湘阴县知源高级中学2023届高三第二次月考数学科试卷满分：150分 考试时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40
分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则?(????)A. B. C. D. 2．对于实数，，，
“”是“”的(? ?)A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．三个数，，的大小顺序是(
????)A. B. C. D. 4．若实数满足：，则的最小值为（???????）A．1B．2C．3D．45．函数的图象大致为(?
???)A. B. C. D. ?6．设函数，则满足不等式的解集是（???????）A．B．C．D．7．当时，函数取得最大值2，则
（???????）A．B．C．D．8．已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（???????）A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选
对的得2分．9．下列求导错误的是(????)A. B. C. D. 10．已知关于的不等式的解集为，则(????)A. B. 不等
式的解集是C. D. 不等式的解集为11．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：o），环境温度是
（单位：o），其中则经过分钟后物体的温度将满足且）.现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（
???????）（参考数值A．若，则B．若，则红茶下降到所需时间大约为7分钟C．若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每
分钟的速率下降D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多12．函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正
确的有（???????）A．函数的图象关于直线对称B．若的导函数为，定义域为，则C．的图象关于点中心对称D．设为等差数列，若，则三
、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数是幂函数，则实数______.14．求值：?．15．已知点为曲线上的动点
，则到直线的最小距离为______.16．设定义域为的单调函数，对任意的，都有，若是方程的一个解，且，则实数a=_____．四、解
答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数．求的值；在中，若，求的最
大值．18．（本小题满分12分）已知在数列中，，且.(1)证明：数列是等比数列.(2)求的前项和.（本小题满分12分）如图，已知长
方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面 1求证： 2若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为．20．（本小题满
分12分）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格
（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）的部分数据如下表所示：x/天102025
30/个110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k的值；(2)给出以下四种函数模型：①，②，③，
④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品
的日销售收入（元）的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．(1)求的值；(2)当时，恒成立，求
实数的取值范围；(3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数.(1)设是函数的极值点，求的值并
讨论的单调性；(2)当时，证明：.湘阴县知源高级中学2023届高三第二次月考数学科试卷（答案）一、单选题1．【答案】A【详解】已知
集合，，则，因此故选A．2．【答案】B【详解】当时，不能推出，当，可推出．故“”是“”的必要不充分条件．故选：．3．【答案】C【详
解】，，，故选C．4．【答案】A【详解】因为，所以，由基本不等式可得，故，解得或（舍），即当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选
：A.5．【答案】A【详解】函数，定义域为，由，故为奇函数，图象关于原点对称，故排除，；当时，，排除．故本题选A．6．【答案】D【
详解】函数的图象如下图所示：由图可知：函数在R上单调递增，因为，所以等价于，故，即，故选：D【答案】C【详解】因为，所以，又当时，
函数取得最大值2，所以，，即，解得，，所以，，所以在上单调递增，在上单调递减，符合题意，所以故选：C．8．【答案】A【详解】画出函
数的大致图象，如下图所示：函数恰好有5个不同的零点，方程有5个根，设，则方程化为，易知此方程有两个不等的实根，，结合的图象可知，，
，令，则由二次函数的根的分布情况得：，解得：.故选：A二、多选题9．【答案】AB【详解】，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D
正确．故答案选：．10．【答案】ABD【详解】由题意可知，和是方程的两根，且，，，，，，即选项A正确；不等式等价于，，即选项B正确
；不等式的解集为，当时，有，即选项C错误；不等式等价于，即，或，即选项D正确．故选：．11．【答案】ABC【详解】由题知，A：若，
即，所以，则，A正确；B：若，则，则，两边同时取对数得，所以，所以红茶下降到所需时间大约为7分钟，B正确；C：表示处的函数值的变化
情况，若，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降，故正确；为指数型函数，如图，可得红茶温度从下降到所需的时间
比从下降到所需的时间少，故D错误.故选：ABC．12．【答案】BCD【详解】由导数的几何意义及的对称性，在和处的切线也关于原点对称
，其斜率总相等，故是偶函数，对称轴为错；由的对称性，在和处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故为奇函数，又定义域为，B对；，由
为奇函数知为奇函数，图像关于对称，可以看作由按向量平移而得，故C对；由选项知，当时，，由等差数列性质，以此类推倒序相加，D正确.故
选：BCD三、填空题13．【答案】1【详解】因为是幂函数，所以，解得.故答案为：114．【答案】【详解】．故答案为．15．【答案】
【详解】解：设与相切与点Q，则 ，令，得，则切点，代入，得，即直线方程为，所以与直线间的距离为，即为到直线的最小距离，故答案为：1
6．【答案】2【详解】对任意的，都有，且是上的单调函数，因此为定值，设，则，显然，即，而函数在上单调递增，且，于是得，从而，求导得
，方程，依题意，是函数的零点，而函数在上单调递增，且，即函数的零点，又，所以.故答案为：2四、解答题17．【答案】，．由，而，可得
，即，，，，，则，故当时，取最大值，最大值为．?18．【答案】（1）因为，所以．又，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1
）可知，则..【答案】Ⅰ证明：长方形中，，，为的中点，，可得，．平面平面，平面平面，平面，平面，平面，?Ⅱ建立如图所示的直角坐标系
，则，，，设，则平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量为，则?取，得，，则，，，解得，故E为的中点．?20．【答案】（1）由题意
得，解得．（2）由题表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③，④中的函数为单调函数，故只能选②，即
．由题表可得，，即解得故．（3）由（2）知∴当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴当时，取得最小值，且；当时，是单调递减的，
∴当时，取得最小值，且．综上所述，当时，取得最小值，且．故该商品的日销售收入的最小值为121元．21．【答案】（1）解：因为函数的
图象关于原点对称，所以，即，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得又时，无意义，故．（2）因为时，恒成立，所以恒成
立，所以在上恒成立，因为是减函数，所以当时，，所以，所以实数的取值范围是．（3）因为在上单调递增，在上单调递减，因为关于的方程在上
有解，所以即解得，所以实数的取值范围是．22．【答案】（1），，，是函数的极值点，，解得，，设，则，是的唯一零点，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.（2）当，时，，设，则，所以当时，单调递增，所以，即，，取函数 ，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数在处取得唯一的极小值，即最小值为，，故.学科网（北京）股份有限公司 第 2 页 共 4 页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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