汕头市金山中学2023届高三第一学期第二次月考数 学一、单选题1．己知i为虚数单位，则在复平面上对应的点在( )A．第一象限 B．第二象
限 C．第三象限 D．第四象限2．集合，，若，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．3．直线，平面，则“且”是“”的(
)条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要4．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在2
0世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路. 下图是按照的分形规律生长成的一个树形图，则
第10行的实心圆点的个数是( )A．89B．55C．34D．1445．将6名新教师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，其中
教师甲不能去A学校，则不同的安排方案的种数是( )A．540B．360C．240D．1806．函数的图象大致为( )7．
设函数，若是从0，1，2三个数中任取一个，是从1，2，3，4，5五个数中任取一个，那么恒成立的概率是( )A．B．C．D．8．
sin10°的值落在区间( )中．A．B．C．D．二、多选题9．如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”
，下列函数是“交汇函数”的是( )．A．B．C．D．10．如图，正方体的棱长为1，点是线段上的动点，则( )A．与不垂直B
．二面角的大小为定值C．三棱锥的体积为定值D．若是对角线上一动点，则长度的最小值为11．已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两
个焦点分别是是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是( )A．B．直线的斜率之积等于定值C．使得为等腰三角形的点
有且仅有四个D．若，则12．已知函数，下列选项正确的是( )A．函数在(-2，1)上单调递增B．函数的值域为C．关于的方程有3
个不等的实数根，则实数的取值范围是D．不等式在恰有两个整数解，则实数的取值范围是三、填空题13．中国文化博大精深，“八卦”用深邃的
哲理解释自然、社会现象．如图(1)是八卦模型图，将其简化成图(2)的正八边形，若，则= .14．已知函数，若至少存在两个不相等的实
数使得，则实数的取值范围是 ．15．如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点）篮球
的影子是椭圆，篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的
距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率= .16．若函数恰有两个零点，则的值为 .四、解答题17．已知数列的各项均为正数，记为
的前项和，且(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式：(2)当时，求证：18．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查
方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者(1)
从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；(2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布
列和期望．19．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且(1)求； (2)求的取值范围20．如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的
中点，， 沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；(2)当四棱锥体积最大时
，在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．21．已知直线过椭圆的右焦点，
且交椭圆于两点，点在直线上的射影分别为点．若，其中为原点，为右顶点. 为离心率．(1)求椭圆的方程；(2)连接，试探索当变化时，直
线是否相交于一定点．若交于定点，请求出点的坐标，并给予证明：否则说明理由．22．已知函数(1)若函数有三个零点，求的取值范围．(2
)若，证明：数学参考答案1-8．AABCB DAB 9．BD 10．BCD 11．BD 12．ACD13．14．15．
16．17．解：(1)且，，当时，，，又，所以，，数列是以为首项，公差为1的等差数列，，所以当时，，又满足上式，数列的通项公式为(
2)当时，.故所以对，都有18．解：(1)记事件A为至少有1人通过手机收看，则(2)依题意～，则的可能取值为0，1，2，3，所以；
；；.所以的分布列为：0123所以19．解：由条件知，即，即由角为锐角知，联立解得故由为锐角三角形知，即，，即.20．解：(1)在
翻折过程中总有平面平面，证明如下：点分别是边,的中点，又，，且是等边三角形，是的中点，菱形的对角线互相垂直，，，，平面平面平面平面
平面，平面平面(2)由题意知，四边形为等腰梯形，且，，，所以等腰梯形的面积，要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，当平
面时，点到平面的距离的最大值为．假设符合题意的点存在．以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，
，又，又，且，平面，平面，平面，故平面的一个法向量为，设，，，故，，，平面的一个法向量为，则，，即令，所以 ，则平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，则，即，解得：，故符合题意的点存在且为线段的中点．21．解：(1)椭圆的方程为，过定点(1，0)，由题意可得，
由，可得，即，则，所以，所以椭圆的方程为(2)当时，直线垂直于轴，可得四边形为矩形，直线，所以直线相交于点，猜想定点当时，分别设的
坐标为，由题意可得由，可得，，，由，，得，又，则，即，所以三点共线.同理可得三点共线.综上，直线相交于一定点22．解：(1)令换元
得函数，然后通过导数求极值，根据与函数图象有三个交点可得；(2)构造函数，通过导数研究在区间上的单调性，然后由单调性结合己知可证．
(1)令，则，记令，得当时，，时，，时，所以当时，取得极大值，时，取得极大值，因为函数有三个零点与有三个交点，所以，即的取值范围为
(2)记记则记则易知在区间上单调递增，所以所以在区间上单调递增，所以所以在区间上单调递增，所以所以在区间上单调递增因为，记所以由(1)可知，所以，即又，所以因为，所以由(1)知在区间(0，1)上单调递增，所以，即所以学科网（北京）股份有限公司 9zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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