高二数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，且，则的取值范围是
A. B. C. D.
2.若，则在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.某高中学校积极响应国家“阳光体育运动”的号召，为确保学生每天平均一小时的体育锻炼，调查了该校学生每周平均体育锻炼时间的情况，随机收集了300名学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），将其分为，，，，，六组，整理后得到如图所示的频率分布直方图，则估计该校高中学生每周平均体育锻炼时间的平均数为
A.5.5小时 B.4.8小时 C.5小时 D.5.8小时
4.函数的图象大致为
A. B.
C. D.
5.设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则“”的一个充分不必要条件是
A.垂直于内无数条直线
B.，，
C.，，，，，
D.，
6.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的蒙日圆方程为，，分别为椭圆的左、右焦点.离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为
A. B. C. D.
7.已知直线是平面的斜线，且与平面交于点，在平面上的射影为，在平面内过点作一条直线，直线和直线m不重合，直线与平面所成的角为，直线m与直线n所成的角为，直线与直线n所成的角为，则
A. B.
C. D.以上说法都不对
8.已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则
A.4 B.12 C.4或16 D.4或12
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知函数的最小正周期为，图象的一个对称中心为，则
A. B. C. D.
10.已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则
A. B.展开式中各项的系数和为1
C.展开式中第3项或第4项的二项式系数最大 D.展开式中有理项只有4项
11.如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不包含端点）上运动，则
A.异面直线与所成角的取值范围是
B.
C.三棱锥的体积为定值
D.的最小值为
12.已知函数若有三个不等实根，，，且，则
A.的单调递减区间为 B.的取值范围是
C.的取值范围是 D.函数有4个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，，，则与的夹角为_____________.
14.写出过点与曲线相切的一条直线的方程：_____________.
15.直线：被圆：截得的弦长为_____________.
16.已知是定义在上的奇函数﹐且满足，当时，，若，则_____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
18.（12分）
已知正项数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19.（12分）
第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，被调查的男、女生人数均为100，其中对冬季奥运会项目了解比较全面的男生人数是女生人数的2倍.将频率视为概率，从被调查的男生和女生中各选一人，两人对冬季奥运会项目了解都不够全面的概率为.
（1）完成以下2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；
男生
女生
合计
了解比较全面
了解不够全面
合计
（2）用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取3人，记其中对冬季奥运会项目了解比较全面的人数为，求的分布列与数学期望.
附：，
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
20.（12分）
在三棱台中，平面，，且，为的中点，是的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的余弦值.
21.（12分）
已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22.（12分）
已知函数.
（1）若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（2）若，是的两个极值点，且，证明：.
高二数学试卷参考答案
1.A因为，所以.
2.B因为，所以在复平面内对应的点位于第二象限.
3.D.
4.C因为，所以为奇函数，故排除B，D.当时，；当时，.故选C.
5.C对于C，因为，，所以平面内一定存在直线，满足且，相交.因为，，所以，，所以，反之不一定成立，故选C.
6.B因为椭圆的离心率，所以.
因为，所以，所以椭圆的蒙日圆的半径为.
因为，所以为蒙日圆的直径，所以，所以.
因为，当时，等号成立，
所以面积的最大值为，.
由，得，，故椭圆的长轴长为.
7.C如图，过直线上一点（与M不重合）作平面的垂线交平面于，过作直线的垂线交直线于点，则，，，故.
8.A如图，过A，B向作垂线，垂足分别为D，E，则.
设，，因为，，
所以.因为，所以，.
设直线的方程为，
联立方程组得，则.
因为，所以或.
因为，所以，故.
9.BC因为，所以，得.因为图象的一个对称中心为，所以，所以，，得，.因为，所以，.
10.ABD因为展开式中各项的二项式系数之和为64，所以，，故A正确；令，得所有项的系数和为1，故B正确；因为，所以展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故C错误；因为通项是，当时为有理项，所以只有4项为有理项，故D正确.
11.BCD因为，所以异面直线与所成的角即（或其补角）.因为为正三角形，所以，故A错误；
因为平面，所以，故B正确﹔
因为平面，所以，故C正确；
如图，将与展开在同一平面内，的最小值为，由余弦定理得，故D正确.
12.ACD结合函数和的图象（图略）可知，的单调递减区间为，的取值范围是.由，得，即，则.又因为，所以的取值范围为.令，则或，即函数有4个零点.
13. 设，的夹角为，因为，所以，所以，故与的夹角为.
14.或（注意只需从这两条切线中挑一条作答即可）设切点为，因为，所以切线方程为，将点代入得，解得或.当时，切线方程为；当时，切线方程为.
15. 圆的圆心为，半径为6，因为圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为.
16.-4 因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，所以，所以的周期为8，
所以，故.
17.解：（1）因为，
所以，
所以，
所以.
（2）因为，，
所以，.
由余弦定理，
可得，即，
解得或.
当时，的面积为；
当时，的面积为.
18.解：（1）当时，，所以或.
因为，所以.
当时，，
所以，
所以.
因为，所以，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
故.
（2）因为
所以
.
19.解：（1）设对冬季奥运会项目了解比较全面的女生人数为，则对冬季奥运会项目了解比较全面的男生人数为.因为从被调查的男生和女生中各选一人，两人都对冬季奥运会项目了解不够全面的概率为，所以.
男生
女生
合计
了解比较全面
80
40
120
了解不够全面
20
60
80
合计
100
100
200
所以，
故有99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关.
（2）从全校学生中随机抽取一人且该学生对冬季奥运会项目了解比较全面的概率.
因为随机变量，
所以，，
，，
所以的分布列为
0
1
2
3
所以.
20.（1）证明：连接，设，则，，.
因为平面，为的中点，所以平面.
因为，所以.
以为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.
因为，，，
所以，，
所以，.
因为，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，，，.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
因为，且二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
21.解：（1）因为，到渐近线的距离为，
又因为，所以，，，
故双曲线的标准方程为.
（2）设直线：，，，，
联立方程组得，
所以，.
因为直线的方程为，
所以的坐标为，同理可得的坐标为.
因为，，
所以
，
即为定值.
22.（1）解：因为恒成立，所以，
即.
令函数，则恒成立.
令函数，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
因为，所以在上单调递增，
所以等价于，即恒成立.
令函数，则，
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
故的取值范围是.
（2）证明：因为，是的两个极值点，所以，是方程的两个根，且.
由得
因为，
所以，
即需证恒成立.
由可得.
令，则，，
所以等价于，即.
令函数，，则，
所以在上单调递减，所以，即，
故.
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