正确；如图，过点作于，于，正方形的边长为2，为正三角形，，，，，，，，故④正
确，故选：B．【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟
练掌握各性质是解题的关键．6．如图， 在平行四边形中， 点分别是上的点， 且， 点是， 的交点， 直线分别与的延长线交于点． 若平
行四边形的面积为144 ， 则的面积为(?)A．72B．216C．268D．300【答案】D【分析】由题意易得，则易证，然后设平行
四边形的高为h，则可得的高为，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∵∴，∴，同理可证，∴，∴．设O到的距
离为，设O到的距离为，平行四边形ABCD的高为h，则有，∵，∴，∴，∴△POQ的高为，∵，∴；故选：D．【我思故我在】本题主要考查
相似三角形的性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的性质及平行四边形的性质是解题的关键．7．如图，在正方形中，点是上一点，且，
连接交对角线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长为(?)A．B．C．D．【答案】D【分析】过点作，交延长线于，再根据正方形的性质
，推出，根据同角的余角相等，推出，证明，推出，是正方形对角线，推出，求出，进而求出的长度．【详解】解：过点作，交延长线于，，在正方
形中，，，，，，，，，，，，设，则，，，，是正方形对角线，，，，，，，，，，，在正方形中，，，，；故选：D．【我思故我在】本题考查
了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定与性质、正方形的性质的综合应用，其中辅助线的做法、相似的证明、勾股定理
的应用是解题关键．8．已知，如图，平行四边形中，，且，那么_____．【答案】20【分析】先根据平行四边形的性质得到，，证明，得到
，由，得到，则，据此求出，，进而求出．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案为：20
．【我思故我在】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键．9．P是边上的任一点(P不与A、B
、C重合)，过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．中，，，当点P是边上一个三等
分点时()，过点P的的“相似线”最多有___________条．【答案】4【分析】根据相似线的定义，可知截得的三角形与有一个公共角
，分①公共角为时；②公共角为时；③公共角为时；三种情况进行讨论，即可得出答案．【详解】解：①当公共角为时，不存在；②公共角为时，过
点作，交于点D，如图所示：∵，，∴；过点P作于点D，如图所示：∵，，∴；③公共角为时，连接，如图所示：∵，∴，设，则，，∵点P是边
上一个三等分点，，∴，∴，，∴，∵，∴；过点P作，交于点D，如图所示：∵，∴，，∴；综上分析可知，过点P的的“相似线”最多有4条．
故答案为：4.【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．10
．如图，在中，，，动点P在射线上，交于点D，的平分线交于点Q，当时，的值为______．【答案】18【分析】如图，延长交的延长线于
G．首先证明，，由，推出＝＝3，即可求出解决问题．【详解】解：如图，延长交的延长线于G．∵∴∴∵∠GBC＝∠GBP∴∴∴∵∴∵∴
∴＝＝3∵∴∴故答案为：18．【我思故我在】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作
出辅助线构造相似三角形是解题的关键．11．如图，在矩形中，点E，F分别是上的点，，则的长度是___________．【答案】##【
分析】作于点N，延长交的延长线于点M，先证是等腰直角三角形，设，利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求出，，的长度，再利用证
明，推出，，最后再证，利用对应边成比例求出，即可得到的长度．【详解】解：如图，作于点N，延长交的延长线于点M，则，，，是等腰直角三
角形．由题意得：，，，设，则，，，，，．，，，又，，，，．，，，，即，解得：，，故答案为：．【我思故我在】本题考查矩形的性质，全等
三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用相关性质，作辅助线
构造直角三角形和全等三角形．12．如图，在中，，在上取一点D，使，如果在上取点E，使和相似，则=___________． 【答案】
或【分析】本题应分两种情况进行讨论，①；②；可根据各相似三角形得出的关于四条线段的比例关系式求出的长．【详解】解：本题分两种情况：
①如图：此时，∴，∵，∴；②如图：此时，∴，∵，∴，故答案为：或．【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的性质．由于题中没有明确相
似三角形的对应角和对应边，因此本题要分情况进行讨论，以免漏解．13．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M
在旋转中心O的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时各叶片影子在点M右侧成线段．测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为．
则点O、M之间的距离等于___________m；【答案】10【分析】连接交于点H，过点C作，通过证明，通过相似三角形对应边成比例
即可解答．【详解】解：连接交于点H，过点C作，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：．设，，则，∵，∴，∴，即，解得：，∵，∴四边形为
矩形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即：，解得：，∴，故答案为：10．【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键
是画出辅助线，构建相似三角形．14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线
于点G．如果，求的值．【答案】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，即可证得△ADF∽△EBF，△GE
C∽△GAD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△ADF
∽△EBF，△GEC∽△GAD，∴ ，∵，∴，∴ ，∴ ，∴ ．【我思故我在】此题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．
解题关键在于注意掌握数形结合思想的应用．15．矩形中，为对角线，，E为中点，动点P从点A出发沿方向，向点B运动，动点Q同时以相同速
度，从点B出发沿方向向点C运动，P、Q的速度都是1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x秒．
(1)时，求运动时间t；(2)时，求运动时间t；(3)当t为何值时，以点P，B，Q为顶点的三角形与相似？(4)连接的面积能否达到矩
形面积的三分之一，若能求出t的值；若不能，说明理由．【答案】(1)(2)(3)或(4)【分析】(1)先求出，，再证明，，即，由此即
可得到答案；(2)证明，得到，即，据此求解即可；(3)分当时， 当时，两种情况利用相似三角形的性质讨论求解即可；(4)先求出，再由
，得到，解方程即可．【详解】(1)解：由题意得，，则，∵，∴，∴，即，解得；(2)解：∵四边形是矩形，∴，∵∴，∴，∴，∴，即，解
得；(3)解：当时，则，如图3-1所示，∵E是的中点，∴，又∵，∴，∴，解得或(舍去)；当时，则，∴，∴，解得(不合题意的值已舍去
)；综上所述，当或时，以点P，B，Q为顶点的三角形与相似(4)解：由题意得，∴，∵，∴，∴，解得(不合题意的值已舍去)．【我思故我
在】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，一元二次方程与图形面积，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．16．解
答题(1)如图1，和都是等边三角形，连接、，求证，；[类比探究](2)如图2，和都是等腰直角三角形，，连接．求的值．[拓展提升](
3)如图3，和都是直角三角形，，．连接，延长交于点F，连接．若恰好等于，请直接写出此时之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)(
3)【分析】(1)证明，从而得出结论；(2)证明，从而得出结果；(3)过点B作，垂足为点H，令和相交于点O．通过证明以及，根据对应
边成比例，即可将三条线段表示出来，即可得出结论．【详解】(1)解：∵和都是等边三角形，∴，，，∴，即：，在和中，，∴，∴．(2)解
：∵和都是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，则，∵，即：，在和中，，，∴，∴，令，根据勾股定理可得：，∴．(3)过点B作，垂足为点H，
令和相交于点O．∵，，∴，，∴，则，∴，即：，∵，∴，∴，在和中，，，∴，设，，则，∵，，∴，∴，即，，∴，∵，，∴，∴，即，，∵
，，∴，∵，∴．【我思故我在】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟
练掌握“手拉手”模型及其变形．17．在△ABC中，，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．(1)如图1，点D在BC边上，，AD与
BE相交于点P，过点A作，交BE的延长线于点F，易得的值为 ；(2)如图2，在△ABC中，，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的
中线BE的延长线交于点P，，求的值；(3)在(2)的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ．【答案】(1)；(2)；(3)6【分
析】(1)易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，
然后根据相似三角形的性质就可求出的值；(2)过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k
，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性
质就可求出的值；(3)当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据的值求出的值，就可求出BP的值．【详
解】解：(1)如图1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC，∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB(AAS)，∴AF=
BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，∵AF∥BC，∴△APF∽△DPB，∴，故答案是：；(2)如图2，过点A作AF∥
DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中点，∴AE=CE．∵
AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF和△CEB中，，∴△AEF≌△CEB，∴EF=BE，AF=BC=2k．∵AF∥DB，∴△AFP
∽△DBP，∴；(3)当CD=2时，BC=4，∵AC=6，∴EC=AE=3，∴EB= ∴EF=BE=5，BF=10．∵，，∴BP=
BF=×10=6．故答案为6．【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点
，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键．18．在△ABC中，，，点P在平面内不与点A，C重合，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线
段，连接．(1)如图①，当，的值是 ，直线与直线相交所成的较小角的度数是 ．(2)如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较
小角的度数，并说明理由．(3)当时，若点E，F分别是中点，点P在直线上，请直接写出当C，P，D在同一直线上时，求的值．【答案】(1
)1，(2)，，理由见解析(3)或【分析】(1)证明，得到，即可得解；利用全等，对应角相等，以及对顶角相等，得到，即可得解；(2)
根据题意：，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质证明，利用相似的性质即可得解；(3)分点在线段上，和P在线段上两种情况分类讨
论即可；【详解】(1)解：如图，延长交的延长线于点，设交于点∵，∴是等边三角形，由题意可知，∴是等边三角形，∴，∴，即，在和中，
，∴ (SAS)∴∵∴在和中，有 ∴，直线与直线相交所成较小角的度数是；(2)；直线与直线相交所成较小角的度数为，理由如下：∵，
∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，且，∴是等腰直角三角形，∴，∴ ， ∴，即，， ∴ ，设交于点G，交于点，∵在和中，，，∴
；(3) 值为或 ，理由如下：当点在线段上，延长交的延长线于点，∵分别是的中点，即是的中位线，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，
∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，设，则，，∴ ，当点P在线段上时，同法可证：，设，则，
，∴ ，∴． 【我思故我在】本题考查旋转的综合应用，全等三角形的判定和性质，相似三角形判定和性质．熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．19．如图，点E是矩形的边的中点，F是边上一动点(点F与点B，点C不重合)，线段和相交于点P，连接．(1)若在线段上取一点Q，使得，连接，猜想与的关系并证明；(2)若时，，求的长；(3)当点F为的中点时，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)判断出，进而得出，即可得出结论；(2)先判断，再判断出，即可得出结论；(3)延长交的延长线于点G，先判断出，得出，进而判断出，再判断出，进而判断出，判断出，即可得出结论．【详解】(1)解：，理由，∵四边形是矩形，∴∴，∵E是边的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴；(2)解：∵E是边的中点，，∴．∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴，即，∴；(3)解：如图，延长交的延长线于点G，∵点E是的中点，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又，∴，又点F为的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【我思故我在】此题查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键． |
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