专题16 三角形一边平行线定理
一．选择题（共9小题）
1．（2020?浙江自主招生）等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019?顺庆区校级自主招生）已知，那么下列等式中，不成立的是（ ）
A． B．
C．（y≠﹣4a） D．4x＝3y
3．（2018?台儿庄区校级自主招生）已知点G是等边△ABC的重心，AB＝6，P为AB边上的一个动点，则P、G两点间距离的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2017?青羊区自主招生）若α，b，c均为实数，且＝＝＝x，则x的值为（ ）
A．1 B． C．或1 D．或﹣1
5．（2017?温江区校级自主招生）如图，在△ABC中，D、E分别为BC，AB中点，F在AC上且AF＝2FC，AD与EF交于点G，则＝（ ）
A．3：7 B．4：9 C．5：11 D．6：13 6．（2017?涪城区校级自主招生）若x：y＝1：3，2y＝3z，则的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣ C． D．5
7．（2017?余姚市校级自主招生）如果实数m≠n，且＝，则m+n＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2017?诸暨市校级自主招生）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E是对角线AC的中点，直线BE交AD于点F，则AF：FD＝（ ）
A．2：1 B．1：2 C．2：3 D．3：2
9．（2012?乐平市自主招生）在△ABC中，P、Q分别在AB、AC上，且，则PQ一定经过△ABC的（ ）
A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心
二．填空题（共14小题）
10．（2020?温江区校级自主招生）若a：b：c＝3：5：8，3a+b﹣c＝18，则a＝ ．
11．（2020?南安市校级自主招生）如图所示，△ABC中，已知AD和BE分别是边BC，AC上的中线，且AD⊥BE，垂足为G，若GD＝2，GE＝3，则线段CG为 ．
12．（2020?浙江自主招生）如图，点G是△ABC的重心，GA⊥GB，AB＝5，则AC2+BC2的值为 ．
13．（2020?浙江自主招生）G是△ABC的重心，过G的直线交AB于M，交AC于N，则＝ ．
14．（2020?浙江自主招生）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC上任意一点，连接AE、DE、G1、G2、G3分别为△ABE，△ADE，△DEC的重心，BC＝2AD＝12，梯形的高为6，则△G1G2G3的面积为 ．
15．（2020?浙江自主招生）如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM：MN：ND等于 ．
16．（2018?涪城区校级自主招生）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，点C为线段OP上任意一点，CD∥ON交PM、PN分别为D、E．若MN＝3，则的值为 ．
17．（2017?金牛区校级自主招生）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交 AB、AC于点P、Q两点．则＝ ．
18．（2017?慈溪市校级自主招生）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且＝m，＝n，则+＝ ．
19．（2014?宝山区校级自主招生）已知，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠C＝36°，则△ABC的面积是 ．
20．（2016秋?温江区校级月考）如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P，且AE：EB＝3：2，CP：CE＝5：6，那么DB：CD＝ ．
21．（2012?麻城市校级自主招生）已知a，b，c均为非零实数，满足：＝＝，则的值为 ．
22．（2009?蒲江县校级自主招生）已知，在△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG＝5cm，GC＝12cm，则BG＝ ．
23．（2007?安庆校级自主招生）如图，在△ABC中，E为AB边的中点，P为BE上一点，过点P作PQ∥BC交AC于Q，交CE于M，若PM＝2，MQ＝3，则BC＝ ．
三．解答题（共4小题）
24．（2018?宝山区校级自主招生）G为重心，DE过重心，S△ABC＝1，求S△ADE的最值，并证明结论．
25．（2017?青羊区自主招生）在△ABC中，已知点D是∠A的内角平分线上的一点，E，F分别为AB，AC延长线上的点．若CD∥BF，且CD与AB交于点G，BD∥CE，且BD与AC交于点H．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若M，N分别为CE，BF的中点，求证：AD⊥MN．
26．（2015?长沙县校级自主招生）如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足BM＝MN＝NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求的值．
27．（2015?成都校级自主招生）如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，
求证：MN+PQ＝2PN．
专题16 三角形一边平行线定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【解答】解：作ED∥AC交BF于D，如图，
∵ED∥FC，
∴＝＝，
设ED＝4x，BE＝y，则FC＝3x，AF＝y，
∵AB＝AC，
∴AE＝FC＝3x，
∵DE∥AF，
∴＝，即＝，
整理得y2﹣4xy﹣12x2＝0，
∴（y+2x）（y﹣6x）＝0，
∴y＝6x，
∴＝＝．
故选：A．
2．【解答】解：A、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
B、∵，
∴＝﹣，此选项错误，符合题意；
C、∵， ∴＝，此选项正确，不合题意；
D、∵，
∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；
故选：B．
3．【解答】解：当点P运动到AB中点位置时，
∵点G是等边△ABC的重心，
∴CP⊥AB，CG＝2PG即GP＝CP．
此时GP最短，且BP＝3，BC＝6，
根据勾股定理可得：
CP＝＝3，
∴GP＝．
故选：C．
4．【解答】解：∵＝＝＝x，
∴①当α+b+c≠0时，x＝＝；
②当α+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），则x＝＝＝﹣1．
故选：D．
5．【解答】解：连接DE，如图，AF＝2FC，则AF＝AC，
∵D、E分别为BC，AB中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∵DE∥AF，
∴＝＝＝＝，
设S△DEG＝3x，则S△AEG＝4x，
∵＝＝， ∴S△AGF＝x，
∵AE＝BE，
∴S△ABD＝2S△ADE＝2（3x+4x）＝14x，
∵BD＝CD，
∴S△ADC＝S△ABD＝14x，
∴S四边形CDGF＝14x﹣x＝x，
∴＝＝．
故选：D．
6．【解答】解：由x：y＝1：3，得y＝3x．
＝＝＝﹣5，
故选：A．
7．【解答】解：根据比例的性质，
由原式得，＝，
整理得，＝，
2（m+n）＝14，
m+n＝7．
故选：A．
8．【解答】解：延长BF交CD的延长线与点G，连接AG，如图，
∵AB∥CD，E是对角线AC的中点，
∴四边形ABCG是平行四边形，
∴GC＝AB，
又AB＝3CD，
∴GD＝2CD， ∴＝＝，
故选：D．
9．【解答】解：作BC边上的中线AD，交PQ于G，过B作BE∥PQ交AD于E，过C作CF∥PQ交AD的延长线于F．
则D是BC的中点，BE∥CF，
由△BED≌△CFD得ED＝FD，
∵+＝+＝＝＝
∵根据已知条件，得＝1，即＝，
故G是△ABC的重心，
故选：C．
二．填空题（共14小题）
10．【解答】解：设a＝3k，b＝5k，c＝8k（k≠0），
∵3a+b﹣c＝18，
∴3×3k+5k﹣8k＝18，
6k＝18，
解得：k＝3，
∴a＝3k＝9，
故答案为：9．
11．【解答】解：延长CG交AB于H，如图， ∵BD和CE分别是边AC，AB上的中线，
∴点G是△ABC的重心，
∴AG＝2GD＝4，BG＝2GE＝6，CG＝2GH，
∵AD⊥BE，
∴∠AGB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
又∵H是AB的中点，
∴GH＝AB＝，
∴CG＝2GH＝2．
故答案为：．
12．【解答】解：延长BG交AC于E，延长AG交BC于F，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴AE＝AC，BF＝BC，BG＝2GE，AG＝2GF，
在Rt△ABG中，AG2+BG2＝AB2＝25，
在Rt△AEG中，AG2+EG2＝AE2＝AC2，
∴AG2+BG2＝AC2，①
在Rt△BEF中，BG2+GF2＝BF2＝BC2，
∴BG2+AG2＝BC2，②
①+②得AG2+BG2＝AC2+BC2，
∴AC2+BC2＝5×25＝125．
故答案为125．
13．【解答】解：如图，过点B作BE∥AG，过点C作CF∥AG，
∴＝，＝，
∵G是△ABC的重心，
∴DG是梯形BCFE的中位线，
∴BE+CF＝2GD，
∴+＝+＝＝1．
故答案为：1．
14．【解答】解：连接AG1，并延长交BC于点F，连接DG3，并延长交BC于点K，连接EG2，并延长交AD于点Q，交G1G3于点P，
∵G1、G2、G3分别为△ABE，△ADE，△DEC的重心，
∴AD∥FK∥G1G3，EF＝BE，EK＝EC，
∴FK＝EF+EK＝BE+EC＝BC，
∵BC＝2AD＝12，
∴FK＝AD，
∴四边形AFKD是平行四边形，
∴AD＝FK＝G1G3＝6，
∵G2Q＝EQ，EP：EQ＝G3K：DK＝1：3， 即EP＝EQ，
∴G2P＝EQ，
∵梯形的高为6，
∴△G1G2G3的高为：×6＝2，
∴△G1G2G3的面积为：×6×2＝6．
故答案为：6．
15．【解答】解：如图，作PD∥BF，QE∥BC，
∵D为BC的中点，
∴PD：BF＝1：2，
∵E，F为AB边三等分点，
∴PD：AF＝1：4，
∴DN：NA＝PD：AF＝1：4，
∴ND＝AD，AQ：AD＝QE：BD＝AE：AB＝1：3，
∴AQ＝AD，QM＝QD＝AD＝AD，
∴AM＝AQ+QM＝AD，
MN＝AD﹣AM﹣ND＝AD
∴AM：MN：ND＝5：3：2．
故答案为5：3：2．
16．【解答】解：过P作PQ⊥MN，
∵PM＝PN， ∴MQ＝NQ＝，
在Rt△OPQ中，OP＝10，∠AOB＝60°，
∴∠OPQ＝30°，
∴OQ＝5，
则OM＝OQ﹣QM＝，
∵CD∥ON，
∴，
∴＝＝，
故答案为；．
17．【解答】解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则ME＝MF，
则根据梯形的中位线定理得：
∵MD是梯形的中位线，
∴BE+CF＝2MD，
∴＝+＝＝＝1，
故答案为1．
18．【解答】解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF，
∵点D是BC的中点， ∴MD是梯形的中位线，
∴BE+CF＝2MD，
∴+＝＝+＝＝＝1．
19．【解答】解：作CD⊥AB于D，在BC上截取一点F，使得AF＝AB．
∵CA＝CB，∠ACB＝36°，
∴∠B＝∠AFB＝72°，
∵∠FAB＝∠CAF＝36°＝∠ACB，
∴AB＝AF＝CF，设AB＝AF＝CF＝x，
由△ABF∽△CBA，
∴AB2＝BF?BC，
∴x2＝（1﹣x）?1，
∴x＝，
∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝DB＝，
∴CD＝＝＝，
∴S△ABC＝?AB?CD＝．
故答案为＝．
20．【解答】解：过E点作EF∥BC，交AD于F． ∵AE：EB＝3：2，CP：CE＝5：6，
∴EF：BD＝3：（3+2）＝3：5，EF：CD＝（6﹣5）：5＝1：5＝3：15，
∴DB：CD＝5：15＝1：3．
故答案为：1：3．
21．【解答】解：（1）当a+b+c≠0时：＝＝，
利用等比性质得到：＝＝＝＝＝1；
而＝，
∴，同理＝＝2，
∴＝8；
（2）当a+b+c＝0时，则b+c＝﹣a，a+b＝﹣c，c+a＝﹣b，则＝＝﹣1．
22．【解答】解：
以直线GC为x轴，以直线AG为y轴建立平面直角坐标系，则G（0，0），A（0，5），C（12，0），
设B的坐标是（x，y）， 由重心坐标公式得：0＝，0＝，
解得：x＝﹣12，y＝﹣5，
即B的坐标是（﹣12，﹣5），
由勾股定理得：BG＝＝13，
故答案为：13，
23．【解答】解：过E作EF∥BC交AC于F，
设BE＝AE＝x，EP＝y，
∵EF∥BC，E为AB的中点，
∴F为AC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∵BC∥PQ，
∴EF∥BC∥PQ，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
即+1＝，
解得：BC＝8，
故答案为：8．
三．解答题（共4小题）
24．【解答】解：S△ADE的最大值为，最小值为．
证明：假设△ABC面积为S1，△ADE面积为S2，
设AD＝mAB，AE＝nAC，
∵G为△ABC重心， ∴＝3，
∴S2＝AD?AE?sinA＝mAB?nAC?sinA＝mnS1，
当＝＝时，有最大值，则mn有最小值，
而无论D、E任何移动，mn，
∴S1≤S2≤S1，
∴S△ADE的最大值为，最小值为．
25．【解答】（1）证明：过点G作GQ⊥BD于Q，过点H作HP⊥CD于P．
∵D是∠A的内角平分线上的一点，
∴点D到AB，AC的距离相等，
∴＝＝＝＝①，
∵EC∥DB，BF∥CD，
∴＝，＝，
∴＝②，
由①②得到，＝1，
∴BE＝CF．
（2）证明：取BC的中点K，连接KM，KN．
∵CM＝EM，BN＝NC，
∴MK＝BE．MK∥BE，KN＝CF，KN∥BC，
作∠MKN的角平分线KJ，则KJ⊥MN，
∵MK∥AE，KN∥AF，
∴AD∥KJ，
∵KJ⊥MN，
∴AD⊥MN．
26．【解答】解：过N、M分别作AC的平行线交AB于H、G，交AM于K，如图，
∵BM＝MN＝NC，
∴BG＝GH＝AH，
∵HK∥GM，
∴KH＝GM，GM＝NH，
∴HK＝NH，
∴＝，
∴DF∥NH，
∴＝，＝，
∴＝，
∴＝＝3．
27．【解答】证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，
∵F是AC的中点，
∴DF的延长线必过O点，且．
∵AB∥CD， ∴．
∵AD∥CE，
∴．
∴＝＝．
又∵＝，
∴OQ＝3DN．
∴CQ＝OQ﹣OC＝3DN﹣OC＝3DN﹣AD，AN＝AD﹣DN．
∴AN+CQ＝2DN．
∴＝＝2．
即MN+PQ＝2PN．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/9/15 9:26:35；用户：欧阳盛世；邮箱：15901707080；学号：27817092
|
|
