专题04 计算技巧及能力提升(全面版)有理数运算1．计算题(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)2 (2)﹣ (3)25 (
4)6 (5)【分析】(1)根据加减运算法则计算可得；(2)将除法转化为乘法，计算乘法可得；(3)逆用乘法分配律提取25后，计算括
号内的，最后计算乘法即可；(4)根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得；(5)根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得．【详
解】(1)解：原式=；(2)解：原式＝；(3)解：原式＝；(4)解：原式＝＝＝＝6；(5)解：原式＝＝＝．【我思故我在】本题主要考
查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．2．计算下列各题：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)0
(2) (3) (4)【解析】(1)(2)(3)(4)3．计算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；
【详解】(1)解： ；(2)解： ；(3)解： ；(4)解： 【我思故我在】本题考查了有理数的混合运算以及合并同类项，熟练掌握相关
的知识点是解题的关键．二次根式运算4．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据，，再计算即可；(2)根据，，，
，再计算即可．【详解】(1)；(2)．【我思故我在】本题主要考查了实数的运算，解决问题的关键是熟练掌握二次根式的性质，二次根式加减
的法则，立方根的计算，绝对值的化简，的幂的化简．5．计算：(1)(2)【答案】(1)12(2)【分析】(1)先算二次根式的乘除法，
在算加法，可进行求解；(2)根据二次根式的混合运算法则可进行求解．【详解】(1)解：原式=；(2)解：原式=．【我思故我在】本题主
要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．6．计算：(1)(2)【答案】(1) (2)【分析】(1)先利用二次
根式的性质进行化简，再去括号进行加减计算即可；(2)先根据绝对值、负整数指数幂、立方根、零指数幂和算术平方根的定义进行化简，再进行
加减计算即可．(1)原式(2)原式【我思故我在】本题考查了二次根式的混合运算和实数的混合运算，熟练掌握绝对值、负整数指数幂、立方根
、零指数幂和算术平方根的定义以及二次根式的性质是解题的关键．7．计算：(1)(2)(3)【答案】(1) (2) (3)2【分析】(
1)先根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，再化成最简二次根式即可；(2)先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法则进
行计算即可；(3)先根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，再化简二次根式进行计算即可．【详解】(1)====(2)===(3)==
==【我思故我在】本题主要考查二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．8．计算(1)(2)(3)(4)【答案】(
1)(2)(3)(4)【分析】(1)先算绝对值，负指数幂和零指数幂，再算乘法，最后算加减法；(2)先将各数化简，再算加减法；(3)
利用乘法分配律展开，再计算；(4)利用平方差公式和完全平方公式展开，再算加减法．【详解】(1)解：===；(2)===；(3)==
===；(4)===【我思故我在】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9．计算(1)(2)(3)(4
)【答案】(1)7(2)(3)(4)【分析】(1)先将二次根式进行化简，再根据二次根式的加减、混合运算法则进行计算即可得到答案；(
2)先根据平方差公式进行计算，再根据有理数的加减运算法则进行计算即可；(3)先进行二次根式的化简和负整数指数幂的计算，再根据二次根
式的加减运算法则进行计算即可；(4)先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，再进行二次根式化简，最后根据二次根式的加减运算法则进行计
算．【详解】(1)解：==7；(2)解：===；(3)解：==；(4)解：===．【我思故我在】本题考查二次根式的化简、二次根式的
加减、混合运算、零指数幂运算、负整数指数幂运算和化简绝对值，解题的关键是熟练掌握化简二次根式的方法及相关运算法则．整式运算10．计
算：(1)；(2)．【答案】(1) (2)【分析】(1)先计算积的乘方与幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得；(2)先计算单项式
乘以多项式、完全平方公式，再计算整式的加减即可得．(1)解：原式．(2)解：原式．【我思故我在】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项
式乘以单项式、单项式乘以多项式、完全平方公式等知识点，熟练掌握运算法则是解题关键．11．计算：【答案】【分析】先利用单项式乘多项式
计算，再合并同类项即可．【详解】解：．【我思故我在】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题关键．12．先
化简，再求值：，其中【答案】，9【分析】先计算单项式乘以多项式、乘法公式，再计算整式的加减，然后将代入求值即可得．【详解】解：原式
，将代入得：原式．【我思故我在】本题考查了单项式乘以多项式、乘法公式、以及化简求值，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．1
3．先化简，再求值：(1)，其中x=3；(2)，其中x=1，y=-2．【答案】(1)，9；(2)x-2y，5．【分析】(1)先根据
幂的乘方和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可；(2)先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，
算除法，最后代入求出答案即可．【详解】(1)解：=，当x=3时，原式==9；(2)解：=x-2y，当x=1，y=-2时，原式=1-
2×(-2)=1+4=5．【我思故我在】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．一
元一次方程14．解方程：﹣＝1．【答案】【分析】先去分母，再去括号，移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解．【详解】
解：﹣＝1，去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，化系数为1得：．【我思故我在】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程
的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．15．解方程．【答案】【分析】方程去分母，去括号，移项
，合并，将系数化为1，即可求出解．【详解】解：去分母，得：，移项，得：：合并同类项，得：，系数化为1，得．【我思故我在】本题考查解
一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．16．解方程：．【答案】【分析】首先去括号，继而移项
、合并同类项，求解即可．【详解】解：去括号，得：，移项，得：合并同类项，得：，系数化为1，得：．【我思故我在】本题考查一元一次方程
的求解，计算时按照运算法则去括号、合并同类项，计算注意仔细即可．17．解方程(1)(2)【答案】(1) (2)【分析】(1)按照去
分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；(2)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可
【详解】(1)解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：；(2)解： 分母得：，去括号得：，移项得：，合
并同类项得，系数化为1得：．【我思故我在】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．18．解方程：(1)
；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】(1)按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤依次进行计算
；(2)按照去分母，去括号，移项的步骤依次进行计算；(3)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤依次进行计算；(4
)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤依次进行计算．【详解】(1)解：去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数
化为1得，．(2)解：，去分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，．(3)解：，去分母得，，去括号得，，，移项得，，合并同类
项得，，系数化为1得， ．(4)解：，去分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数化为1得，．【我思故我在】本题考查了解
一元一次方程，正确的解相关方程是解题的关键．二元一次方程组19．解方程组(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】(1)利用加减消元
法求解即可；(2)先整理化简，然后利用加减消元法求解即可．【详解】(1)解：①+②，得，解得，将代入②中，得解得，∴原方程组的解为
；(2)解：原方程组可化为由，得解得将代入①中，解得∴原方程组的解为【我思故我在】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解
题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．20．解方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】(1)方程组利用加减消
元法求出解即可；(2)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【详解】(1)解：，②①得：，解得：，把代入①得：，则方程组的解为；
(2)方程组整理得：，①②得：，解得：，把代入①得：，则方程组的解为．【我思故我在】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，
消元的方法有：代入消元法与加减消元法．21．解方程组(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】(1)利用加减法消元法解二元一次方程
组即可；(2)先整理方程，再利用加减消元法解二元一次方程组即可．(1)解：，①×3-②得：-x=-5，解得：x=5，把x=5代入①
得10-y=5，解得：y=5，∴方程组的解为；(2)解：整理原方程组得，②-①得4n=8，解得n=2，把n=2代入①得2m-2=4
，解得m=3，∴方程组的解为．【我思故我在】本题考查了解二元一次方程组，做题关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．不等
式（组）22．解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来．(1)；(2)．【答案】(1)，数轴见解析(2)，数轴见解析【详解】(
1)解：去分母：，去括号得：，解得在数轴上表示，如图，(2)解：解不等式①得：解不等式②得：在数轴上表示，如图，∴不等式组的解集为
：【我思故我在】本题考查了解一元一次不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来，数形结合是解题的关键．23．解不等式组【答案】【详解】
解：由①得：解得：由②得： 解得： ∴不等式组的解集为：【我思故我在】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握“一元一次不等式组的
解法步骤”是解本题的关键．24．解不等式组：【答案】【分析】先分别求出不等式组国每一个不等式的解集，再根据“大取较大，小小取较小，
大小小大中间找，大大小小无处找”确定出化共解集即可．【详解】解：，解①得：；解②得：，∴．【我思故我在】本题考查解不等式组，掌握确
定不等式组的解集是解题的关键．25．解下列不等式(组)．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】(1)先去括号，然后移项、合并
同类项，系数化为1即可得出结果；(2)先求出各个不等式的解集，然后再由“同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小无处找”确定不
等式组的解集即可．(1)解：去括号得：，移项得：，合并同类项得：；(2)解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为．【我思
故我在】本题主要考查求不等式及不等式组的解集，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键．一元二次方程26．解下列方程：(1)(配方法)
；(2)；(3)；【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】(1)将方程常数项移到方程右边左右两边都加上6，左边化为完全平方式，右边
合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；(2)移项提取公因式，然后用因式分解来求解；(
3)将方程整理为一般形式，找出，及的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出原方程的解．【详解】(1)解：解得：，；(
2)解：或，解得：，；(3)解：，，，，，则，．【我思故我在】本题考查了解一元二次方程配方法，公式法以及因式分解法，利用因式分解法
解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．27
．选择适当的方法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)，(2)，(3)，【详解】(1)解：，，，故方程的解为，．(2)
解：，，，或，或，故方程的解为，．(3)解：方程中的，所以方程根的判别式为，所以，故方程的解为，．【我思故我在】本题考查了解一元二
次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法(直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法、换元法等)是解题关键．28．解方程：(1)；(
2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】(1)利用公式法求解即可求得答案；(2)首先移项，利用因式分解法求解
即可求得答案；(3)首先移项，利用直接开平方法求解即可求得答案；(4)提取公因式，利用因式分解法求解即可求得答案．【详解】(1)解
：∵，∴，∴，∴，解得；(2)解：∵，∴，∴，∴或，解得；(3)解：∵，∴，∴，∴，解得；(4)解：∵，∴，∴，∴或，解得．【我思
故我在】本题考查解一元二次方程，解题的关键是会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程．29．解方程(1)(2)(配方法)
(3)(公式法)(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【详解】(1)解：，移项，得：，两边开平方，得：，∴，∴，；(2)解
：，变形，得：，配方，得：，整理，得：，两边开平方，得：，∴，∴，；(3)解：，整理，得：，其中：，，，∵，∴，∴，；(4)解：，
因式分解，得：，即，∴或，∴，．【我思故我在】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法等常用的解一
元二次方程的方法是解题的关键．分式运算30．先化简，再求值(1)，其中；(2)，其中a满足．【答案】(1)，(2)，【分析】(1)
先算括号，再算除法，能因式分解的先进行因式分解，进行化简计算，再代值求解即可；(2)利用整体通分法，先算括号，再算除法进行化简，利
用整体思想求值．【详解】(1)解：原式；当时，原式；(2)解：原式， ∵，∴， 当时，原式．【我思故我在】本题考查分式的化简求值．
根据分式的运算法则正确的进行化简，是解题的关键．31．先化简，再求值： ，其中a是方程的解．【答案】，【分析】先根据分式混合运算法
则计算，即可化简分式，再用因式分解法解一元二次方程求出x值，再根据分式有意义条件和a是方程的根，得出a值，代入化简式计算即可．【详
解】解：，解得：，，，∵a是方程的解∴或 当时，原分式无意义，(舍去)，∴当时，原式．【我思故我在】本题考查分式化简求值，一元二次
方程的解法，熟练掌握分式混合运算法则，用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．32．化简：，并从不等式组的解集中选择一个合适的整数
解代入求值．【答案】，2【分析】先根据分式的混合计算法则化简分式，再解不等式组求出不等式组的整数解，在结合分式有意义的条件确定的值
，最后代值计算即可．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为，∴不等式组的整数解为0，1，2，∵分式要有意
义，∴，∴且，∴满足题意的整数的值是0，∴当，原式．【我思故我在】本题主要考查了分式的化简求值，求一元一次不等式组的整数解，熟知相
关计算法则是解题的关键．33．先化简，再求值：，其中x满足．【答案】，．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，
同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】解：，当时，原式．【我思故我在】本题主要考查了分式的化
简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．34．先化简，再求值：，其中．【答案】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分
式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．【详解】解：=======．【我思故我在】此
题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．35．先化简，再求值：(1)(1)，其中x＝﹣3；(2)化简求值：()，其
中m＝﹣1．【答案】(1)，(2)m-3，-4【分析】(1)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．(
2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可．(1)解：原式＝==当x＝?3时，原式＝；(2)原式===
m-3，当m＝﹣1时，原式=-1-3=-4．【我思故我在】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．36
．已知实数x是方程的一根，求代数式的值．【答案】，【分析】根据实数x是方程的一根，可得，然后根据分式的混合运算法则化简代数式，代入
求解即可．【详解】解：∵x是方程的一根，∴，∴，∴原式．【我思故我在】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则以及运用
整体代入的思想是解本题的关键．37．先化简，再求值，其中是的小数部分．【答案】化简的结果： 当时，代数式的值为【分析】先计算括号内
的分式的加减运算，再把除法转化为乘法，约分后可得化简的结果，再根据无理数的估算方法得到整数部分 再代入求值即可．【详解】解： ∵
∴ ∴ 而是的小数部分，∴ ∴原式【我思故我在】本题考查的是分式的化简求值，无理数的整数部分问题，掌握“分式的混合运算的运算顺序
”是解本题的关键．分式方程38．解下列分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)分式方程无解【详解】(1)解：方程两边同时乘以
最简公分母得∶检验：当 时，，∴是原方程的的解．(2)解：方程两边同时乘以最简公分母得，，，．检验：当时，， ∴是原方程的增根，∴
分式方程无解．【我思故我在】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．注意验根．39．解分式方程：．【答案】【分析
】两边都乘以，化分式方程为整式方程，再进一步求解即可．【详解】解：两边都乘以，得：，整理，得：，解得，，检验：当时，，舍去；当时，
；所以分式方程的解为．【我思故我在】本题主要考查解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键，注意检验．40．解方程：(1)；(
2)．【答案】(1)(2)原方程无实数根(1)解：，方程两边同时乘，得，整理，得，解得，检验：当时，，∴原方程的解为；(2)解：，
方程两边同时乘，得，整理，得，解得，检验：当时，，∴原方程无实数根．【我思故我在】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程
是解此题的关键．注意：解分式方程要检验．41．解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)无解(1)解：，去分母得： 整理得： 解得：
经检验：是原方程的根，∴原方程的根为：(2)解：去分母得： 整理得： 解得： 经检验：是原方程的增根，∴原方程无解．【我思故我在
】本题考查的是分式方程的解法，解题的关键是将分式方程化成整式方程进行求解，注意需要验根．42．解方程： 【答案】【分析】方程两边都
乘，化为整式方程，解方程即可求解，最后检验．【详解】解：原方程可变为，方程两边都乘，得，，解得，经检验：是分式方程的解，∴分式方程
的解为．【我思故我在】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键，最后要检验．三角函数值运算43．计算：(1)(2)【答案】(1
) (2)【分析】(1)将，，代入，再计算乘法与加法；(2)将，，代入，然后根据二次根式的性质，非0数的0指数幂等于1，乘积等于1
的两个数互为倒数化简，最后有理数无理数分别合并．【详解】(1)；(2)．【我思故我在】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数，实数的运
算．解决问题的关键是熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，实数混合运算的顺序，二次根式的性质，0指数幂定义，倒数的定义．44．计算：(1)(2)【答案】(1) (2)【分析】(1)用特殊角的三角函数值代入计算；(2)用特殊角的三角函数值、幂的运算、二次根式运算法则代入．【详解】(1)(2)45．计算：(1)；(2)．【分析】(1)先求解特殊角三角函数值，再算乘方和积，最后再合并即可；(2)先求解特殊角三角函数值，化简二次根式和绝对值，再算积，最后再合并即可．【详解】(1)；(2)= =．【我思故我在】本题考查了特殊角的三角函数、二次根式、绝对值等的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．46．计算：(1)；(2)．【答案】(1) (2)【详解】(1)解：原式=；(2)解：原式=【我思故我在】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值及算术平方根、负整数指数幂、零指数幂的意义是解决问题的关键．47．计算：(1)．(2)．【答案】(1) (2)【分析】(1)利用特殊角的三角函数值计算即可；(2)先进行算式平方根、正切值、绝对值和负整数指数幂运算，再加减运算即可求解．(1)解：原式；(2)解：原式．【我思故我在】本题主要考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数、二次根式的混合运算、绝对值、负整数指数幂，熟记特殊角的三角函数值，掌握运算法则并正确求解是解答的关键． |
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