绝密★启用前邵阳市二中2023届高三第五次月考数学试卷第I卷（选择题）班级：_________ 姓名：_________一、
单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分）1．复数满足：（其中是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（?）A．第一象
限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知，，若，则的值为（?）A．B．0C．1D．3．已知点是角的终边上一点，则（?）A．B
．C．D．34．若，则p成立的一个充分不必要条件是（?）A． B． C． D．5．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）A．12
0B．60C．160D．806．若都为非零向量，则“”是“与共线”的（?）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不
充分也不必要条件7．设，，，则a、b、c的大小关系为（?）A．B．C．D．8．对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（?）A．B．二
、多选题（每小题5分共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9．已知函数图象的最小正周期是，则（?）A．的图象关于
点对称B．将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称C．在上的值域为 D．在上单调递增10．已知△ABC的内角A，B，C
所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（?）A．若，则△ABC一定是等边三角形B．若，则△ABC一定是等腰三角形C．是成立的
充要条件D．若，则△ABC一定是锐角三角形11．已知数列 的前项和为，下列说法正确的是（?? ）A．若 ，则 B．若 ，则的最小值
为C．若 ，则数列的前项和为D．若数列为等差数列，且，则当时，的最大值为12. 在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开，得到的平
面图如图所示.其中，，，M是BB1上的点，则（ ）A. AM与A1C1是异面直线 B. C. 平面AB1C将三棱柱截成两个四面体
D. 的最小值是第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知定义在上的偶函数满足，则的一个解析
式为___________．14．若，则___________.15．已知数列满足，，则数列的前项和______．16．已知函数，
函数有四个不同零点，从小到大依次为，则实数的取值范围为___________；的取值范围为_______.四、解答题（本题共6个小
题，共70分，17题10分，其余各12分）17．已知公差不为零的等差数列和等比数列，满足，，．(1)求数列、的通项公式：(2)记数
列的前n项和为．若表示不大于m的正整数的个数，求．18．的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值
范围．19．如图所示的几何体中，BE⊥BC，EA⊥AC，BC＝2，，∠ACB＝45°，，BC＝2AD．(1)求证：AE⊥平面ABC
D；(2)若∠ABE＝60°，点F在EC上，且满足EF＝2FC，求二面角F－AD－C的余弦值．20．奥密克戎BA.5变异毒株的潜伏
期又缩短了，但具体到个人，感染后潜伏期的长短还是有个体差异的．潜伏期是指已经感染了奥密克戎变异株，但未出现临床症状的和体征的一段时
期，奥密克戎潜伏期做核算检测可能为阴性，建议可以多做几次核算检测，有助于明确诊断．某研究机构对某地1000名患者进行了调查和统计，
得到如下表：潜伏期：（单位：天）人数80210310250130155(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均值．(2)该传染病
的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取300
人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95％的把握认为潜伏期与患者年龄有关．潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（
含50）15050岁以下85总计300(3)为了做好防疫工作，各个部门、单位抓紧将各项细节落到实处，对“确诊”、“疑似”、“无法明
确排除”和“确诊密接者”等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密接接触
”，现医护人员要对这5人进行逐一“单人单管”核酸检测，只要出现一例阳性，则该小区将被划为“封控区”．假设每人被确诊的概率为且相互独
立，若当时，至少检测了4人该小区就被划为“封控区”的概率取得最大值，求．附：，其中21．已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；(2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求
出定点坐标；若不经过，请说明理由.22．已知函数，，．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，探究关于的方程的实数根的个数．数学
参考答案：123456789101112DCADABDCABDACBCABD7.【详解】由，因为，，则，，令且，则，则递减，所以，
即，则，故；因为，，由，令且，则，则递增；故，，而，所以，则，即，综上，.故选：D8.【详解】当时，，，故显然成立.当时，不等式恒
成立，即成立，即，进而转化为恒成立.令，则，当时，，所以在上单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立.因为，，所以，，所以对任意的恒成
立，所以恒成立.设，可得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数取得最大值，最大值为，此时，所以，解得，即实数的取值范
围是.综上实数的取值范围是.故选：C13．（答案不唯一） 14． 15．16． 【详解】由题设，当时，，且单调递减；当时，，且单调
递增；当，，且单调递减；当，，且单调递增；综上，的函数图象如下：所以有四个不同零点，即与有四个交点，由图知：，则在上，在上，令，则
，即是的两个根，故，而是，即的两个根，故，所以.故答案为：，解答题17．（1），；---------(4分）(2) 显然，且，即
为递增数列，，，，，所以，，时，，所以.-----（10分）18.(1) ;-------------（5分）解：(2)因为是锐角
三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：.又因,故，故.----------------（12分
）19．（1）在△ABC中，BC＝2，，∠ACB＝45°，由余弦定理可得，所以AB＝2，满足，所以△ABC是直角三角形，AB⊥BC
．又BE⊥BC，，平面ABE，所以BC⊥平面ABE，因为平面ABE，所以BC⊥AE，因为EA⊥AC，，平面ABCD，所以AE⊥平面
ABCD．-----------（6分）（2）由（1）知，BC⊥平面ABE，BC平面BEC，所以平面BEC⊥平面ABE，在平面AB
E中，过点B作Bz⊥BE，则Bz⊥平面BEC，如图，以B为原点，BE，BC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系B－xyz，∠A
BE＝60°,且，，过作交于点，则，则，，，，，因为EF＝2FC，所以，易知，，设平面ADF的法向量为，则即，令，则y＝0，x＝9
，所以为平面ADF的一个法向量，由（1）知EA⊥平面ABCD，所以为平面ABCD的一个法向量．设二面角F－AD－C的平面角为，由图
知为锐角，则，所以二面角F－AD－C的余弦值为．---------（12分）20．(1) (2)没有的把握认为潜伏期与年龄有关 (
3)解：根据统计数据，计算平均数为（天）；----（2分）（2）依题意潜伏期不超过天的抽取人，超过天的抽取人，所以可得列联表如下：
潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50）955515050岁以下8565150总计180120300根据列联表计算，所以没有的把握
认为潜伏期与年龄有关；----------（6分）（3）至少检测4人该小区被测定为“封控区”包含两种情况：①检测4次被确定，②检测
5次被确定．则至少检测了4人该小区被确定为“封控区”的概率为．设，，，当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以时函数取得极大
值即最大值，当时，最大，．---------------------（12分）21．(1)(2)过定点（1），----------
---------（4分）（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得，，所以，，，因为，所以，所以，所以，所以，化简得，即，所
以或，当时，直线的方程为，则直线过定点（舍去），当时，直线的方程为，所以直线过定点，②当直线的斜率不存在时，设直线为（），由，得所
以，所以，解得（舍去），或，所以直线也过定点,综上，直线恒过定点.----------------(12分）22．解：（1）当时，
，，所以，即为偶函数．当，时，，所以，所以当，时，；当，时，；所以函数在，上单调递增，在，单调递减；又根据偶函数的图象关于轴对称知
，函数在，上单调递增，在，上单调递减；-------------（5分）（2）因为，所以，当时，对任意，恒成立，此时在，上单调递增
，又，所以关于的方程无实数根；当时，使得，即．且当时，；当，时，；所以函数在上单调递增，在，单调递减；，，①当，即时，关于的方程在区间，上无实数根，所以关于的方程在，上无实数根；②当，即时，关于的方程在区间，上有1个实数根，所以关于的方程在，上有2个实数根；综上，当时，关于的方程在，上有2个实数根；当时关于的方程在，上无实数根．----------（12分）学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页 |
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