中考总复习：投影与视图—知识讲解
【考纲要求】
1.通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用；
2.会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图，左视图、俯视图)，能根据三视图描述基本几何体或实物的原型．
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、生活中的几何体
1．常见的几何体的分类
在丰富多彩的图形世界中，我们常见的几何体有长方体、正方体、棱柱体、棱锥体、圆柱体、圆锥体、球体、台体等．
2．点、线、面、体的关系
(1)点动成线，线动成面，面动成体；
(2)面面相交成线，线线相交成点．
要点诠释：体体相交可成点，不一定成线．
3．基本几何体的展开图
(1)正方体的展开图是六个正方形；
(2)棱柱的展开图是两个多边形和一个长方形；
(3)圆锥的展开图是一个圆和一个扇形；
(4)圆柱的展开图是两个圆和一个长方形．
考点二、投影
1．投影
用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面．
2．平行投影和中心投影
由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．
3．正投影
投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影．
要点诠释：正投影是平行投影的一种．
考点三、物体的三视图
1．物体的视图
当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图．
我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面．
一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图．
要点诠释：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象．
2．画三视图的要求
(1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图．
(2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等．
要点诠释：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽．
【典型例题】类型一、三视图及展开图 1．
【】视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形【答案】【】综合主视图和俯视图，这个几何体的底层最少有3+3+1=7个小正方体，第二层最少有3个，第三层最少有2个，第四层最少有1个，因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为：7+3+2+1=13个．故答案为：13．（2014秋?莲湖区校级期末）用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少需要正方体 个．
7.
【】∵俯视图中有5个正方形，
∴最底层有5个正方体；
∵主视图第二层有2个正方形，
∴几何体第二层最少有2个正方体，
∴最少有几何体5+2=7．
）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B.
2．美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部份围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（ ）
A．B．C．D．
【】动手操作看得到小正方体的阴影部分的具体部位即可．【答案】B【】动手操作折叠成正方体的形状放置到白纸的阴影部分上，所得正方体中的阴影部分应紧靠白纸， 故选B．【答案3．下列图形中经过折叠能围成一个棱柱的是（ ）A．B．C．D．
【】利用四棱柱及其表面展开图的特点解题．
【答案】A、侧面少一个长方形，故不能； B、侧面多一个长方形，折叠后不能围成棱柱，故不能； C、折叠后少一个底面，不能围成棱柱； 只有D能围成四棱柱． 故选D．
四棱柱的侧面展开图为四个长方形组成的大长方形．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、BB1、BC的中点，沿EG、EF、FG将这个正方体切去一个角后，得到的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．从上面看易得1个正方形，但上面少了一个角，在俯视图中，右下角有一条线段．故选B．类型二、投影有关问题4．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影DE=18 m，小明和小华的身高都是m，同一时E处，影子在坡面上，小华站在平地2m和1m，AB的长.
【】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可．【答案】
解：过D作DFCD，交AE于点F，过F作FGAB，垂足为G．可得矩形BDFG．
由题意得：．
DF=DE×1.6÷2=14.4（m）．
GF=BD=CD=6m．
又．
AG=1.6×6=9.6（m）．
AB=14.4+9.6=24（m）．
答：铁塔的高度为24m．
图1 图2
【解析2】
如图2，作，交A于点，
由题意得：．
=18×1.6÷2=14.4（m）．
又．
G=1.6×6=9.6（m）．
AB=14.4+9.6=24（m）．
答：铁塔的高度为24m．运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．
类型三、投影视图综合问题
用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体最多要17小立方体．
【】从正视图和侧视图考查几何体的形状，从俯视图看出几何体的小立方块最多的数目．解：由主视图可知，它自下而上共有3列，第一列3块，第二列2块，第三列1块． 由俯视图可知，它自左而右共有3列，第二列各3块，第三列1块，从空中俯视的块数只要最低层有一块即可．因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定；如图，最多时有3×5+2×1=17块小立方体． 故答案为17．
【总结升华】本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题，但很容易出错．
6．（2015?永春县校级自主招生）如图是某中学生公寓时的一个示意图（每栋公寓均朝正南方向，且楼高相等，相邻两栋公寓的距离也相等）．已知该地区冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°，在公寓的采光不受影响（冬季正午最底层受到阳光照射）的情况下，公寓的高为AB，相邻两公寓间的最小距离为BC．
（1）若设计公寓高为20米，则相邻两公寓之间的距离至少需要多少米时，采光不受影响？
（2）该中学现已建成的公寓为5层，每层高为3米，相邻两公寓的距离24米，问其采光是否符合要求？
（参考数据：取sin32°=，cos32°=，tan32°=）
【】（1）在直角三角形ABC中，已知AB利用锐角三角函数求得BC的长即可；
（2）利用楼高求得不受影响时候两楼之间的距离与24米比较即可得到结果；
【答案】解：（1）∵在直角三角形ABC中，AB=20米，∠ACB=32°，
∴=tan32°
∴BC===32米，
∴相邻两公寓之间的距离至少需要32米时，采光不受影响；
（2）∵楼高=3×5=15米，
∴不受影响时两楼之间的距离为15÷tan32°=24米，
∵相邻两公寓的距离恰为24米，
∴符合采光要求；
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，做到学数学，用数学，才是学习数学的意义．7．如图，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过底面圆的圆心，其高 m，底面半径为2m．某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下的影长BE=4m． （1）求B的度数； （2）若ACP=2∠B，求光源A距平面的高度．
【】（1）如下图所示，过点D作DF垂直BC于点F．由题意，得DF= ，EF=2，BE=4，在Rt△DFB中，tanB= ，由此可以求出B；（2）过点A作AH垂直BP于点H．因为ACP=2∠B=60°所以BAC=30°，AC=BC=8．在Rt△ACH中，AH=AC?SinACP，所以可以求出AH了，即求出了光源A距平面的高度．【答案】解：（1）过点D作DF垂直BC于点F． 由题意，得DF=，EF=2，BE=4． 在Rt△DFB中，tanB=， 所以B=30°； （2）过点A作AH垂直BP于点H． ACP=2∠B=60°， BAC=30°， AC=BC=8， 在Rt△ACH中，AH=AC?SinACP=，
即光源A距平面的高度为m．本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用．
左面看
正面看
上面看
|
|
