专题01 实数
一．选择题（共11小题）
1．（2021?武进区校级自主招生）已知mn＜0且1﹣m＞1﹣n＞0＞n+m+1，那么n，m，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020?北碚区自主招生）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．a＞0 B．b＜1 C．a＜b D．a＞﹣2
3．（2020?浙江自主招生）已知非零实数a，b满足|2a﹣4|+|b+2|++4＝2a，则a+b等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（2019?渝北区自主招生）在﹣0.5，，0，1这四个数中，正数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2019?涪城区校级自主招生）已知a，b满足（a+1）2﹣（b﹣2）+|c﹣3|＝0，则a+b+c的值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2019?南岸区自主招生）估计（2﹣）÷的值应在（ ）
A．在4.5和5.0之间 B．在5.0和5.5之间
C．在5.5和6.0之间 D．在6.0和6.5之间
7．（2018?镜湖区校级自主招生）若＝x﹣1成立，则x满足（ ）
A．x≥0 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜1
8．（2018?市南区校级自主招生）定义：[x]是不大于数x的最大整数，如：[2.8]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，[2]＝2：规定x﹣[x]是x的小数部分．设x＝，a是x的小数部分，b是﹣x的小数部分；c＝[﹣x]．则a+b+c＝（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．1 9．（2018?江岸区校级自主招生）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
10．（2017?李沧区校级自主招生）用[x]表示不超过x的最大整数（如，[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2），把x﹣[x]称为x的小数部分．已知t＝，a是t的小数部分，b是﹣t﹣1的小数部分，则﹣＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
11．（2017?下陆区校级自主招生）设a＞b＞c＞d＞0，且x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小关系是（ ）
A．y＜z＜x B．x＜z＜y C．z＜y＜x D．x＜y＜z
二．填空题（共8小题）
12．（2020?武昌区校级自主招生）若7+和5﹣的小数部分分别为m，n，则+＝ ．
13．（2020?邵阳）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为 ．
3 2 1 6 3 14．（2018?武昌区校级自主招生）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足（a2018﹣c2018）（a2018﹣d2018）＝2018，（b2018﹣c2018）（b2018﹣d2018）＝2018，则（ab）2018﹣（cd）2018的值为 ．
15．（2018?温江区校级自主招生）若i2＝﹣1，则1+i+i2+i3…+i7＝ ．
16．（2018?涪城区校级自主招生）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：
72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：
（1）对81只需进行 次操作后变为1；
（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 17．（2017?温江区校级自主招生）已知x、y为实数，且满足＝（y﹣1），那么x2017﹣y2017＝ ．
18．（2016?李沧区校级自主招生）先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法，令＝x，则有x＝，两边同时平方，则可得1+x＝x2，解得x＝（负值已经舍去），试用类比的方法，求得1+的值是 ．
19．（2017?西城区校级自主招生）已知x＝，则x3+12x的算术平方根是 ．
三．解答题（共3小题）
20．（2019?宝山区校级自主招生）如图，数轴上从左到右依次有A，B，C，D四个点，它们对应的实数分别为a，b，c，d，如果存在实数λ，满足：对线段AB和CD上的任意一点，其对应的数为x，实数对应的点N仍然在线段AB或CD上，则称（a，b，c，d，λ）为“完美数组”．例如：（1，2，3，6，6）就是一组“完美数组”，已知|AB|＝1，|BC|＝5，|CD|＝4，求此时所有的“完美数组”，写出你的结论和推算过程．
21．（2016?宝山区校级自主招生）由2016个不同的实数组成一个数集A，对于A中任意两个不同的数m与n，数m2+n都是有理数．证明：对于数集A中的任何一个数a，a是有理数．
22．（2016?宝山区校级自主招生）证明：不是有理数． 专题01 实数
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．（2021?武进区校级自主招生）已知mn＜0且1﹣m＞1﹣n＞0＞n+m+1，那么n，m，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵mn＜0，
∴m，n异号，
由1﹣m＞1﹣n＞0＞n+m+1，可知m＜n，m+n＜﹣1，m＜0，0＜n＜1，|m|＞|n|，|m|＞2，
假设符合条件的m＝﹣4，n＝0.2
则＝5，n+＝0.2﹣＝﹣
则﹣4＜﹣＜0.2＜5
故m＜n+＜n＜．
故选：D．
2．（2020?北碚区自主招生）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．a＞0 B．b＜1 C．a＜b D．a＞﹣2
【解答】解：由数轴可得：a＜﹣2，故选项A错误；
b＞1，故选项B错误；
a＜b，故选项C正确；
a＜﹣2，故选项D错误；
故选：C．
3．（2020?浙江自主招生）已知非零实数a，b满足|2a﹣4|+|b+2|++4＝2a，则a+b 等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是a＝3，b＝﹣2，从而a+b＝1．
故选：C．
4．（2019?渝北区自主招生）在﹣0.5，，0，1这四个数中，正数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：在﹣0.5，，0，1这四个数中，正数有1，一共1个．
故选：A．
5．（2019?涪城区校级自主招生）已知a，b满足（a+1）2﹣（b﹣2）+|c﹣3|＝0，则a+b+c的值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：根据题意，得，
∴a+1＝0，2﹣b＝0，c﹣3＝0，
解得a＝﹣1，b＝2，c＝3，
所以a+b+c＝﹣1+2+3＝4．
故选：C．
6．（2019?南岸区自主招生）估计（2﹣）÷的值应在（ ）
A．在4.5和5.0之间 B．在5.0和5.5之间
C．在5.5和6.0之间 D．在6.0和6.5之间
【解答】解：（2﹣）÷＝2﹣＝2﹣2，
∵3＜＜4，
∴4＜2﹣2＜6，
∵3.7＜＜3.75，
∴5.4＜2﹣2＜5.5，
故选：B．
7．（2018?镜湖区校级自主招生）若＝x﹣1成立，则x满足（ ）
A．x≥0 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜1 【解答】解：∵＝x﹣1，
∴x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故选：B．
8．（2018?市南区校级自主招生）定义：[x]是不大于数x的最大整数，如：[2.8]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，[2]＝2：规定x﹣[x]是x的小数部分．设x＝，a是x的小数部分，b是﹣x的小数部分；c＝[﹣x]．则a+b+c＝（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．1
【解答】解：x＝＝＝＝1+，
∴[x]＝1，[﹣x]＝﹣2．
∵a是x的小数部分，b是﹣x的小数部分；c＝[﹣x]，
∴a＝1+﹣1＝，b＝﹣（1+）﹣（﹣2）＝1﹣．c＝﹣2
a+b+c＝+1﹣+（﹣2）＝﹣1．
故选：A．
9．（2018?江岸区校级自主招生）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【解答】解：∵a﹣b＝﹣1﹣（2﹣）
＝﹣（1+）
≈2.449﹣2.414＞0，
∴a＞b；
∵a﹣c＝﹣1﹣（﹣2）＝+1﹣≈2.414﹣2.449＜0，
∴a＜c；
于是b＜a＜c，
故选：B．
10．（2017?李沧区校级自主招生）用[x]表示不超过x的最大整数（如，[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2），把x﹣[x]称为x的小数部分．已知t＝，a是t的小数部分，b是﹣t﹣ 1的小数部分，则﹣＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【解答】解：t＝＝＝+1，
则[t]＝2，[﹣t﹣1]＝﹣4．
∵a是t的小数部分，b是﹣t﹣1的小数部分，
∴a＝+1﹣2＝﹣1，b＝﹣（+1）﹣1﹣（﹣4）＝2﹣，
﹣＝﹣＝2+﹣（+1）＝1．
故选：B．
11．（2017?下陆区校级自主招生）设a＞b＞c＞d＞0，且x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小关系是（ ）
A．y＜z＜x B．x＜z＜y C．z＜y＜x D．x＜y＜z
【解答】解：∵x2＝ab+cd+2，
y2＝ac+bd+2，
z2＝ad+bc+2，
∴x2﹣y2＝ab+cd﹣ac﹣bd
＝a（b﹣c）+d（c﹣b），
∵a＞b＞c＞d＞0，
∴a（b﹣c）+d（c﹣b）＝（b﹣c）（a﹣d）＞0，
∴x2＞y2，
∴x＞y，
同理可得：z＜y，
∴z＜y＜x．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
12．（2020?武昌区校级自主招生）若7+和5﹣的小数部分分别为m，n，则+＝ ．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴7+的整数部分是7+3＝10，小数部分为m＝﹣3； 5﹣的整数部分是5﹣4＝1，小数部分为n＝4﹣；
则+＝+＝+＝．
故答案为：．
13．（2020?邵阳）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为 ．
3 2 1 6 3 【解答】解：设方格中两个空格代表的实数分别为x，y．
由题意可得：xy＝，
xy＝．
故答案为：．
14．（2018?武昌区校级自主招生）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足（a2018﹣c2018）（a2018﹣d2018）＝2018，（b2018﹣c2018）（b2018﹣d2018）＝2018，则（ab）2018﹣（cd）2018的值为 ﹣2018 ．
【解答】解：设a2018与b2018看做方程（x﹣c2018）（x﹣d2018）＝2018的两个解，
方程整理得：x2﹣（c2018+d2018）x+（cd）2018﹣2018＝0，
则（ab）2018﹣（cd）2018＝，
又x1x2＝（cd）2018﹣2018，
则（ab）2018﹣（cd）2018＝＝（cd）2018﹣2018﹣（cd）2018＝﹣2018．
故答案为：﹣2018．
15．（2018?温江区校级自主招生）若i2＝﹣1，则1+i+i2+i3…+i7＝ 0 ．
【解答】解：∵i2＝﹣1，
∴原式＝（1+i﹣1﹣i）+（1+i﹣1﹣i）
＝0．
故答案为：0．
16．（2018?涪城区校级自主招生）任何实数a，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：
72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：
（1）对81只需进行 3 次操作后变为1；
（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 255 ．
【解答】解：（1）∵[]＝9，[]＝3，[]＝1，
∴对81只需进行3次操作后变为1，
故答案为：3．
（2）最大的正整数是255，
理由是：∵[]＝15，[]＝3，[]＝1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为：255．
17．（2017?温江区校级自主招生）已知x、y为实数，且满足＝（y﹣1），那么x2017﹣y2017＝ ﹣2 ．
【解答】解：因为＝（y﹣1），
所以﹣（y﹣1）＝0，
所以+（1﹣y）＝0，
所以1+x＝0，1﹣y＝0，
所以x＝﹣1，y＝1，
所以x2017﹣y2017＝（﹣1）2017﹣12017＝﹣1﹣1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
18．（2016?李沧区校级自主招生）先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法，令＝x，则有x＝，两边同时平方，则可得1+x＝x2 ，解得x＝（负值已经舍去），试用类比的方法，求得1+的值是 ．
【解答】解：＝x，
则1+，
∴2x2﹣2x﹣1＝0
∴x＝，
∵x＞0，
∴
故答案为：．
19．（2017?西城区校级自主招生）已知x＝，则x3+12x的算术平方根是 2 ．
【解答】解：设＝a，＝b．则，．
又4＝＝a3b3，
∴x＝a2b﹣ab2，x2＝a4b2﹣2a3b3+a2b4，
故原式＝x（x2+12），
＝（a2b﹣ab2）（a4b2﹣2a3b3+a2b4+12），
＝（a2b﹣ab2）（a4b2﹣8+a2b4+12），
＝（a2b﹣ab2）（a4b2+a2b4+4），
＝ab（a﹣b）a2b2（a2+b2+ab），
＝a3b3（a3﹣b3），
＝，
＝4×2＝8．
则其算术平方根是2． 故答案为：2．
三．解答题（共3小题）
20．（2019?宝山区校级自主招生）如图，数轴上从左到右依次有A，B，C，D四个点，它们对应的实数分别为a，b，c，d，如果存在实数λ，满足：对线段AB和CD上的任意一点，其对应的数为x，实数对应的点N仍然在线段AB或CD上，则称（a，b，c，d，λ）为“完美数组”．例如：（1，2，3，6，6）就是一组“完美数组”，已知|AB|＝1，|BC|＝5，|CD|＝4，求此时所有的“完美数组”，写出你的结论和推算过程．
【解答】解：设A表示的数是x，则B表示x+1，C表示x+6，D表示x+10，
由“完美数组”的定义，可知有如下情况：
①x（x+10）＝（x+1）（x+6）；
∴x＝2，
∴“完美数组”是（2，3，8，12，24）；
②x（x+6）＝（x+1）（x+10）；
∴x＝﹣2
∴“完美数组”是（﹣2，﹣1，4，8，﹣8）；
③x（x+1）＝（x+6）（x+10）；
∴x＝﹣4，
∴“完美数组”是（﹣4，﹣3，2，6，12）；
21．（2016?宝山区校级自主招生）由2016个不同的实数组成一个数集A，对于A中任意两个不同的数m与n，数m2+n都是有理数．证明：对于数集A中的任何一个数a，a是有理数．
【解答】证明：A中任意a，b，c
有a2+c、b2+c、c2+a、c2+b都是有理数，
从而a2﹣b2、﹣b都是有理数，
令a2﹣b2＝A ﹣b＝B
则+b＝ ∴a＝为有理数．
22．（2016?宝山区校级自主招生）证明：不是有理数．
【解答】证明：假设是有理数，
故可以表示为（a，b均为整数且互质），
则a2＝2b2，
因为2b2是偶数，
所以a2是偶数，
所以a是偶数，
设a＝2c，
则4c2＝2b2，b2＝2c2，
所以b也是偶数，这和a，b互质矛盾．
所以是无理数．
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日期：2021/11/10 10:24:58；用户：纵横捭阖；邮箱：orFmNt43ACkJzKV2EeImKyX7H6ig@weixin.jyeoo.com；学号：32344145
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