邵阳市二中高三第二次月考数学试卷（2022年8月）考试内容：选填题：集合?逻辑?函数解答题：高考题型考试时量：120分钟分值：150分一、单
选题：共8小题，每小题5分，共40分.1.集合，则（ ）A. B. C. D.2.命题的否定形式为（ ）A. B.C.
D.3.函数的图象在的大致为（ ）A. B.C. D.4.“函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的
（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.已知函数的定义域均为，且.若的图像关于
直线对称，，则（ ）A. B. C. D.6.已知是上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点.对称，且，则（ ）A.
6 B.3 C.0 D.7.当时，函数取得最大值，则（ ）A. B. C. D.8.对于定义在上的函数，若
存在正常数?，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①；②；③；④.是“控制增长函数”的有（ ）个A.
1 B.2 C.3 D.4二?多选题：每题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分9.已知函数，则（
）A.有两个极值点B.有三个零点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线10.如果满足，且，那么下列选项成立的是（ ）A.
B.C. D.11.已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ）A.的图象关于直线对称B.的一个周期是C.的最大值为2D.是
区间上的减函数12.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到.而信号处理背后的“功臣
”就是正弦型函数.函数的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则（ ）A.函数为周期函数，且最小正周期为B.函数的图象关于点对
称C.函数的图象关于直线对称D.函数导函数的最大值为4三?填空题13.写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________.
①；②当时，；③是奇函数.14.已知函数的图像在点的处的切线过点，则__________.15.设，若方程有四个不相等的实根，则的
取值范围为__________.16.若是奇函数，则__________；__________.四?解答题：共70分.解答应写出文
字说明?证明过程或演算步骤.17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：已知的三边，，所对的角分
别为，，，若，，______，求的面积.18.已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前2020项和.19.如图，
在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，设点在线段上运动.（1）证明：；（2）设平面与平面所成锐二面角为，求的最小值.20.甲?
乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲?乙两城之间的500个班次，得到下面列
联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲?乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能
否有90%的把握认为甲?乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416
.63521.如图，点A为椭圆的左顶点，过的直线交抛物线于，两点，点是的中点.（1）若点A在抛物线的准线上，求抛物线的标准方程：（
2）若直线过点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于，两点，（i）证明：点的横坐标是定值，并求出该定值：（ii）当的面积最大时，求
的值.22.已知函数.（其中常数，是自然对数的底数.）（1）讨论函数的单调性；（2）证明：对任意的，当时，.答案：题号123456
789101112答案DDDADDCBACACDBDBCD13.（答案不唯一，均满足）14.1 15. 16.①.；②..8.【
详解】对于①，可化为，即对一切恒成立，由函数的定义域为可知，不存在满足条件的正常数?，所以，函数不是“控制增长函数”；对于②，若函
数为“控制增长函数”，则可化为，∴对一切恒成立，又，若成立，则，显然，当时，不等式恒成立，所以，函数为“控制增长函数”；对于③，∵
，∴，当且为任意正实数时，恒成立，所以，函数是“控制增长函数”；对于④，若函数是“控制增长函数”，则恒成立，∵，若，即，所以，函数
是“控制增长函数”.因此，是“控制增长函数”的序号是②③④.故选：C【点睛】方法点睛：类似这种存在性问题的判断，常用的方法有：（1
）特例说明存在性；（2）证明它不存在；（3）证明它存在.要根据已知条件灵活选择方法解答.12.【详解】，，所以，不是函数的最小正周
期，A选项错误；，，所以，故函数的图象关于点对称，B选项正确；，所以，函数的图象关于直线对称，C选项正确；，，，，，则，又，所以函
数的最大值为，D选项正确.故选：BCD.17.选①由得：，又所以.选②由得：，解得，又，所以.选③由得：，得，又，所以.又因为，所
以.由，所以或.当时，，又因为，所以，.所以面积.当时，，所以.又因为，所以.所以面积.18.【详解】（1）由，可得，所以，即，当
，也满足，所以；（2）.19.【详解】（1）证明：在梯形中，因为，，，所以，所以，所以，所以.因为平面平面，平面平面，因为平面，所
以平面.所以；（2）解：由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，.∴，.设为平面的一个法向
量，由得，取，则，∵是平面的一个法向量，∴∵，∴当时，有最大值，的最小值为.20.（1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为，（
2）有21.（1）；（2）（i）点的横坐标为定值，证明见详解；（ii）解：（1）由题意得，点A在抛物线的准线上，则，即所以抛物线的
标准方程为；（2）（i）证明：因为过A的直线和抛物线交于两点，所以的斜率存在且不为0，设的方程为，其中m是斜率的倒数，设，，联立方
程组，整理得，且，因为C是AB的中点，所以，所以，，，所以点的横坐标为定值；（ii）因为直线的倾斜角和直线的倾斜角互补，所以的斜率
和的斜率互为相反数.设直线的方程为，，即，联立方程组整理得，，所以，，.因为点C是AB中点，所以，因为到的距离，，所以.令，则，当
且仅当，时等号成立，所以，.22.【详解】（1）.①当时，，函数在R上单调递增；②当时，由解得，由解得.故在上单调递增，在上单调递
减.综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）证法一：原不等式等价于令，则.当时，，令，则当时，，∴
当时，单调递增，即，∴当时，；当时，；当时，，∴即，故.证法二：原不等式等价于.令，则.当时，；当时，.∴，即，当且仅当时等号成立
.当时，显然成立；当且时，.欲证对任意的，成立，只需证思路1：∵，∴不等式可化为，令，则，易证当时，，∴当时，，当时，，∴函数在上
单调递减，在上单调递增，∴∴，即，从而，对任意的，当时，.思路2：令，则.，或∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.∵，∴，
即.从而，对任意的，当时，.证法三：原不等式等价于.令，则.令，则，其中.①当时，，在上单调递增.注意到，故当时，；当时，∴在上单调递减，在上单调递增.∴，即.②当时，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.②（i）：若，则.∵∴当时，；当时，.与①同，不等式成立.②（ii）：若，则，∵∴，使得，且当时，；当时，；当时，.∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∵∴此时，，即. |
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