中考冲刺:代数综合问题—知识讲解(提高)
【中考展望】
初中代数综合题,主要以方程、函数这两部分为重点,因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识,是解好代数综合题的关键.在许多问题中,代数和几何问题交织在一起,就要沟通这些知识之间的内在联系,以数形结合的方法找到解决问题的突破口.通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能,更深刻地领悟数学思想方法,提高分析问题和解决问题的能力.
【方法点拨】
(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础;
(2)认识综合题的结构是解综合题的前提;
(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键;
(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心.
审题(读题、断句、找关键);
先宏观(题型、知识块、方法);
后微观(具体条件,具体定理、公式)
由已知,想可知(联想知识);
由未知,想须知(应具备的条件),注意知识的结合;
观察——挖掘题目结构特征;
联想——联系相关知识网络;
突破——抓往关键实现突破;
寻求——学会寻求解题思路.
(5)准确计算,严密推理是解综合题的保证.
【典型例题】类型一、函数综合 1.和y=kx+1(k≠0).
(1)若这两个函数的图象都经过点(1,a),求a和k的值;
(2)当k取何值时,这两个函数的图象总有公共点?
【】【答案】 解得
(2)将代入y=kx+1,消去y,得.
∵k≠0,
∴要使得两函数的图象总有公共点,只要△≥0即可.
∵△=1+8k.
∴1+8k≥0,解得k≥.
∴k≥且k≠0时这两个函数的图象总有公共点.
【总结升华】
两图象交点的个数常常通过建立方程组,进而转化为一元二次方程,利用根的判别式来判断.若△>0,两图象有两个公共点;若△=0,两图象有一个公共点;若△<0,两图象没有公共点.
举一反三:
【变式】如图,一元二次方程的两根,(<)是抛物线与轴的两个交点,的横坐标,且此抛物线过点A(3,6).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标;
(3)在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时,求M点的坐标.
【答案】
解:(1)解方程,得=-3,=1.
抛物线与x轴的两个交点坐标为:C(-3,0),B(1,0).
将 A(3,6),B(1,0),C(-3,0)代入抛物线的解析式,得
解这个方程组,得
抛物线解析式为.
(2)由,得抛物线顶点P的坐标为(-1,-2),对称轴为直线x=-1.
设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A(3,6),C(-3,0)代入,得
解这个方程组,得
直线AC的函数关系式为y=x+3.
由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点,
故解方程组得 点Q坐标为(-1,2).
(3)作A点关于x轴的对称点,连接,与轴交点即为所求的点.
设直线的函数关系式为y=kx+b.
∴ 解这个方程组,得 直线的函数关系式为y=-2x.
令x=0,则y=0.
点M的坐标为(0,0).
类型二、函数与方程综合2.与,这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A,B两个不同的点.
(1)试判断哪个二次函数的图象经过A,B两点;
(2)若A点坐标为(-1,0),试求B点坐标;
(3)在(2)的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x值的增大而减小?
【】【答案】,
由于△=(-m)2-4×1×,
所以此函数的图象与x轴没有交点.
对于关于x的二次函数,
由于△=,
所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点.
故图象经过A,B两点的二次函数为.
(2)将A(-1,0)代入,得.
整理,得.
解之,得m=0,或m=2.
①当m=0时,.令y=0,得.
解这个方程,得,.
此时,B点的坐标是B(1,0).
②当m=2时,.令y=0,得.
解这个方程,得x3=-1,x4=3.
此时,B点的坐标是B(3,0).
(3)当m=0时,二次函数为,此函数的图象开口向上,对称轴为x=0,所以当x<0时,函数值y随x的增大而减小.
当m=2时,二次函数为,此函数的图象开口向上,对称轴为x=1,所以当x<1时,函数值y随x的增大而减小.
【总结升华】
从题目的结构来看,二次函数与一元二次方程有着密切的联系,函数思想是变量思想,变量也可用常量来求解.
举一反三:
【高清课堂:代数综合问题 例3】
【变式】(2016·门头沟一模)已知与-之间的部分为图象G,如果图象G向右平移n(n>0)个单位长度后与直线CD有公共点,求n的取值范围.
【答案】
(1)证明:∵ △= (3m+1)2-4×m×3 =(3m-1)2.
∵ (3m-1)2≥0,
∴ △≥0,
∴ 原方程有两个实数根令y=0 mx2+(3m+1)x+3=0.
解得 ,.∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点,且m为正整数,
∴m=1.
∴抛物线的表达式为.
()解∵当xC()
∵当3,x2=-1.
又∵点A在点B左侧,
∴A(3,0)(0).(0)..
∴
解得
∴直线CD的表达式为y=-3x+3.
又∵时,.
∴A(3,0)()平移后,点的对应点分别为A''(3+n,0)''().3x+3过点A''(3+n,0)时3(-3+n)+3=0,
∴n=4.
当直线y=-3x+3过点E''()时,
∴n=.
∴n的取值范围是≤n≤4.
类型三、以代数为主的综合题3.【】关于点P的横坐标x的函数关系式求解.
【答案】).
(2)设抛物线的解析式为,代入点B(1,),得.所以.
(3)如图所示,抛物线的对称轴是直线x=-1,因为A,O关于抛物线的对称轴对称,所以当点C位于对称轴与线段AB的交点时,△BOC的周长最小.
设直线AB的解析式为,则
解得
因此直线AB的解析式为.
当时,.
因此点C的坐标为.
(4)如图所示,过P作y轴的平行线交AB于D,设其交x轴于E,交过点B与x轴平行的直线于F.
设点P的横坐标为x.
则
.
当时,△PAB的面积的最大值为,此时.
【总结升华】
本题为二次函数的综合题,综合程度较高,要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法.因为线段的长度为正数,所以在用点的坐标表示线段长度时,我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标,上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”,从而不用加绝对值号,本题中线段PD的长为就是利用了这一规律.
4.在平面直角坐标系中,过点,轴交于点.(1)抛物线的函数表达式在抛物线的对称轴上,当的周长最小时,求点 的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点,使成为以为直角边的直角三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【】【答案】过点,,
∴
∴抛物线的函数关系式为.
(2)∵,
∴抛物线的对称轴为直线.
设点为点关于直线的对称点,则点的坐标为.
连接交直线于点,此时的周长最小.
设直线的函数表达式为,代入的坐标,
则
解得
所以,直线的函数表达式为.
当时,.
∴ 点的坐标为.
(3)存在.
①当点为直角顶点时,过点作的垂线交轴于点,交对称轴于点.
∵,,
∴.
∵,,
∴.
∴.
∴.
∴.
∴点的坐标为.
设直线对应的一次函数的表达式为,代入的坐标,
则
解得
所以,直线的函数表达式为.
令,则.
∴点的坐标为.
②当点为直角顶点时,过点作的垂线交对称轴于点,交轴于点.
与①同理可得是等腰直角三角形,
∴.
∴点的坐标为.
∵,,
∴.
∴直线的函数表达式为.
令,则.
∴点的坐标为.
综上,在上存在,,成为以为直角边的直角三角形.与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,,.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(3)若E点在x轴上,F点在抛物线上,如果A,C,E,F构成平行四边形,直接写出点E的坐标.
【答案】
解:(1)∵,∴C(0,3).
又∵,∴A(1,0).
又∵,
∴,
∴AB=4。
∴B(-3,0).
(2)把A(1,0),B(-3,0)代入得:
∴a=-1,b=-2,
∴.
∵.
∴顶点坐标(-1,4).
(3)如图1和图2.
当AC为平行四边形的一边时,
(-1,0),E2(,0),E3(,0).
当AC为平行四边形的对角线时,E4(3,0).
5.的两个根,点M(t,T)在函数y2的图象上.
(1)若,,求函数y2的解析式;
(2)在(1)的条件下,若函数y1与y2的图象的两个交点为A,B,当△ABM的面积为时,求t的值;
(3)若0<α<β<1,当0<t<l时,试确定T,α,β三者之间的大小关系,并说明理由.
【】得的两根为α,β,利用根的定义代入得到b,c的方程组可求出b,c值;
第(2)问分别求出A,B两点坐标,利用直线y=x与x轴夹角为45°得到关于t的方程;
第(3)问利用求差法比较T,α,β的大小,注意对t的范围进行分类讨论来的确定相应T,α,β的大小关系.
【答案与解析】
解 (1)∵y1=x,y2=x2+bx+c,y1-y2=0,
∴.
将,分别代入,得
.
解得,.
∴函数y2的解析式为.
(2)由已知,y1与y2的图象的两个交点的坐标分别为,.得,
设ABM中AB边上的高为h,
则,即.
由直线y1=x与x轴的夹角为45°可得.
由,得.
当时,解得;
当时,解得,
∴t的值为,,.
(3)由已知,得,,.
∴,
,
,
化简得.
∵,得,
∴.
有a+b=1-β>0,β+b=1-α>0.
又0<t<1时,∴t+α+b>0,t+β+b>0.
∴当0<t≤α时,T<α≤β;
当α<t≤β时,α<T≤β;
当β<1时,α<β<T.
【总结升华】
本题是关于函数、方程、不等式的综合题,涉及知识面较广.
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