永州市2023年高考第二次适应性考试试卷数学注意事项：1.本试卷共150分，考试时量120分钟.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无
效.3.考试结束后，只交答题卡.一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
.1.已知集合，则集合（ ）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内复数对应的点在（ ）A.第
四象限 B.第三象限C.第二象限 D.第一象限3.“是锐角”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充
分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.设为所在平面内一点，，则（ ）A. B.C. D.5.若存在常数，使得
函数对定义域内的任意值均有，则关于点对称，函数称为“准奇函数”.现有“准奇函数”对于，，则函数在区间上的最大值与最小值的和为（
）A.4 B.6 C.7 D.86.如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，且，为线段的中点，若对
于线段上的任意点，都有成立，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C.2 D.7.已知数列，若对任意的，则实数的取值范围
是（ ）A. B. C. D.8.如图，在三棱锥中，，点在平面内，过作于，当与面所成最大角的正弦值是时，与平面所成角的余弦值
是（ ）A. B. C. D.二?多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知函数，则（ ）A.的最大值为1B.直线是图象的一条对称轴C.在区
间上单调递减D.的图象关于点对称10.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，下列说法正确的有（
）A.线段长度的最小值为4B.过点与抛物线只有一个交点的直线有两条C.直线交抛物线的准线于点，则直线平行轴D.可能为直角三角形11
.如图，棱长为3的正方体的顶点在平面内，其余各顶点均在平面的同侧，已知顶点到平面的距离分别是1和2.下列说法正确的有（ ）A
.点到平面的距离是3B.点到平面的距离是4C.正方体底面与平面夹角的余弦值是D.在平面内射影与所成角的余弦值为12.已知，则有（
）A. B.C. D.三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.数据：2，5，7，9，11，8，7，8，10中的
第80百分位数是__________.14.的展开式中的系数是__________.15.三个元件独立正常工作的概率分别是，把它们
随意接入如图所示电路的三个接线盒中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是__________.16.对平面
上两点，满足的点的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点是此圆的一对阿波罗点.不在圆上的任
意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗
点相对于圆的位置有关.已知，与两点距离比是的点的轨迹方程是，则的最小值是__________；最大值是的__________.四?
解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知的内角的对边分别为，且向量与向
量共线.（1）求；（2）若的面积为，求的值.18.（本题满分12分）已知数列的前项和为，若.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满
足求数列的前10项和.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是的中点，.（1）求证：平面；（2）若是线段上的动
点（不含线段端点），当平面与平面的夹角为时，求线段的长度.20.（本题满分12分）椭圆的离心率是，且过点.（1）求的方程；（2）过
点的直线与的另一个交点分别是，与轴分别交于，且于点，是否存在定点使得是定值？若存在，求出点的坐标与的值；若不存在，请说明理由.21
.（本题满分12分）当前，新冠病毒致死率低，但传染性较强.经初步统计，体质好的人感染呈显性（出现感染症状）或呈隐性（无感染症状）的
概率都是，体质不好的人（易感人群）感染会呈显性，感染后呈显性与呈隐性的传染性相同，且人感染后在相当一段时期内不会二次感染.现有甲乙
丙三位专家要当面开个小型研究会，其中甲来源地人群的感染率是，乙来源地人群的感染率是，丙来源地无疫情，甲乙两人体质很好，丙属于易感人
群，参会前三人都没有感染症状，只确定丙未感染.会议期间，三人严格执行防疫措施，能隔断的病毒传播，且会议期间不管谁感染，会议都要如期
进行，用频率估计概率.（1）求参会前甲已感染的概率；（2）若甲参会前已经感染，丙在会议期间被感染，求丙感染是因为乙传染的概率；（3
）若参会前甲已感染，而乙?丙均未感染，设会议期间乙?丙两人中感染的人数为随机变量，求随机变量的分布列与期望.22.（本题满分12分
）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若时，，求实数的取值范围.永州市2023年高考第二次适应性考试试卷数学参考答案及评分标准一、
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ACA
DBDBC二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的
得0分，部分选对的得2分．题号9101112答案ABCACACDBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．101
4．4015．16．；5部分小题答案8．解：由于过作的垂面，如图可知过作平面上的垂面,如图，即面面，可得与的交点即为满足条件的P点
，从而为与面所成角的最大角，故. 平面平面，过作于，连接，可知就是 与平面所成角，在中，，，且为等腰直角三角形，则.而，11．解：
如图建系，＝（3，0，0），＝（0，3，0），.设平面α的法向量＝（a，b，c），依题知：， 求得， 所以点C到平面的距离，所以到
平面的距离是5，故A对B错；平面ABCD与平面α夹角的余弦值是，C对．因为点到平面α的距离为2，， 所以AB在面α内射影向量是，＝
(0，3，3)，所以与夹角的余弦值是，（第11题图一）所以AB在平面α内射影与AD1所成角的余弦值为，D对．正确答案ACD．方法二
：由勾股定理，易得点C到平面α的距离是3，A对； 如图一延长BD交面α于点M，易知DM＝BD=，在△AMD中，∠ADM＝135o,
（第11题图二） 由余弦定理求得AM＝， 过D作DN⊥AM于N，由面积法求得DN＝， 如图二延长D1D交面α于点E，过D作DH
⊥EN于H， 则DH⊥面α于H， Rt△EDH中，DN＝，DH＝1，HN＝，EH＝， ED＝，ED1＝， 故D1到平面α的距离是
3，C1到平面α的距离是5，B错； 正方体底面ABCD与平面α夹角的平面角为∠DNE，（第11题图三） cos∠DNE=,C对；
如图三，分别过B，D1作BP⊥面α于P，D1Q⊥面α于Q， 过B作BF//PQ交D1Q于F， BP＝2，D1Q＝3，D1B＝，P
Q＝BF＝， AP＝， D1P＝， 由余弦定理求得， 则AB在平面α内射影AP与AD1所成角的余弦值是， D对．正确答案ACD
．12．解：构造函数，，，在区间上递减，在区间上递增，，在上递减，在上递增，由极值点偏移知A错B对，1＜a ＝，＝，， 在区间上递减，＝＝2.857＜2.86＝f(a)，>a，ad＜1，在上递增， ＝，， ＝＝2.857＜2.86＝，，，
选BCD．16．解：依题知｜PB｜=2|PA|，2|PD|+|PB|＝2|PD|＋2|PA|≥2｜AD｜＝，设点D关于圆C对应的阿
波罗点为E（0，m），依题知点（0，2），（0，－2）分别到点E，D的距离之比为，求得，，E（0，），|PE|=|PD|，3|PA
|－2|PD|＝3（|PA|－|PD|）＝3（|PA|－|PE|）3｜AE｜=5.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）解：（1）∵向量与向量共线，∴， …………………1分即， ………………
…2分∴，∵，∴， …………………4分又∵，∴． …………………5分（2）由已知 ………………6分 ， 所以．
………………7分由余弦定理得，即，联立 ………………8分解得或
， ………………9分所以．……………10分18．（本题满分12分）解：（1）当时， ，即有， ……………1分 所以时， …………
…2分 因为不符合上式， ……………4分 所以数列的通项公式为. ……………6分（2）由（1）知，当是奇数时,，记{bn}的前10
项的奇数项和为，则； ……………7分当是偶数时,，（或者），……………9分记{bn}的前10项的偶数项和为，则，……………11分
所以数列的前10项和.（注：写成也可）……………12分19．（本题满分12分）解：（1）由题可知四边形是正方形，E是的中点，所以，
……………1分又，所以 ， ……………2分又，，由余弦定理可得:．……………3分，即，……………4分又且，，……………6分（2）由
(1)知两两垂直．以B为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0，0，0)，E(0，2，1)，
，，，于是，，，……………7分设，则， ……………8分设平面的法向量为，则，令，则，， ………9分可知平面P
AB的一个法向量，………10分所以，解得或者（舍去）．………11分 又，所以， 即当平面与平面所成的夹角为时，段长度为.………12
分20．（本题满分12分）解：（1）因为椭圆C：的离心率是，所以，即a=b， …………………
……2分 因为过点P（2,1）， 有， ………………………3分 联立a=b解得，， 故椭圆C的方
程是． ………………………5分 法二：因为椭圆C：的离心率是，所以， …
……………………1分联立可得a=b， ………………………2分 因为过点P（2,1）， 所以，
………………………3分 联立a=b解得，， 故椭圆C的方程是． ………………………5分 （
2）依题意，直线AB存在斜率，设直线AB方程是， 联立，消去y得，， 设A（x1，y1），B(x2，y2)， 则x1＋x2 ，
x1x2 ， ………………………6分 直线PA：， 令x=0，得， 同理， 依题意知， 即， ………7分，，， ………8分，
整理得， 即， ………9分 若，则直线AB过点P（2，1），不合题意，舍去，………10分 若，则直线AB过点（0 ,－3），
令D（0,－3），则点Q在以PD为直径的圆上， ……………11分 所以当R为PD的中点，即以PD为直径的圆的圆心时，
|RQ|等于圆的半径， 故存在定点，使得|RQ|为定值. ……………12分21．（本题满分12分）解：甲，乙，丙第i轮次感染分别记
为事件Ai，Bi，Ci,且参会前的感染为第1轮感 染，无症状记为事件E. （1）依题意，参会前甲已感染事件即是无症状感染事件A1|
E ， ……………1分 所以P(A1）＝P(A1|E)= ……………2分 ……………4分（2）丙感染记为事件F，，， ……………
5分则， ， …………6分病毒由乙传染丙记为事件M＝，P(M)＝， ……………7分丙感染是因为乙传染的事件即为M|F，．故丙感染是
因为乙传染的概率是． ……………8分（3）X的取值为0，1，2．P(X＝0)＝P()， ……………9分P(X
＝1)＝P()，……………10分P(X＝2)＝P() ，……………11分X的分布列为：X012P． ……………12分22．（本题
满分12分）解：（1）由，可得， ………1分①当t=0时，，由得，由得，故在单调递增，在单调递减； ………2分②当时,令，可得的两
根分别是1和，i）当时，，由，得，由，得或故在区间上单调递增，在区间和上单调递减.………3分ii）当时，由，得或，由，得.故在区间
上单调递减，在区间和上单调递增. ………4分综上所述，当t=0时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增，在区
间和上单调递减；当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增.………………………………………5分（2）由，，可得：，即， ………6分
构造函数，则原不等式转化为时，恒成立.， ………7分当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以， ………8分①当时， 在上单调递减，在区间和上单调递增，又，且当趋向正无穷时，的值趋于0，故成立； ………9分②当t=0时，在上单调递增，在上单调递减，故，又，故成立； ……10分③当时，在单调递增，在和上单调递减， i)若，则，当时，则，当时，则，所以在单调递增，在单调递减，所以又因为，恒成立，所以，解得，所以， ………11分ii)若，则，由（1）可知在单调递增，在和上单调递减，此时有，不恒成立所以不符合题意.综上，实数的取值范围为. ………12分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司zxxk.com学科网（北京）股份有限公司zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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