专题12 圆的基本性质
一．选择题（共4小题）
1．（2021?黄州区校级自主招生）如图，已知O上的两条弦AC和BC互相垂直于点C，点D在弦BC上，点E在弦AC上，且BD＝AE，连接AD和BE，点P为BE中点，点Q为AD中点，射线QP与线段BC交于点N，若A＝30°，NQ＝，则DQ的长为（ ）
A． B． C． D．4
2．（2020?郎溪县校级自主招生）如图，将O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果半径为4，那么O的弦AB长度为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
3．（2020?涪城区校级自主招生）如图，四边形ABCD内接于O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若DAB＝50°，则B的度数为（ ）
A．50° B．65° C．75° D．130°
4．（2020?涪城区校级自主招生）如图，A、B、C是O上三点，ACB＝24°，则AOB 的度数是（ ）
A．56° B．68° C．48° D．12°
二．填空题（共7小题）
5．（2021?江岸区校级自主招生）如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为G上任意一点，CFAE于F，则线段FG的长度的最小值为 ．
6．（2021秋?邗江区校级月考）如图，AB是O的直径，AB＝8，点M在O上，MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝1，则△PMN周长的最小值为 ．
7．（2020?江汉区校级自主招生）如图，在边长为2的等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上两个动点，且满足AE＝CD，连接BE、AD相交于点P，则线段CP的最小值为 ．
8．（2020?涪城区校级自主招生）O的半径为5，弦AB＝8，弦CD＝6，ABCD，则AC＝ ． 9．（2020?浙江自主招生）平面直角坐标系中，O交x轴正负半轴于点A、B，点P为O外y轴正半轴上一点，C为第三象限内O上一点，PHCB交CB延长线于点H，已知BPH＝2BPO，PH＝15，CH＝24，则tanBAC的值为 ．
10．（2020?涪城区校级自主招生）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是O中弦CD的中点，EM经过圆心O交O于点E，CD＝10，EM＝25，则O的半径 ．
11．（2020?浙江自主招生）如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的A，已知：BC＝10，cosBCD＝，BCE＝30°，则线段DE的长是 ．
三．解答题（共9小题）
12．（2021?江岸区校级自主招生）如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．
（1）求证：AM?MB＝CM?MD；
（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM?MB的值．
13．（2020?武昌区校级自主招生）如图1，AB是O的直径，C是圆上一点，BAC的平分线交O于点D，过D作DEAC交AC的延长线于点E．
（1）若AB＝20，AC＝12，求BD，DE的长；
（2）若F是OA的中点，FGOA交直线DE于点G，如图2，若FG＝，tanBAD＝，求O的半径．
14．（2020?浙江自主招生）如图，已知ABCD是某圆的内接四边形，AB＝BD，BMAC于M，求证：AM＝DC+CM．
15．（2019?武昌区校级自主招生）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作?O交斜边AC于点D，过圆心O作OEAC，交BC于点E，连接DE，OD，DE＝．
（1）若AC＝6，求△ODE的面积；
（2）若tanACB＝，求AD的长．
16．（2019?浦东新区校级自主招生）有一块正方形田地，中间有一圆池，池与田间间隙有13.75亩，方田四边到圆的最近距离都是20步，求边长，直径，（240步2＝1亩，π＝3）
17．（2018?温江区校级自主招生）如图，已知O的直径AB＝10，C、D为上半圆上两点，AC＝CD，过点C作CEAB，垂足为E（点E在线段AO上），CE＝4．
（1）求四边形ACDB的面积；
（2）取CB的中点F，连接DF并延长交O于点G，求DG的长．
18．（2017?镇海区校级自主招生）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OCAB．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若OC＝AB＝4，求△BCE的面积．
19．（2015?青羊区校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F．
（1）求证：ODBE；
（2）若DE＝，AB＝，求AE的长．
20．（2016?黄冈校级自主招生）如图，在O中，弦CD垂直于直径AB．M是OC的中点，AM的延长线交O于E，DE交BC于N．求证：BN＝CN．
专题12 圆的基本性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：连接AB，OP，OQ，
AC⊥BC，
ACB＝90°，
AB为直径，
P为BE的中点，Q为AD的中点，
OP∥AC，OP＝AE，OQBD，OQ＝BD，
OP⊥OQ，
POQ＝90°，
BD＝AE，
OP＝OQ，
OPQ＝OQP＝45°，
A＝30°，
CDA＝60°，
NDQ＝120°，
OQA＝120°，
NQD＝15°，
DNQ＝45°，
过点Q作QMBC交BC于M，
则△NQM为等腰直角三角形，
NQ＝2，
MQ＝2，
在Rt△DMQ中，MDQ＝60°，
DQ＝＝4，
故选：D．
2．【解答】解：如图；过O作OCAB于D，交O于C，连接OA；
则AD＝BD，
由折叠的性质得：OD＝CD，
在Rt△OAD中，OD＝CD＝OC＝2，OA＝4；
根据勾股定理得：AD＝＝＝2，
AB＝2AD＝4；
故选：D．
3．【解答】解：BC＝CD，
＝，
DAC＝CAB，
DAB＝50°，
CAB＝×50°＝25°，
AB是直径，
ACB＝90°，
B＝90°﹣25°＝65°，
故选：B．
4．【解答】解：AOB和ACB是同弧所对的圆心角和圆周角， AOB＝2ACB，
ACB＝24°，
AOB＝48°，
故选：C．
二．填空题（共7小题）
5．【解答】解：连接AC，过点G作GMAC于M，连接AG、MF、GF，如图所示：
G（0，2），
OG＝2，GOAB，
OA＝OB＝AB，
G半径为4，
AG＝CG＝4，
GCA＝GAC，
在Rt△OAG中，sinOAG＝＝＝，OA＝＝2，
OAG＝30°，AB＝2OA＝4，
AGO＝90°﹣30°＝60°，
AGO＝GCA+∠GAC＝60°，
GCA＝GAC＝30°，
OA＝AC，
AC＝2OA＝4，MG＝AG＝×4＝2，
AFC＝90°，
点F在以AC为直径的M上，
GM⊥AC，
AM＝CM，
MF＝AC＝2，
当点F在MG的延长线上时，FG的长度的最小，
最小值为：FM﹣MG＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
6．【解答】解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，
则MN′与AB的交点即为PM+PN的最小时的点，PM+PN的最小值＝MN′，
MAB＝20°，
MOB＝2MAB＝2×20°＝40°，
N是弧MB的中点，
BON＝MOB＝×40°＝20°，
由对称性，N′OB＝BON＝20°，
MON′＝MOB+∠N′OB＝40°+20°＝60°，
MON′是等边三角形，
MN′＝OM＝OB＝AB＝＝4，
PMN周长的最小值＝1+4＝5，
故答案为：5．
7．【解答】解：ABC是等边三角形，
AB＝BC＝AC，ABC＝BAC＝BCE＝60°，
AE＝CD
BD＝CE，
ABD≌△BCE（SAS），
BAD＝CBE，
APE＝BAD+∠ABE，
APE＝CBE∠ABE＝ABC，
APE＝60°，
点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的圆弧上运动，如图，
连接OC交O于N，则OCAB，
根据圆周角定理可得AOB＝120°，OAF＝30°，AF＝＝，
OA＝＝2，
OC＝2OA＝4，
当点P与N重合时，CP的值最小，
最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2，
故答案为：2．
8．【解答】解：当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
过点O作OFCD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
AB∥CD，
OE⊥AB，
AB＝8，CD＝6，
AE＝4，CF＝3，
OA＝OC＝5，
由勾股定理得：EO＝3，OF＝4，
EF＝OF﹣OE＝1，
过点C作CHAB于H，连接AC，则CH＝EF＝1，AH＝（AB﹣CD）＝1，
AC＝＝， 当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
过点O作OEAB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
AB∥CD，
OF⊥CD，
AB＝8，CD＝6，
AE＝4，CF＝3，
OA＝OC＝5，
EO＝3，OF＝4，
EF＝OF+OE＝7，
同法可得AC＝5，
当C，D位置交换时，可得AC＝5或7
故答案为：或5或7．
9．【解答】解：设PB交O于点N，连接PA，延长PB、AC交于点M，
AB是直径，PHCB
∴∠ANP＝90°＝ACB＝H，
MC∥PH，
由圆的对称性可得，PA＝PB，BPO＝APO＝APB，
BPH＝2BPO，
BPH＝APB，
PHB≌△PNA （AAS），
PN＝PH＝15，
由MCPH得，HPB＝M＝APM，
AM＝AP＝PB，
AN⊥PM，
PM＝2PN＝30， 由△PHBMCB，
＝＝，
设MC＝a，BC＝b，MB＝c，则HB＝24﹣b，PB＝30﹣c，
＝＝，
＝＝sinM＝sinHPB，
cos∠HPB＝
在Rt△PHB中，PH＝15，
PB＝＝＝25，HB＝sinHPB?PH＝20，
BC＝24﹣20＝4，MB＝30﹣25＝5，则MC＝＝3，
在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝AM﹣MC＝25﹣3＝22，
tan∠BAC＝＝＝，
故答案为：．
10．【解答】解：连接OC，
M是O弦CD的中点，
根据垂径定理：EMCD， 又CD＝10则有：CM＝CD＝5，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝52+（25﹣x）2，
解得：x＝13，
故答案为：13．
11．【解答】解：过B作BFDE于F．
在Rt△CBD中，BC＝10，cosBCD＝，
BD＝8．
在Rt△BCE中，BC＝10，BCE＝30°，
BE＝5．
在Rt△BDF中，BDF＝BCE＝30°，BD＝8，
DF＝BD?cos30°＝4．
在Rt△BEF中，BEF＝BCD，即cosBEF＝cosBCD＝，BE＝5，
EF＝BE?cosBEF＝3．
DE＝DF+EF＝3+4，
故答案为：3+4．
三．解答题（共9小题）
12．【解答】解：（1）A＝C，D＝B，
ADM∽△CBM
∴，
即AM?MB＝CM?MD．
（2）连接OM、OC．
M为CD中点，
OM⊥CD
在Rt△OMC中，
OC＝3，OM＝2
CM＝DM＝，
由（1）知AM?MB＝CM?MD．
AM?MB＝?＝5．
13．【解答】解：（1）如图1，连接BC，OD交于点N，
DE⊥AE，
E＝90°，
AB是O的直径，
ACB＝BCE＝90°，
OA＝OD，
OAD＝ODA，
AD平分BAC，
OAD＝DAE，
ODA＝CAD，
OD∥AE， NDE＝90°，
BCE＝E＝90°，
四边形DECN是矩形，
CND＝90°，
OD⊥BC，
BN＝CN＝BC，DE＝NC，
Rt△ABC中，AB＝20，AC＝12，
BC＝＝＝16，
DE＝BN＝CN＝8，
O是AB的中点，
ON是△ABC的中位线，
ON＝AC＝6，
Rt△BDN中，且ON＝6，DN＝4，BN＝8，
BD＝＝＝4；
（2）如图2，设FG与AD交于点H，过点G作GMHD，垂足为M，
tanBAD＝＝
设BD＝3x，AD＝4x，则AB＝5x，
F为OA的中点，
AF＝x，
GF⊥AB
∴∠AFH＝90° tan∠BAD＝
FH＝AF?tanBAD＝＝x，
同理得：AH＝＝＝x，
HD＝AD﹣AH＝4x﹣x＝x，
由（1）知：HDG+∠ODA＝90°，
在Rt△HFA中，FAH+∠FHA＝90°，
OAD＝ODA，FHA＝DHG，
DHG＝HDG，
GH＝DG，MH＝MD，
HM＝HD＝＝x，
在Rt△HGM中，HG＝＝＝x，
FH+GH＝，即＝，
解得：x＝，
O的半径为＝8．
14．【解答】证明：在MA上截取ME＝MC，连接BE，
BM⊥AC，
BE＝BC，
BEC＝BCE，
AB＝BD，
＝，
ADB＝BAD，
而ADB＝BCE，
BCE＝BAD，
又BCD+∠BAD＝180°，BEA+∠BCE＝180°， BEA＝BCD，
BAE＝BDC，
ABE≌△DBC，
AE＝CD，
AM＝AE+EM＝DC+CM．
15．【解答】解：（1）连接 BD，如图，
AB为直径，
ADB＝90°，
OE∥AC，O点为AB的中点，
点E为BC的中点，
BE＝CE＝DE＝，
在Rt△ABC中，AB＝＝4，
OD＝2，
在△ODE和△OBE中，
，
ODE≌△OBE（SSS），
ODE＝OBE＝90°，
S△ODE＝×2×＝；
（2）在Rt△BCD中，BDC＝90°，BC＝2DE＝2，
tan∠C＝＝，
设BD＝x，则CD＝2x，
BC＝＝x， x＝2，解得x＝2，
BD＝2，
C+∠A＝90°，A+∠ABD＝90°，
ABD＝C，
tan∠ABD＝，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，
AD＝BD＝×2＝1．
16．【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．
方田面积减去水池面积为13.75亩，
（40+m）2﹣（）2?π＝13.75×240．
解得：m＝20．
即圆池直径20步
那么：方田边长为40步+20步＝60步．
17．【解答】（1）解：过点C作CIBD于I，连接OC．
AB＝10，CEAB，CE＝4，
OE＝＝＝3，
BE＝OE+OB＝8，AE＝OA﹣OE＝2， AC＝＝2，BC＝＝＝4，
S△ACB＝?AC?BC＝20，
AC＝CD，
＝，
CBE＝CBI，
CEB＝CIB＝90°，BC＝BC，
BCE≌△BCI（AAS），
CI＝CE＝4，BE＝BI＝8，
AEC＝CID＝90°，AD＝CD，CE＝CI，
Rt△CEA≌Rt△CID（HL），
AE＝ID＝2，
BD＝BI﹣DI＝6，
S△BCD＝?BD?CI＝12，
S四边形ABDC＝S△ABC+S△CBD＝20+12＝32．
（2）过点D作DHBC于H．
S△BCD＝?BC?DH＝12，BC＝4，
DH＝，
在Rt△CDH中，CH＝＝＝，
CF＝BC＝2，
FH＝CF﹣CH＝，
在Rt△DFH中，DF＝＝＝2，
DF?FG＝CF?FB，
FG＝＝5，
DG＝DF+FG＝7．
18．【解答】解：（1）O为AD中点，OCAE， 2OC＝AE，
又AD是圆O的直径，
2OC＝AD，
AD＝AE．
（2）连接BC，由条件得ABCO是平行四边形，
BC∥AD，
又AE＝2OC，AB＝BE＝4，
AD＝AE，
BC＝BE＝4，
连接BD，点B在圆O上，
DBE＝90°，
DB⊥AE，AB＝BE，
DA＝DE＝AE，
AED是等边三角形，
BC＝OA＝BE＝CE＝4，
BCE是等边三角形，
所求面积为4．
19．【解答】证明：（1）连接AD．
AB是O的直径，
ADB＝AEB＝90°，
AB＝AC，
DC＝DB．
OA＝OB，
OD∥AC． OFB＝AEB＝90°，
OD⊥BE．
解：（2）设AE＝x，
OD⊥BE，
可得OD是BE的中垂线，
DE＝DB，
1＝2，
BD＝ED＝，
OD⊥EB，
FE＝FB．
OF＝AE＝，DF＝OD﹣OF＝．
在Rt△DFB中，；
在Rt△OFB中，；
＝．
解得，即．
20．【解答】证明：连接AC和BD．
弦CD垂直于直径AB，
BC＝BD．（5分）
BCD＝BDC．
OA＝OC，
OCA＝OAC．
BDC＝OAC， BCD＝OCA．
BCD∽△OCA．
＝（15分）
在△CDN和△CAM中，
DCN＝ACM，CDN＝CAM，
△CDN∽△CAM．（20分）
＝＝＝，
CN＝CB，即BN＝CN．（25分）
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日期：2021/11/9 15:29:55；用户：17702194526；邮箱：17702194526；学号：23254122
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