2023届河北省高三年级开学考试
数学试题
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题
1. 若集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
2. 复数，则在复平面内对应的点所在的象限为（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
3. 已知数列的通项公式为，则取得最大值时n为（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 不存在
【答案】B
4. 2022年国际泳联世锦赛，中国队强势包揽本届世锦赛跳水项目全部13枚金牌，杨健以515.55的总分获男子十米台决赛金牌.若杨健在跳水运动过程中的重心相对于水面的高度h（米）与起跳后的时间t（秒）存在函数关系，则他重心入水时的瞬时速度为（）米/秒
A. 10.1 B. C. 14.8 D.
【答案】D
5. 如图所示，三棱柱容器的棱长为8，且到侧面的距离为，若将该容积装入容积一半的水，再以侧面水平放置，则水面高度为（）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
6. 过抛物线C：焦点F 且斜率为的直线与C交于A、B两点（点A 在x轴上方），已知点，则（）
A. B. 4 C. D. 9
【答案】D
7. 如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
8. 定义在R上的函数，.则下列说法不一定成立的是（）
A. ，使，. B. ，使，.
C. ，使，. D. ，使，.
【答案】D
二、选择题
9. 已知平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（）
A. 6 B. C. D.
【答案】AC
10. 随机事件A与B互相独立，且B发生的概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则（）
A. A发生的概率为0.6 B. B发生且A不发生的概率为0.2
C. A或B发生的概率为0.9 D. A与B同时发生的概率0.2
【答案】BD
11. 函数的图象关于点中心对称，且在区间恰有三个极值点，则（）
A. 在区间单调递增.
B. 在区间有六个零点.
C. 直线是曲线的对称轴.
D. 图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数.
【答案】BC
12. 已知函数，则下列选项正确的是（）
A. 上递增；在上递减.
B. 时，有两个根.
C. 当时，过能做两条切线.
D. 方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是.
【答案】ABCD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题
13. 展开式中的项的系数是______.
【答案】30
14. 数列1，2，－3，－4，5，6，－7，－8……的通项公式______（写一个符合条件的即可）.
【答案】 （答案不唯一）
15. 中国象牙雕刻中传统雕刻技艺的代表“象牙鬼工球”工艺被誉为是鬼斧神工.“鬼工球”又称“牙雕套球”，是通过高超的镂空技艺用整块象牙雕出层层象牙球，且每层象牙球可以自由转动，上面再雕有纹饰，是精美绝伦的中国国粹.据《格古要论》载，早在宋代就已出现三层套球，清代的时候就已经发展到十三层了.今一雕刻大师在棱长为6的整块正方体玉石内部套雕出一可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体，若不计各层厚度和损失，最内层的正四面体棱最长为______.
【答案】
16. 已知椭圆C：的两个焦点为，，P为椭圆上任意一点，点为的内心，则m＋n的最大值为______.
【答案】##
四、解答题
17. 在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，，面积为S，且.
（1）求角A的大小.
（2）当a取最小值时，求的周长和面积.
【答案】（1）
（2）周长为，面积为
18. 数列的前n项积.数列的前n项和.
（1）求数列、的通项公式.
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1），，
（2）前n项和为，
19. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面.
（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取中点为，可得，然后利用线面平行的判定定理即得；
（2）利用线面垂直的判定定理可得AM⊥平面，进而可得平面ABCD⊥平面PAD，然后建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.
【小问1详解】
取中点为，连接,
在中，∵为的中点，为中点，
∴,
在正方形中，∵为的中点，
∴,
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，平面，平面，
∴平面；
【小问2详解】
在正三角形中，为的中点，
∴，
又∵，平面，平面，
∴AM⊥平面，平面PCD，
∴AM⊥DC，
∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，又平面，平面，
∴DC⊥平面PAD，平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，
取的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD＝2，则，，，，，
，，，，
设平面MDN的法向量为，
，令，则，
设平面PDC的法向量为，
，令，则，
∴，
∴平面MND与平面PCD夹角的余弦值为.
20. 全民国防教育日是每年9月的第三个星期六，它是国家设定的对全民进行大规模国防教育的主题活动日.目的是弘扬爱国主义精神，普及国防教育，使全民增强国防观念，掌握必要的国防知识和军事技能，自觉履行国防义务，关心、支持、参与国防建设.为更好推动本次活动开展，某市组织了国防知识竞赛.比赛规则：每单位一名选手参加，比赛进行n轮（），每轮比赛选手从A组题或B组题中抽取一道回答.每选手必须先回答A组题，若答对则下一轮回答B组题，若答错回答A组题.答对A组一题得10分，否则得0分，答对B组一题得20分，否则得0分，n轮结束累加总分.已知某单位拟选派甲乙中一人参赛，且甲答对A组题概率为0.8，答对B组题概率为0.5，乙答对A组题概率为0.5，答对B组题概率为0.8，且每人答对每道题相互独立.问：
（1）若比赛仅进行两轮，则安排甲乙谁参赛更合适？
（2）若安排甲选手参赛，求第四轮甲恰好回答B组题的概率.
【答案】（1）甲（2）0.632
21. 已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.
（1）求点的轨迹方程.
（2）直线l与点的轨迹交于两点，直线的斜率与直线斜率之比为，求证以为直径的圆一定过C的左顶点.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设，由题可得，，根据斜率公式结合条件即得；
（2）由题可设直线，方程，与联立可得，进而可得，然后根据斜率关系即得.
【小问1详解】
由题意得，，
设，，，
则，，
即，，得，
又∵点在C上，即，得，
∴；
【小问2详解】
∵，
设直线方程为，则方程为，
联立，得（且），
设，得，，
同理设，得，，
，，
∴，即，
∴以MN为直径圆一定过C的左顶点.
22. 已知函数.
（1）若的最小值为0，求a的值；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）e（2）
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