河北省衡水中学2023届上学期高三年级四调考试数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间12
0分钟。第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。1．已知，则在复平面内对应的点位于A．实轴上 B．虚轴上C．第一、三象限的角平分线上 D．第二、四象限的角平分线上2
．已知向量满足则向量在向量上的投影向量的坐标为A． B． C． D．3．在中，，则A． B． C． D．4．已知为平面内任意三点，
则“与的夹角为钝角”是“”的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．2 0
00多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割，所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全
长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为．如图，在矩形中，与相交于点，，且点为线段的黄金分割点，则 A． B． C．
D．6．已知复数z满足，则实数的取值范围是A． B． C． D．7．已知点是所在平面内一点，有下列四个等式：①；②；③；④如果
只有一个等式不成立，则该等式为A．① B．② C．③ D．④8．对于给定的正整数，设集合，，且?．记为集合中的最大元素，当取
遍的所有非空子集时，对应的所有的和记为，则A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给
出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．设非零向量的夹角为为任意非零向量，定义运算
，则下列结论正确的是A．若，则 B． C． D．若，则的最大值为110．已知复数满足，则下列结论正确的是 A．若，则
B． C．若，则 D．11．如图放置的边长为1的正方形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑动，则的值可能是A． B． C．
D．12．已知函数及其导函数的定义域均为R．若对任意的，都有，则下列结论正确的是 A． B． C．若，则 D．必为奇函数
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则的虚部是_______．14．若函数的图
象关于直线对称，则实数_______．15．在中，，是线段上的动点，有下列三个结论： ①；②；③． 则所有正确结论的序号是____
______．16．已知向量满足，则向量与的夹角的最大 值是_______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分） 设复数，其中． (1)若复数为实数，求的值； (2)求的取值范围．18．（12分）记
的内角的对边分别是，已知的外接圆半径，且 (1)求和的值； (2)求面积的最大值．19．（12分）如图，在平行四边形中，，为的中点
， (1)若，求实数的值；(2)求的取值范围．20．（12分） 已知函数为奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减． (1)求
的解析式； (2)若过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围．21．（12分）治理垃圾是某市改善环境的重要举措．2021年该市产
生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从2022年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，
从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%． (1)写出该市从2022年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；(2)设An为从
2022年开始年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效．试判断现有
的治理措施是否有效，并说明理由．22．（12分） 已知函数． (1)证明：； (2)设函数，若在区间上存在最大值，求实数的取值范围
．数学参考答案一、选择题1．C【解析】因为，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第一、三象限的角平分线上．2．B【解析】由，得，则
，即，则，所以向量在向量上的投影向量的坐标为3．A【解析】因为为直角三角形，且，，所以，且，所以4．B【解析】设与的夹角为，当为钝
角时，，所以；当时，，所以，即，故，所以，所以“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件．D【解析】由题意得，显然，，所以，故，因为
，所以.D【解析】设，，则，整理得，所以即．因为此方程有实根，所以，解得.7．B【解析】对于①，设的中点为，连接，则 又，所以，所
以，故点为的重心；对于②，由，得，故，即为直角三角形；对于③，由点到三个顶点的距离相等，得点为的外心；对于④，由，得，同理可得，所
以，，即点为的垂心，当为等边三角形时，重心、外心、垂心重合，此时①③④均成立，②不成立，满足要求；当②成立时，其他三个均不一定成立
．8．D【解析】根据题意知为集合的非空子集，满足的集合只有1个，即；满足的集合有2个，即{2}，{1，2}；满足的集合有4个，即{
3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；满足的集合有个，所以，则，两式相减得，所以，所以.二、选择题9．ACD【解析】
对于A，因为，所以，解得或，所以，故选项A正确；对于B，不妨取，设与的夹角为，与的夹角为，则，此时，故选项B错误；对于C，，故选项
C正确；对于D，当时，，当且仅当时取等号，所以，故选项D正确．10．BD【解析】设则，不满足，也不满足，故选项AC错误；对于B，设
在复平面内对应的向量分别为，且，由向量加法的几何意义知，故，故选项B正确；对于D，设，且，则，所以，，故选项D正确．11．AC【解
析】设，因为，所以，故，所以．同理可得，所以，所以．因为，所以，则，故的值可能是l，2．12．BC【解析】对于A，令，由，得，故或
，故选项A错误；对于B，令，则，故．因为，令，，所以，即，故选项B正确；对于C，令，则，若，则；令，则，即，所以；令，则，即，所以
；令，则，即，所以；令，则，即，所以；令，则，即，所以；令，则，即，所以，……由此可得的值有周期性，且周期为6．又，所以，故选项C
正确；对于D，令，则，当时，，即，则，即，所以为偶函数，故选项D错误．三、填空题13． 【解析】设，由，得，即，所以解得，所以，故
z的虚部是．14．【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以在时取得最值，结合辅助角公式得，即，整理得，解得．15．①【解析】因为，
所以是等边三角形，取BC的中点为O，连接AO，以O为坐标原点，BC所在的直线为轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图．设
，则，所以，所以，即，故①正确；，故②错误；，故③错误．16．【解析】由，得．又由，得，则，即，即，所以，当且仅当时取等号，所以向
量与的夹角的最大值是.四、解答题17．解：(1) （2分）若复数为实数，则故 （3分）又，所以 （4分）(2)因为所以 （6分
）又，所以所以 （8分）则即故的取值范围是 （10分）18．解：(1)因为，所以即故 （2分）因为，所以又，所以，因为，所以 （4
分）由正弦定理得，则 （6分）(2)由余弦定理，得由基本不等式得，当且仅当时取等号，所以 （10分）所以故面积的最大值为 （12分
）19．解：(1)在平行四边形ABCD中，，建立如图所示的平面直角坐标系，则 （2分）又E为CD的中点，所以 则因为，所以，则 （
4分）因为，所以即，解得 （6分）(2)由(1)知，则 （8分）所以因为，所以当时，取得最大值为；当时，取得最小值为，故的取值范围
是 （12分）20．解：(1)因为函数为R上的奇函数，所以，即，所以又所以，则 （2分）又在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以
在处取得极大值，因为，所以，即，解得 （4分）所以，经检验符合题意． （5分）(2)由(1)知，所以点不在曲线上，且设切点为，则，
故切线的斜率满足，整理得因为过点可作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个实根． （7分）设，则令，得；令，得或所以在区间上单调
递增，在区间上单调递减，所以的极大值点为，极小值点为 （9分）所以关于的方程有三个实根的必要条件是解得 （10分）此时所以当时，关
于的方程有三个实根．故实数的取值范围是 （12分）21．解：(1)设治理年后，该市的年垃圾排放量构成数列当时，是首项为，公差为的等
差数列，所以 （2分）当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以 （4分）所以 （5分）(2)现有的治理措施是有效的，理由如下：
设为数列的前项和，则所以 （8分）由(1)知当时，，所以为递减数列； （9分）当时，，所以为递减数列，且以，所以当时，为递减数列
，故所以 （11分）所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的． （12分）22．(1)证
明：要证明，只需证明设，则 （1分）令，得；令，得所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即即，故 （4分）(2)解：由题意
得，则令，则 （5分）当时，，在区间上单调递增，所以，所以在区间上单调递增，无最大值，不符合题意； （6分）当时，，在区间上单调递减，所以，所以在区间上单调递减，无最大值，不符合题意． （7分）当时，由，得当时，在区间上单调递增当时，在区间上单调递减 （9分）由(1)知所以当时， （10分）取，则，且又，所以由零点存在定理，得存在，使得所以当时，，即；当时，，即，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在区间上存在最大值，符合题意，综上，实数的取值范围是． （12分）学科网（北京）股份有限公司 1111 |
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