中考总复习：特殊的四边形—知识讲解（提高）
【考纲要求】
1. 会识别矩形、菱形、正方形掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．
掌握梯形的概念了解等腰梯形、的性质和判定，会用性质和判定解决问题．
边
角
对角线
矩形
对边平行且相等
四个角是直角
相等且互相平分 ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四条边都相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .每一条对角线平分一组对角①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形并且每一条对角线平分一组对角同一底上的两个角相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；
2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
3、对角线相等的梯形是等腰梯形.把连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直； 若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等； 若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定． 平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。
【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用
1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an=___________．
【思路点拨】求a2的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算a3、a4．由求出的a2=a1，a3=a2…，an=an-1=（）n-1，可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．
【答案】）n-1.
【】2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴a2=a1=，同理a3=a2=2，, a4=a3=2，… 由此可知：an=an-1=（）n-1
故答案为：（）n-1.
【】n的规律是解题的关键．
举一反三：
【高清课堂:长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为________．
或.
2．（2015秋?宝安区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，点P是AC延长线上的一个动点，过点P作PE⊥AD，垂足为E，作CD延长线的垂线，垂足为E，则|PE﹣PF|= ．
延长BC交PE于G，由菱形的性质得出AD∥BC，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，由勾股定理求出AD，由对顶角相等得出∠PCF=∠PCG，由菱形的面积的两种计算方法求出EG，由角平分线的性质定理得出PG=PF，得出PE﹣PF=PE﹣PG=EG即可．
【答案】4.8．【】解：延长BC交PE于G，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，
∴AD==5，∠PCF=∠PCG，
∵菱形的面积=AD?EG=AC?BD=×6×8=24，
∴EG=4.8，
∵PE⊥AD，
∴PE⊥BG，
∵PF⊥DF，
∴PG=PF，
∴PE﹣PF=PE﹣PG=EG=4.8．
故答案为：4.8．
【】本题考查了菱形的性质、勾股定理、角平分线的性质定理、菱形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证出PG=PF是解决问题的关键．类型二、梯形的应用
．
【思路点拨】（1）先证明四边形ABED为矩形，CE=BC-AD，继而即可求出答案； （2）设AF=CE=x，则HE=x-3，BF=7-x，再通过证明△BEF∽△HDE，根据对应边成比例，然后代入求解即可； （3）综合（1）（2）两种情况，然后代入求出解析式即可．
【答案与解析】（1）∵F与B重合，且EF⊥DE，∴DE⊥BC， ∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°， ∴四边形ABED为矩形， ∴BE=AD=9， ∴CE=12-9=3．
（2）作DH⊥BC于H，则DH=AB=7，CH=3． 设AF=CE=x， ∵F在线段AB上， ∴点E在线段BH上，CH=3，CE=x， ∴HE=x-3，BF=7-x， ∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°， ∴∠BEF=∠HDE， 又∵∠B=∠DHE=90°， ∴△BEF∽△HDE ∴=， ∴=， 整理得x2-22x+85=0， （x-5）（x-17）=0， ∴x=5或17， 经检验，它们都是原方程的解，但x=17不合题意，舍去． ∴x=CE=5． （3）作DH⊥BC于H， ∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12， CE=x，BF=y， ∴则HE=x-3，BF=y， 当3≤x≤12时， 易证△BEF∽△HDE， ∴=， ∴y=-x2+x-， 当0≤x＜3， 易证△BEF∽△HDE， 则HE=3-x，BF=y， ∴=， ∴y=x2－x＋．
【】 Ｃ．10- Ｄ．10+ 【答案】类型三、【高清课堂:4.（2014秋?莒南县期末）正方形ABCD边长为2，点E在对角线AC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，连接AF，EF．
（1）证明：AC⊥AF；
（2）设AD2=AE×AC，求证：四边形AEDF是正方形；
（3）当E点运动到什么位置时，四边形AEDF的周长有最小值，最小值是多少？
（1）由已知条件及正方形的性质易证△CDE≌△ADF，所以可得∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，进而可得∠CAF=90°，即AC⊥AF；
（2）若AD2=AE×AC，再由条件∠CAD=∠EAD=45°，易证△EAD∽△DAC，所以∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，继而证明四边形AEDF为正方形；
（3）当E点运动到AC中点位置时，四边形AEDF的周长有最小值，由（2）得CE=AF，则有AE+AF=AC=2，又DE=DF，所以四边形AEDF的周长l=AE+AF+DE+DF=4+2DE，则DE最小四边形的周长最小，问题得解．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDA=90°，CD=AD，ED=FD，∠CAD=45°，
∵将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，
∴∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠ADF，
在△CDE和△ADF中，
，
∴△CDE≌△ADF，
∴∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，
∴∠CAF=90°，
即AC⊥AF；
（2）∵AD2=AE×AC，
∴
∵∠CAD=∠EAD=45°，
∴△EAD∽△DAC，
∴∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，
∴四边形AEDF为正方形
（3）当E点运动到AC中点位置时，四边形AEDF的周长有最小值，
理由如下：
由（2）得CE=AF，则有AE+AF=AC=2，
又DE=DF，则当DE最小时，四边形AEDF的周长l=AE+AF+DE+DF=4+2DE最小，
当DE⊥AC时，E点运动到AC中点位置时，此时DE=2四边形AEDF的周长最小值为8．
【】本题用到的知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及四边形周长最小值的问题、动点问题，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题压轴题．
．
【思路点拨】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF； （2）根据△ABE≌△ACF可得=,故根据S四边形AECF+=+=即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据=S四边形AECF，则△CEF的面积就会最大．
【答案】
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°， ∴∠1=∠3， ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°， ∴△ABC和△ACD为等边三角形， ∴∠4=60°，AC=AB， ∴在△ABE和△ACF中，， ∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF； （2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化． 理由：由（1）得△ABE≌△ACF， 则S△ABE=S△ACF， 故S四边形AECFAEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值， 作AH⊥BC于H点，则BH=2， S四边形AECFABC=BC?AH=BC?=， 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短． 故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小， 又S△CEF=S四边形AECFAEF，则此时△CEF的面积就会最大． ∴S△CEF=S四边形AECFAEF=-××=．
【】6.（2012?苏州）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5． （1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值； （2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1-S2是常数； （3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．
【思路点拨】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由△GCD∽△APG，利用对应边成比例可解出x的值． （2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可． （3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度．
【答案】=， ∵GF=4，CD=DA=1，AF=， ∴GD=3-，AG=4-， ∴=，即y=， ∴y关于x的函数关系式为y=， 当y=3时，=3，解得x=2.5， 经检验的x=2.5是分式方程的根．故x的值为2.5； （2）∵S1=GP?GD=??（3-）=， S2=GD?CD=（3-x）×1=， ∴S1-S2=-=
即为常数； （3）延长PD交AC于点Q．
∵正方形ABCD中，AC为对角线， ∴∠CAD=45°， ∵PQ⊥AC， ∴∠ADQ=45°， ∴∠GDP=∠ADQ=45°． ∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP， ∴3-x=， 化简得：x2-5x+5=0． 解得：x=， ∵0≤x≤2.5， ∴x=， 在Rt△DGP中，PD==（3-x）=．
【】
【答案】（1）AD=2AB． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD； ∵E是BC的中点， ∴AB=BE=EC=CD； 则△ABE、△DCE是等腰Rt△； ∴∠AEB=∠DEC=45°； ∴∠AED=90°； 四边形PFEH中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°，故四边形PFEH是矩形； （2）点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形；理由如下： 由（1）可得∠BAE=∠CDE=45°； ∴∠FAP=∠HDP=45°； 又∵∠AFP=∠PHD=90°，AP=PD， ∴Rt△AFP≌Rt△DHP； ∴PF=PH； 在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形．.
第一次操作
第二次操作
|
|
